2024-2025學(xué)年黑龍江省大慶市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷

說明：

1.請將答案填涂在答題卡的指定區(qū)域內(nèi).

2.滿分150分，考試時間120分鐘.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.拋物線*=20y的準(zhǔn)線方程是（）

A.x=-5B.x=-l（）C.y=-5D.y=-\0

2

2.若雙曲線Y一匕二i的一個焦點(diǎn)為（-3,0）,則小等于（）.

nt

A.B.-7C.2V2D.8

3.以直線/：x+（/〃+2）y-3-〃?=0恒過的定點(diǎn)為圓心，半徑為近的圓的方程為（）

A.x2+y2-2x-2y=2B.x2+y2-2x-2y=\

C.x2+y2-2x-2^+1=0D.x2+y2-2x-2y=0

4.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分.燈絲位于橢圓的一個焦點(diǎn)片上,

卡門位于另一個焦點(diǎn)行上.已知此橢圓的離心率為，，且|4g|=5cm,則燈絲發(fā)出的光線

經(jīng)反射鏡面反射后到達(dá)卡門時所經(jīng)過的路程為（）

反

射

鏡

面

A.9cmB.10cmC.14cmD.18cm

5.已知橢圓￡：工+以=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，凡，點(diǎn)尸為f上一點(diǎn)，若PKJ.P居,

93

則△耳夕鳥的面積為（)

C.3D.5

6.二面角的棱上有44兩點(diǎn)，直線/C,8。分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直

于48.已知48=4,AC=6,BD=8,CO=2，則該二面角的大小為（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

7.在三棱錐產(chǎn)一中，G為VX6C的重心，

PD=APA,PE==yPC,/l，Z/e（0,1）,若尸G交平面OE尸于點(diǎn)"，且

麗=1府，則；I+〃的最小值為（）

2

8.已知片,凡是橢圓。：土十々=1（。＞/）＞0）的左，右焦點(diǎn)，A,8是橢圓C上的兩點(diǎn).若

crb'

,?一'.―兀

片4=264,且乙4大6二w，則橢圓。的離心率為（）

A1R72rV3口2

A.o?1C.D?

3333

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.）

9.已知拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為尸，頂點(diǎn)為。，點(diǎn)M（x0,y0）在拋物線。上，若阿目=3,

則（）

A.x0=2B.y0=2＞/2

c.\OM\=4UD.=6

10.下列說法錯誤的是（）

A.“a=—1”是“直線。2工一y+1=0與直線X--2=0互相垂直”的充要條件

B.直線xsina+y+2=0的傾斜角。的取值范圍是0,二u當(dāng)，兀］

L4」［4)

C.過(王,必),(X2，8)兩點(diǎn)的所有直線，其方程均可寫為2三=三"

乃一%X2~X\

,、「12一

D.已知4(2,4),8(1,1).若直線/:%x+y+%—2=0與線段有公共點(diǎn).則左￡

1J

11.已知雙曲線C:/一q=1的左，右焦點(diǎn)分別為耳，鳥，點(diǎn)尸是雙曲線C的右支上一點(diǎn),

過點(diǎn)。的直線/與雙曲線。的兩條漸近線交于M,N,則()

A.尸一尸后的最小值為8

B.若直線，經(jīng)過名，且與雙曲線C交于另一點(diǎn)。，則|PQ|的最小值為6

C.歸耳卜|尸鳥為定值

D.若直線/與雙曲線C相切，則點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)之積為-3

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.過點(diǎn)/(-1,2)作圓。*-l)2+(y-2)2=l的切線，切點(diǎn)為4,則線段48的長為

r221

13.已知橢圓C：大?+v金的離心率為尸是橢圓。的右焦點(diǎn)，P為橢圓C

上任意一點(diǎn)，|尸目的最大值為3亞.設(shè)點(diǎn)/(加』)，貝訓(xùn)+|尸石的最小值為.

14.已知直四棱柱48C?！?AA}=43,底面N8CQ是邊長為1的菱形，且

N84C=120°,點(diǎn)￡為4瓦的中點(diǎn)，點(diǎn)〃是棱4。上的動點(diǎn).則直線力，與直線4E所成角

的正切值的最小值為.

四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.已知直線4:(〃i+2)x+my-8=0與直線4：〃?x+y-4=0,〃?wR.

