第三講角的平分線2初中幾何綜合復(fù)習(xí)模型3角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，AP⊥OP于P點(diǎn)，延長AP于點(diǎn)B。結(jié)論:▲AOB是等腰三角形。模型分析：構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這個(gè)模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ//ON，交OM于點(diǎn)Q。結(jié)論:▲POQ是等腰三角形。模型4角平分線+平行線模型分析:有角平分線時(shí)，常過角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。1、在□ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F.(1)在圖1中證明CE=CF;(2)若∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)(如圖2)，直接寫出∠BDG的度數(shù);(3)若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG(如圖3)，求∠BDG的度數(shù).（1）證明：∵AB∥DC∴∠1=∠2∵AD∥BC∴∠3=∠4AF平分∠BAD∴∠2=∠3∴∠1=∠4∠4=∠5∴∠1=∠5∴CE=CF(2)證明：連接CG，BG.在△CEF中，∠BCF=90oEG=FG∴EG=FG=CG∠BCG=45o△ADF是等腰直角三角形∴∠AFD=45o∴∠BCG=∠AFDAD=DF=BC∴△BCG≌△DFG∴BG=DG∠BGC=∠DGF∠BGD=∠BGC-∠DGC∠CDF=∠DGF-∠DGC∴∠BGD=∠CDF∠CDF=90o∴∠BGD=90o∴△BGD是等腰直角三角形∴∠BDG=45o(3)證明：連接CG、BG、EG?！逨G=CEFG∥CE∴四邊形EGFC是菱形∴EG=FG=CG∵∠ABC=120o∴∠BEG=∠DCG=60oAB=BE=DC∴△BEG≌△DCG∴BG=DG∠BGE=∠DGC∠BGD=∠BGE+∠EGD∠EGC=∠DGC+∠EGD∴∠BGD=∠EGC=60o∴△BGD是等邊三角形∴∠BDG=60o2、在矩形ABCD中，將對(duì)角線CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CE，連接AE，取AE的中點(diǎn)F，連接BF，DF.(1)若點(diǎn)E在CB的延長線上，如圖1.①依題意補(bǔ)全圖1;②判斷BF與DF的位置關(guān)系并加以證明;(2)若點(diǎn)E在線段BC的下方，如果∠ACE=90°，∠ACB=28°,AC=6，請(qǐng)寫出求BF長的思路.(可以不寫出計(jì)算結(jié)果)(2)證明：延長DF、CB交于G?！逜D∥BC∴∠G=∠ADF又∠AFD=∠EFGAF=EF∴△AFD≌△EFG∴GF=DFAD=EG連接BDCE=BC+BE=AD+BE=EG+BE=BG=AC=BD又GF=DFBF=BF∴△GBF≌△DBF∴∠BFG=∠BFD∴∠BFD=90oBF⊥DF（3）證明：連接BD、OF,∵長方形的對(duì)角線平分∴AO=CO=BO=DO在△AEC中AF=EF∴OF是△AEC的中位線∴FO∥EC∴∠AOF=∠ACE=90o∵∠ACB=28oOB=OC∴∠DBC=28o∴∠AOB=56o∴∠BOF=90o-56o=34o∵0F=?EC=?AC=?BD=OD∴∠ODF=∠OFD=17o由①BF⊥DF∴sin17o=BF/BD=BF÷6BF=sin17o×63、在正方形ABCD中，BD是一條對(duì)角線，點(diǎn)P在射線CD上(與點(diǎn)C、D不重合)，連接AP，平移▲ADP，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到▲BCQ，過點(diǎn)Q作QH⊥BD于H,連接AH，PH。(1)若點(diǎn)P在線段CD上，如圖1.①依題意補(bǔ)全圖1;②判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明;(2)若點(diǎn)P在線段CD的延長線上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的邊長為1，請(qǐng)寫出求DP長的思路.