(1)若〃〃2,求機(jī)的值；

(2)若點(diǎn)。在直線乙上，直線/過點(diǎn)尸，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0,求直線/的

方程.

16.已知橢圓C：=十二=1（。＞力＞0）長軸長為4,且橢圓C的離心率立，其左右焦點(diǎn)分

/b2V72

別為片，工.

（1）求橢圓。的方程；

（2）設(shè)斜率為-且且過工的直線/與橢圓。交于P,。兩點(diǎn)，求△耳尸。的面積.

3

17.如圖，三棱臺ZBC-481G中，V/8C是正三角形，4/JL平面48C,

AB=2AyA=2A}C}=4,M,N分別為棱力8,片8的中點(diǎn).

（1）證明：與B_L平面朋CN；

（2）求直線GC與平面MCN所成的角的正弦值.

22

18.已知雙曲線C：5-2r=1（。＞0力＞0）的離心率為血，點(diǎn)（3,-1）在雙曲線。上.過c

a~b'

的左焦點(diǎn)尸作直線/交C的左支于力、B兩點(diǎn)、.

（1）求雙曲線C的方程.

（2）若M（-2,0）,試問：是否存在直線/,使得點(diǎn)”在以48為直徑的圓上？若存在求出直

線/的方程；若不存在，說明理由.

（3）點(diǎn)產(chǎn)（一4,2）,直線力產(chǎn)交直線工=一2于點(diǎn)。.設(shè)直線。力、的斜率分別勺、k2,

求證：勺一卷為定值.

19.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書

中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點(diǎn)例與兩定點(diǎn)。，尸的距離之比

曙二W〉0,行1）

力是一個常數(shù)，那么動點(diǎn)〃的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直

線尸。上.已知動點(diǎn)區(qū)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為/+/=4,定點(diǎn)分別為橢圓

且橢圓C的離心率為e=L.

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵如圖，過右焦點(diǎn)/斜率為女（〃>0）的直線/與橢圓C相交于8,D（點(diǎn)8在x軸上方）,

點(diǎn)S,7是橢圓。上異于B,。的兩點(diǎn)，SF平■分4BSD,TF平分乙BTD.

的取值范闈;

Q14

②將點(diǎn)s、F、T看作一個阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若ASAT外接圓的面積為一丁，求直線

O

/的方程.

2024-2025學(xué)年黑龍江省大慶市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷

說明：

1.請將答案填涂在答題卡的指定區(qū)域內(nèi).

2.滿分150分，考試時間120分鐘.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

項(xiàng)是符合題目要求的

1.拋物線d=20y的準(zhǔn)線方程是（）

A.x=-5B.x=-l（）C.y=-5D.y=-\0

【正確答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程計(jì)算即可求解.

【詳解】拋物線x2=2py（p>0）的準(zhǔn)線方程是y=—g

而2p=20,所以/?=10,

所以拋物線f=20y的準(zhǔn)線方程是^=-5.

故選.C

2

2.若雙曲線x2—2_=i的一個焦點(diǎn)為（-3,0）,則小等于（）.

m

A.y/lB.-7C.2V2D.8

【正確答案】D

【分析】利用/+/=/可得答案

【詳解】由題意知，1+〃?=3?，.,.〃?=8.

故選：D.

3.以直線/：工+（陽+2）），-3-〃?=0恒過的定點(diǎn)為圓心，半徑為0的圓的方程為（）

A.J+/一2x-2歹=2B.x2+y2-2x-2y=\

C.x2+j,2—2x—+1—0D.x2+y2—2x—2y—0

【正確答案】D

【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)可得圓心坐標(biāo)，再結(jié)合半徑可得圓的方程.

【詳解】由x++2)y-3-=0,得x+2>一3+(y-1=0,

［x=1

令y一1二(),則〈

［尸1

即直線/恒過定點(diǎn)(1』)，

則圓的方程為(x-1)2+()一1『=(V2)2,即/+-2x_2y=0,

故選：D.

4.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分.燈絲位于橢圓的一個焦點(diǎn)片上,

卡門位于另一個焦點(diǎn)居上.已知此橢圓的離心率為旦歸&|二5cm,則燈絲發(fā)出的光線

經(jīng)反射鏡面反射后到達(dá)卡門時所經(jīng)過的路程為()

【正確答案】A

【分析】由題意，結(jié)合橢圓的相關(guān)概念，將問題轉(zhuǎn)化為求2。，由已知條件離心率，結(jié)合其公

式，可得答案.

22c

【詳解】設(shè)橢圓的方程為1+/1(〃〉/)>0),因?yàn)榇藱E圓的離心率為］，且叱|=5cm,

c59

所以e=—=—，2c=5,所以〃二-

a92

所以根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義得燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達(dá)卡門時所經(jīng)過的路

程為2〃=9(cm).

故選：A.

22

5.已知橢圓E：L+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為6，點(diǎn)。為E上一點(diǎn)，若〃"JL尸行,

93

則△片產(chǎn)行的面積為（)

35

A.-B.-C.3D.5

22

【正確答案】C

【分析】由已知的用二26,\PFy\+\PF2\=6,結(jié)合PF,LPF2,得

伊娟2+歸42=陽5『=24,進(jìn)而解得歸國忖用一6,再利用三角形的面積公式求解即可.

【詳解】由橢圓的定義可知"尸盟+|尸周=6且閨閭=26,

因?yàn)槭骭Lq匕，所以歸/4+歸^^二區(qū)^1二？*

又（|P聞+|P周『=36,故|歷|便用=6,

所以S“產(chǎn)小用?|明=3.

故選：C

6.二面角的棱上有48兩點(diǎn)，直線力。，8。分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直

于力夕.已知力5=4,AC=6,BD=8,C。=2Ji7，則該二面角的大小為（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

【正確答案】B

【分析】將向量es轉(zhuǎn)化成布=-衣十萬十詬，然后等式兩邊同時平方表示出向量麗的

模，再根據(jù)向量的數(shù)量積求出向量撫與麗的夾角，即可得出答案.

【詳解】解：由條件，知萬.標(biāo)=0,而?而=0,而=一%+在+說.

|CD|2=|^C|2+|而「+1前|2-2ACAB+2AB-BD-2AC-BD

rUUITULU\..—.2

即62+42+82-2x6x8cos3c犯=(2舊),

/UUWUIIT\1/---------------\

.?.cos(/C,8Q)=：,即(4C,80)=60。,

所以二面角的大小為60°.

7.在三棱錐中，G為V48C的重心，

戶方=4萬，而=4而，而二，心義，4￡（0』），若PG交平面產(chǎn)于點(diǎn)且

PM=-PG,則義+〃的最小值為（）

【正確答案】C

【分析1利用空間向量的四點(diǎn)共面的定理，得出系數(shù)的關(guān)系，再借助基本不等式求出最小值.

【詳解】

VPG=PA+AG=PA+-x-(jB+AC^=PA+-^P+PB+AP+PCj

33

1一1一1一

-PA+-PB+-PC,

333

??.而可停+而+定）.

1PD=汨而="A瓦而=yPC,

APM=+—PE+-PF.

626〃3

???M,，E,F四點(diǎn)共面,

111,11,

A—+—+-=1,即一十―=4.

626/73入N

2+//=1(2+//)1+」1」2+4%I,當(dāng)且僅當(dāng)/="二;時，等號成立,

II41丸入

*,?2+〃的最小值為1.

故選：C

8.已知々，凡是橢圓C:二+4=1（。＞/）＞0）的左，右焦點(diǎn)，48是橢圓C上的兩點(diǎn).若

cCb~

‘‘'一''一兀

F}A=2F2B,且/力大凡=4,則橢圓。的離心率為（）

2

A.-B.—C.—D.

3333

【止確答案】B

【分析】設(shè)M娟=2"小結(jié)合題意可得|/鳥|,根據(jù)橢圓定義整理可得2后Q-2C=￡,

m

根據(jù)向量關(guān)系可得耳4〃58,且忸用二JI〃？，同理結(jié)合橢圓定義可得血。+c=2,進(jìn)

〃!

而可求離心率.

【詳解】由題意可知：片（一GO），E（C,O）,

設(shè)|力圖=2&肛"＞0,

yt

「koE「

因?yàn)?則”（一。+2〃7,2加）,可得|/凡|=，4“r+（2C-2“21?