(可以不寫出計(jì)算結(jié)果)（1）②證明：BD是正方形的對(duì)角線∴∠BDC=45o∵QH⊥BD∴△DHQ是等腰直角三角形∴DH=QH∠HDP=∠CQHDP=CQ∴△DHP≌△QHC∴HP=HC∠DHP=∠QHC∵H在正方形對(duì)角線上∴△AHD≌△CHD∴HA=HC∠AHD=∠CHD∴HA=HP∴∠AHP=∠AHD+∠DHP∠DHQ=∠CHD+∠QHC∴∠AHP=∠DHQ=90o∴AH⊥PH（3）證明：∠AHB=∠AHQ-∠BHQ=152o-90o=62o∵AC是正方形對(duì)角線∴∠ABD=45o∴∠BAH=180o-45o-62o=73o∴∠DAH=90o-73o=17o由②得知∠PAH=45o∴∠PAD=45o-17o=28o在RT△PAD中tan28o=DP/ADAD=1∴DP=tan28o一題多解4、在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中點(diǎn)，P是線段BM上的動(dòng)點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ。(1)若α=60°且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合(如圖1)，線段CQ的延長線交射線BM于點(diǎn)D，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出∠CDB的度數(shù);(2)在圖2中，點(diǎn)P不與點(diǎn)B，M重合，線段CQ的延長線于射線BM交于點(diǎn)D，猜想∠CDB的大小(用含α的代數(shù)式表示)，并加以證明;(3)對(duì)于適當(dāng)大小的α，當(dāng)點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)到某一位置(不與點(diǎn)B，M重合)時(shí)，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點(diǎn)D，且PQ=QD，請(qǐng)直接寫出α的范圍。⑴證明：∵∠BAC=60oP、M重合∴∠CMQ=60oMA=MC=MQ∴△CQP是等邊三角形∴∠CQP=60oBA=BCMA=MC∴BM⊥AC∴∠QMD=30o∴∠CDB=∠CQP-∠QMD=60o-30o=30o（2）證明：連接PC、ADBA=BCMA=MC∴BD是AC的垂直平分線PC=PADC=DAPD=PD∴△PCD≌△PAD∴∠1=∠3∠4=∠5PA=PQ∴PC=PQ∴∠1=∠2∴∠2=∠3∵∠2+∠PQD=180o∴∠3+∠PQD=180o∴∠ADC+∠APQ=180o∴∠ADC=180o-2α

∠4=90o-α(3)證明：∠ABD=∠ADB=90o-α∠BAD=2α∵PQ=QD∠CDB=90o-α∴∠PQC=180o-2α∴∠PAD=180o-2α∠AMD=90o∴∠MAD=α∵∠BAD﹥∠PAD﹥MAD∴2α﹥180o-2α﹥?chǔ)两獾茫?5o＜α＜60o5、如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)P是BC邊上的一點(diǎn)，作點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD,BD，作AE⊥BD于點(diǎn)E。(1)若∠PAC=10°，依題意補(bǔ)全圖形1，并直接寫出∠BCD的度數(shù):(2)如圖2，若∠PAC=α(0°<α<30°)，求證:∠BCD=∠BAE;用等式表示線段BD，CD，AE之間的線段關(guān)系并加以證明。（1）解：連接AD∵C、D關(guān)于AP對(duì)稱AD=AC∠DAP=∠CAP=10o∠DAC=∠DAP+∠CAP=20o∠ACD=(180o-20o)÷2=80o∵∠ACB=60o∴∠BCD=∠ACD-∠ACB=20o（2）①證明：∵C、D關(guān)于AP對(duì)稱∴∠DAC=2αAD=AC∴∠ACD=(180o-2α)÷2=90o-α∴∠BCD=90o-α-60o=30o-αAB=AC=ADAE⊥BD∴∠BAE=∠DAE∴∠BAE=(60o-2α)÷2=30o-α∴∠BAE=∠BCD（2）②證明：在AE上截取AF=CD∵∠BAE=∠BCDAB=CB∴△ABF≌△CBD∴AF=CDBF=BD∠ABF=∠CBD∠DEF=∠FBC+∠ABF∠ABC=∠FBD+∠CBD∴∠DEF=∠ABC=60o一題多解6、如圖，已知∠MON=α(0°<α<90°)，OP是∠MON的平分線，點(diǎn)A是射線OM上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于OP對(duì)稱點(diǎn)B在射線ON上，連接AB交OP于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作ON的垂線，分別交OP，ON于點(diǎn)D，E，作∠OAE的平分線AQ，射線AQ與OP，ON分別交于點(diǎn)F，G.(1)①依題意補(bǔ)全圖形;②求∠BAE度數(shù):(用含α的式子表示)(2)寫出一個(gè)α的值，使得對(duì)于射線OM上任意的點(diǎn)A總有OD=√2AF(點(diǎn)A不與點(diǎn)0重合)，并證明.