由橢圓定義可知：|/用+|4g|=2。,即2亞m+,4加2+（2c—2m『=2a‘

整理可得2及。一2。二2：

m

又因?yàn)楣?=2月瓦則片4〃65,且忸用娟=6",

則B（c+〃?），可得忸周二J（2c+"z『+〃『，

由橢圓定義可知：|8/11+|8匕1=2。，即J（2c+〃。2+加2+6m=2a，

t2

整理可得收4+。=幺；

m

即26a—2c=6cl+c?可得\[2a=3c?

所以橢圓C的離心率e=-=—.

a3

故選：B.

方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率（離心率范圍）的求法

求橢圓的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,。的等量關(guān)系或不等關(guān)系，

然后把匕用。，c代換，求e的值.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.）

9.已知拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為八頂點(diǎn)為。，點(diǎn)/（%,比）在拋物線。上，若|必q二3,

則（）

A.%=2B.?0=2\/2

C.\OM\=y/nD-SWF=亞

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合點(diǎn)〃在拋物線上，對每個選項(xiàng)逐一求解即可.

【詳解】對A：由題意可知由|“?|=%+1=3,可得％=2,故A正確;

對B：當(dāng)％=2時，=8?解得了=±2拉，即%=±2近，故B錯誤；

對C：\OM\=yjx^+yl=V4+8=2>/3?故C錯誤；

對D：S°QW=]x]?？蓌"[=]Xlx2\/1二板，故D正確；

故選：AD.

10.下列說法錯誤的是（）

A.“?！?”是“直線/x—y+1=0與直線工一即一2=0互相垂直”的充要條件

3兀

B.直線xsina+y+2=0的傾斜角0的取值范圍是0,；

C.過（冷必）,（9，8）兩點(diǎn)的所有直線，其方程均可寫為金子=三工

XX

）‘2-M2~\

,、「12

D.己知4（2,4）,8（1,1）,若直線/：后+歹+%—2=0與線段力8有公共點(diǎn)，則左￡

JJ

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)兩直線垂直的判斷方法依次判斷充分性和必要性可知A錯誤；由直線斜率和傾

斜角關(guān)系可求得B正確；根據(jù)直線兩點(diǎn)式方程無法表示的直線可知C錯誤；求得/所過定點(diǎn)

后，由兩點(diǎn)連線斜率公式可求得臨界狀態(tài)，結(jié)合圖象可確定D錯誤.

【詳解】對于A,當(dāng)。二一1時，兩直線分別為x-y+l=0和x+y-2=0,此時兩直線垂直,

充分性成立；

若兩直線垂直，則/=_lx（一〃），解得：。=0或。=-1,必要性不成立：

—1”是“直線a2x-y+\=0與直線x-ay-2=0互相垂直”的充分不必要條件，A錯

誤;

對于B,由直線xsina+y+2=0得：y=-sin（z-x-2,

直線的斜率左=-sinae[-1,1],即,

又et[o,兀），o,—u兀｝B正確；

對于C,平行于坐標(biāo)軸的直線，即玉二/或必=為時，直線方程不能寫為/呼=?等,

c錯誤；

對于D,由/:公+"&-2=0得：/:（工+1*+（歹-2）=0,.?.直線/恒過定點(diǎn)c（-l,2）；

21

結(jié)合圖象可知：-Ae[48C，3c]，??〃￡--，D錯誤.

故選：ACD.

11.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為K，鳥，點(diǎn)尸是雙曲線。的右支上一點(diǎn),

過點(diǎn)尸的直線/與雙曲線。的兩條漸近線交于M,N,則（）

A.尸耳2-Pg的最小值為8

B.若直線/經(jīng)過心，且與雙曲線C交于另一點(diǎn)0,則忙。|的最小值為6

C|以訃|尸周一|。死為定值

D.若直線/與雙曲線。相切，則點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)之積為-3

【正確答案】ACD

【分析】設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，直接計(jì)算可判斷A、C；比較雙曲線的通徑長和實(shí)軸長可判斷B；設(shè)

出直線/的方程后聯(lián)立漸近線方程，求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，再聯(lián)立直線/與雙曲線方程，利用

判別式為零可■得參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而計(jì)算點(diǎn)"，N的縱坐標(biāo)之積可得結(jié)果.

【詳解】依題意Q=1,b=6c=2,1(-2,0),1(2,0)"P瑪|-|P耳|=2a=2,

2

2

設(shè)P(Xo,匕)，則與21,x0-^=l,即%2=3/2_3,

雙曲線C的兩條漸近線方程為y=,

222

對于A,PF^-PFl=(x0+2)+-[(x0-2)+^0]=8x0>8,A正確;

對于B,若0在雙曲線。的右支，則通徑最短，通徑為七一二6，

a

若。在雙曲線。的左支，則實(shí)軸最短，實(shí)軸長為2。=2<6,B錯誤；

對于C,|尸/訃歸引-|。尸|22)24也%2)2%2(%2y2}

2222

=J*Q+2)2+3葉-3.y/(x0-2)+3x0-3-(x0+3x0-3)

2

=(2%+1)-(2X0-1)-(4A0-3)=2是定值，C正確；

對于D,不妨設(shè)"區(qū)，技J,N(》2,-6V2)，直線/的方程為戈山〃)…〃，

x=my+n

由，，y2得(3〃/-1)歹2+6"〃少十一3=0,

x-T-

若直線/與雙曲線。相切，則△:36〃/〃2_12(3〃尸-1)(,?2-1)=0,

化簡整理得w2=1—3m2?

11H377~

則點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)之積)仍=-3王心=-3——『-------3,D正確.

1-\/3mT+\l3m1-3〃廠

故選：ACD.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.過點(diǎn)4(-1,2)作圓C：(x—1)2+3—2)2=1的切線，切點(diǎn)、為B,則線段48的長為

【正確答案】百

【分析】以勾股定理即可求得線段48的長.

【詳解】圓C:(x—l)2+(y—2)2=l的圓心C(l,2),半徑用=1

則|%C=J(T-+(2-2)2=2

則囪=^C|2-r2=V22-l2=V3

故后

r221

13.已知橢圓C：與+宗v=1(Q>/)>0)的離心率為尸是橢圓。的右焦點(diǎn)，P為橢圓C

上任意一點(diǎn)，|尸日的最大值為3亞.設(shè)點(diǎn)4(、匯,1)，貝四川+|0日的最小值為.

【正確答案】4人一3##-3+4上

【分析】首先根據(jù)題目條件求出c和。，然后根據(jù)橢圓定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換，求出|"|+歸日的最小

值.

C1

【詳解】設(shè)橢圓。的半焦距為C,由題意，得一二一，Q+c=3五，所以c=正，0=2后.

a2

設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為尸，則尸［-夜,0),

所以|尸/"歸曰二|尸川斗(2〃_四1)=24+卜力|_「尸|>2〃_卜尸|=4方一3.

故4行一3?

14.已知直四棱柱48CQ—4與。。1，力4二百，底面44CO是邊長為1的菱形，且

/54。=120°，點(diǎn)后為44的中點(diǎn)，點(diǎn)〃是棱4A上的動點(diǎn).則直線力〃與直線BE所成角

的正切值的最小值為.

【正確答案】—

7

【分析】利用直四棱柱的特征建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算線線夾角，結(jié)

合函數(shù)值域的求法計(jì)算最值即可;

連接上、下底面的對角線，交點(diǎn)分別為。',。，根據(jù)題意易知80,OC,。。'兩兩垂直,

故可建立如上圖所示的空同直角坐標(biāo)系,

,B，,0,0國手,廣,

則力o,一^，。4°'一5D

一叵」啟

設(shè)福=%而所以,廿,件屏=

4，'

+恪&。邛鳥

屈二石+癡5；=(o,o,G)1，6，

2222

設(shè)直線4〃與直線4七所成角為aaG

_______?麻?商人+3

1(4+12)2

則cosa=cos4

叫沖國百叵后I儲+3

2

(AH2)2

令?=t(t>0)=Q-1)M-24入+3t—144=0,

A2+3

顯然z=l時，不符合題意，則魅=24?-4（1）（3Z-144）N0=ZW（0,1）D（1,49],

I7

要使兩直線夾角正切最小，即使其夾角余弦最大，即f=49,2=7時，此時（cosa）1n獻(xiàn)=—T=,

2而

故答案為.也

7

方法點(diǎn)睛：異面直線夾角常通過平移直線形成共面直線計(jì)算夾角，本題可通過幾何法確定線

面關(guān)系，思維量大，計(jì)算量小；也可通過直接建系利用空間向量計(jì)算，思維量小，計(jì)算量大.

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）

15.已知直線4:（〃7+2）x+my-8=O與直線：/wx+^-4=0,meR.