（1）解：∵OA=0B∠MON=α∴∠OAB=(180°-α)÷2=90°-?α∵∠AE⊥ON∴∠OAE=90°-α∴∠BAE=90°-?α-(90°-α)=?α（2）當(dāng)α=45o時(shí)證明：∵AE⊥ON∴∠OAE=45oAE=OE由（1）∠EOD=∠EAB∠AEO=∠AEB=90o∴△OED≌△AEB∴OD=AB∠EOD=∠EAB=22.5oAG平分∠OAB∴∠EAG=22.5o∴∠GAB=45oA、B關(guān)于OP對(duì)稱∴∠FBA=45o∴△FBA是等腰直角△∴AB=√2AF∴OD=√2AF7、M0N=α,A為射線OM上一定點(diǎn)，0A=5,B為射線ON上一動(dòng)點(diǎn)，連接AB，滿足∠0AB，∠0BA均為銳角,點(diǎn)C在線段OB上(與點(diǎn)O，B不重合)，滿足AC=AB，點(diǎn)C關(guān)于直線OM的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接AD,0D(1)依題意補(bǔ)全圖1;(2)求∠BAD的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示);(3)若tanα=?,點(diǎn)P在0A的延長線上，滿足AP=OC,連接BP，寫出一個(gè)AB的值，使得BP∥OD，并證明.（2）證明：∵AB=AC∴∠1=∠2∵D、C關(guān)于AM對(duì)稱∴∠3=∠D∠1＋∠3=180o∴∠2＋∠D=180o∴∠DOC＋∠BAD=180o∴∠BAD=180o-2α8、如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90o，點(diǎn)P在線段BC上，延長BC至點(diǎn)Q,使得CQ=CP，連接AP,AQ.過點(diǎn)B作BD⊥AQ于點(diǎn)D,交AP于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.K是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A,D不重合),過點(diǎn)K作GN⊥AP于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)M,交FD的延長線于點(diǎn)N。(1)依題意補(bǔ)全圖1;(2)求證:NM=NF;(3)若AM=CP,用等式表示線段AE,GN與BN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.（2）證明：AC⊥BCCQ=CPAP=AQ∠PAC=∠QAC∵GN⊥AP∴∠PAC＋∠AMH=90o∵BD⊥AQ∴∠QAC+∠ADB=90o∴∠AMH=∠ADB=∠NMF∴NM=NF（3）證明：∠PAC+∠AMH=90o∠CBF+∠BFC=90o∠AMH=∠NMF=∠AFN=∠BFC∴∠PAC=∠CBF∵等腰直角△ABC∴AC=BC∠ACB=∠BCA=90o∴△APC≌△BFC∴PC=FC∵∠BAC=∠CBA=45o∴∠BAE=∠EBA∴AE=BE連接CE∴CE是∠ACB平分線∴∠FCE=∠PCE=45o∠BAC=45o=∠FCE∠AMG=∠FMN∠EFC=∠MFN∠FMN=∠MFN∴∠AMG=∠EFCAM=PCPC=CF∴AM=CF∴△AMG≌△CFE∴GM=EF∵AE=BENM=NF∴BN=BE＋EF＋NF=AE＋GM＋NM=AE＋GN即BN=AE＋GN9、已知，如圖，▲ABC是等邊三角形.(1)如圖1，將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交BD于點(diǎn)E，連接CE.①求∠AED的度數(shù);②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)果).(2)如圖2，將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交DB的延長線于點(diǎn)E，連接CE.①依題意補(bǔ)全圖2;②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(1)①證明：∵∠BAC=60o∠CAD=90o∴∠BAD=150oAB=AC=AD∴∠ABD=15oAE平分∠BAC∴∠BAE=30o∴∠AED=45oFF(1)②證明：過A點(diǎn)做AF⊥BD于D∵∠AED=45o∴△AEF是等腰直角三角形∴EF=√2AE∵∠AED=∠AFE=45o∴∠AEB=∠AFD=135o∵∠BAD=150o∠BAE=30o∠EAF=90o∴∠DAF=∠BAE=30o∴△DAF≌△BAE∴BE=DFAE是∠BAC角平分線AB=AC∴BE=CEBD=BE＋EF＋DF=2CE＋√2AE(2)②證明：過A點(diǎn)做AG⊥BD交BD延長線于G∵∠