（1）若“〃2，求W的值；

（2）若點(diǎn)p（l,〃7）在直線4上，直線/過點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0,求直線/的

方程.

【正確答案】（1）m=-\

⑵x-y+l=0或2x-y=0

【分析】c）由題意可知所以可得管=三'梯’從而可求出〃，的值;

（2）將點(diǎn)。（1,〃。的坐標(biāo)代入直線4的方程中，求出，〃的值，從而可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)，然后設(shè)

出直線/方程，利用兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，列方程可求出直線方程

【小問1詳解】

因?yàn)?"A,,所以〃zw0,且"+2=—,

m1-4

由竺土2二竺，得〃/一m_2=0，解得〃？二一1或〃7二2（舍去）

m1

所以〃7=7.

【小問2詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)*1,m）在直線乙上，

所以〃?+〃?—4=0,得〃7=2,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,2）,

所以設(shè)直線/的方程為》一2=4口一1）（人工0）,

2

令x=0,則y=2一左，令夕=0,則x=l——，

k

因?yàn)橹本€/在兩坐標(biāo)軸上的撤距之和為0,

2

所以1一一+2-女=0,解得”=1或4=2,

k

所以直線/的方程為x-N+l=0或2x-y=0.

16.已知橢圓C:1+￡=1（。>〃>0）長軸長為4,且橢圓C的離心率等，其左右焦點(diǎn)分

別為耳,鳥.

（1）求橢圓。的方程；

（2）設(shè)斜率為-立且過外的直線/與橢圓。交于憶。兩點(diǎn)，求△大P。的面積.

3

【正確答案】（1）—+/=1

4-

⑵蟲

7

【分析】（I）由橢圓的基本性質(zhì)得到橢圓出瓦c的值，寫出橢圓方程.

（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理得到占+々=竽和王馬=0,用交點(diǎn)弦長公

式得到線段長，由點(diǎn)到直線距離得到三角形高，從而算出三角形面積.

【小問1詳解】

由題意可知：2。=4,則〃=2,

??。Ji?昌

?e=-=—>.?c=75，

a2

b=\la2-c2=1，

???橢圓C:土+/=]

4一

【小問2詳解】

片（一百,o）K（百，o），?'?直線/：”一冬+1，

X1

—+/2=1

聯(lián)立方程組《一f-得7工2-8人=0,

V3,

y=-----x+1

3

設(shè)尸（知為），。（工2，%），

,,=-\PQ\d=~xyxv3=-y

17.如圖，三棱臺48C—44G中，V48C是正三角形，力/，平面44。，

AB=2AyA=24G=4,m，N分別為棱AB,B、B的中點(diǎn).

B

(1)證明：8乃J_平面MCN；

(2)求直線G。與平面MCN所成的角的正弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

【分析】(1)先應(yīng)用線面垂直判定定理得出CM_L平面再應(yīng)用線面垂直性質(zhì)得出線

線垂直，即可證明線面垂直；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用空間向量法求線面角正弦值即可.

【小問1詳解】

因?yàn)閂/BC是正三角形，M為48中點(diǎn)，所以CWL48,

因?yàn)?%_1.平面平面/4C,所以CMJ_4.4,

又AiAClAB=A,A[A,ABu平面AlABB[,

所以CMJ_平面4力8a，

又因?yàn)槠矫嫠訡A/_L48,

連接力鳥，易得ABi=B1B=2亞,

所以43?=4哥十用82,所以《

又因?yàn)锳B\HMN,所以MN_LBB1,

因?yàn)镸Nna/=",MV,CA/u平面MCN,

所以J,平面MCN.

【小問2詳解】

取4c中點(diǎn)O,連接3O,C0,易知OG三條直線兩兩垂直，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，08,0C,0G所在直線分別為■y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(6,7,2),5(2>/3,0,0),C(0,2,0),C,(0,0,2),

由(1)知平面MGV的一個法向量為而二(、行,1,—2),又*=(0,2,—2),

-------?163

\B}B-CXC

所以cosBB,CC\=.—.,——=—7=----7=——,

}}1忸斗困2萬274

3

所以直線GC與平面A/CV所成的角的止弦值為一.

4

22

18.已知雙曲線C：二一2=1(〃>0力>0)的離心率為五，點(diǎn)(3,-1)在雙曲線。上.過C

cTb“

的左焦點(diǎn)廠作直線/交C的左支于力、8兩點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程.

(2)若M(-2,0),試問：是否存在直線/,使得點(diǎn)切在以48為直徑的圓上？若存在求出直

線/的方程；若不存在，說明理由.

(3)點(diǎn)P(-4.2),直線力產(chǎn)交直線工=一2于點(diǎn)Q.設(shè)直線。4、。8的斜率分別尢、自，

求證：勺-網(wǎng)為定值.

【正確答案】(1)--^=1；

88

(2)不存在，理由見解析；

(3)證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意列式求。,4。，進(jìn)而可得雙曲線方程;

（2）設(shè)/：X=〃少-4,力（八,必）,8（工2，%），聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理判斷而?礪是否為

零即可；

（3）用44兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線/P,得點(diǎn)。坐標(biāo)，表示出尢，&，結(jié)合韋達(dá)定理，證明勺-42

為定值.

【小問1詳解】

22

由雙曲線c：「一三=1的離心率為0,且用（3,-1）在雙曲線。上，

a"b"

可得e=-=V2,解得力=8,〃=8所以雙曲線的方程為三-上^=1.

a88

c2=a2-^b2

【小問2詳解】

雙曲線C的左焦點(diǎn)為b（-4,0）,

當(dāng)直線/的斜率為0時，此時直線為y=0,與雙曲線C左支只有一個交點(diǎn)，不符合題意,

當(dāng)直線/的斜率不為0時，設(shè)/：x=，町，-4,

由＜2I8，消去x得（加一—l）y2_Smy+8=0,

顯然〃/一1w0，A=64W2-32(W2-1)=32(〃?2+1)>0,

設(shè)4(%1)1),8(電丫2)，則弘+當(dāng)二￥,，必為二:1<0，得一1<〃”1，

于是MA=(X]+=(x2+2,%)，

MAMB=(x2+2)(^+2)+必歹2=(孫一2)(股2—2升天必

..8(〃7~+1)1An?2

=(〃廠+1)必必一2〃?(必+8)+4=—^―-----^―-+4=-4，

''tnm-1

即必?赤工0，因此M4與不垂直,

所以不存在直線/，使得點(diǎn)用在以43為直徑的圓上.

【小問3詳解】

由直線-2=K（x+4）,得。（一2,2+2仁）,

則—2.222K，又小二漢

X2+2rny2-2再+4my{

%一28—2—（必一2）（加以一2）一〃7乂（必一2一2勺）

于是{一e=

，孫（〃必一

my}my2-22）

-2my2-2y+4+2my]+2mk]y]

孫（研一2）

即有可町K=必-2，且兇+必=myxy2，

所以女「乂:2加:「X）2（乂一）：）=一2、即攵一隊(duì)為定值.

"?（"必一2）必+y2-2M

方法點(diǎn)睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)淖顬樽兞?，再把要證明為定值的量用上

述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；②特例法，從特殊情況入手，求出定值，

再證明這個值與變量無關(guān).

19.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書

中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是己知動點(diǎn)"與兩定點(diǎn)0，。的距離之上

曙川—）力是一個常數(shù)，那么動點(diǎn)〃的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直

線尸。上.已知動點(diǎn)歷的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為/+/=4,定點(diǎn)分別為橢圓

C:0+￡=1＞力＞0）的右焦點(diǎn)F與右頂點(diǎn)A,且橢圓C的離心率為e=1

（2）如圖，過右焦點(diǎn)廠斜率為％（左＞0）的直線/與橢圓C相交于8,D（點(diǎn)8在x軸上方）,

點(diǎn)s,r是橢圓C上異于。的兩點(diǎn)，SF平一分4BSD,7萬平分N87Q.

BS\

①求的取值范圍；

②將點(diǎn)s、F、r看作一個阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若△SVT外接圓的面積為一廠，求直線

O

/的方程.

【正確答案】（1）4+要1；（2）①I/[；?v=^x-—.

8613J’22

【分析】（1）方法I,利用特殊值法，求得橢圓方程，方法2,利用定義整理得

八丁+212吟+―/=0,再根據(jù)條件列式求得橢圓方程；方法3,利用定義進(jìn)

22-122-1

\MF\

行整理，由扃為常數(shù)，求得系數(shù)，得到橢圓方程；（2）①首先由面積比值求得M=M

網(wǎng)一I四

3

則旃二%而