4道三元函數(shù)的二階偏導數(shù)計算練習題及參考答案習題練習1.設(shè)z=f(30x2+15y2)+33x,求z對x,y的所有二階偏導數(shù)。2.設(shè)z=xln(20x+2y),求z的二階偏導數(shù)eq\f(?2z,?x2)、eq\f(?2z,?y2)、eq\f(?2z,?x?y)。3.z=ln(59-43x+6y)+22x2y的二階偏導數(shù)計算。4.求z(x,y)=exyln(24x2+25y2)的二階偏導數(shù)。參考答案1.設(shè)z=f(30x2+15y2)+33x,求z對x,y的所有二階偏導數(shù)。eq\f(?2z,?x2)=60f'(30x2+15y2)+602x2f''(30x2+15y2);eq\f(?2z,?y2)=30f'(30x2+15y2)+302y2f''(30x2+15y2);eq\f(?2z,?x?y)=eq\f(?2z,?y?x)=4*30*15xyf''(30x2+15y2)。2.設(shè)z=xln(20x+2y),求z的二階偏導數(shù)eq\f(?2z,?x2)、eq\f(?2z,?y2)、eq\f(?2z,?x?y).eq\f(?2z,?x2)=eq\f(20*(20x+2*2y),(20x+2y)2);eq\f(?2z,?y2)=-eq\f(22x,(20x+2y)2);eq\f(?2z,?x?y)=eq\f(?2z,?y?x)=eq\f(22y,(20x+2y)2)。3.z=ln(59-43x+6y)+22x2y的二階偏導數(shù)計算.eq\f(?2z,?x2)=2*22y-eq\f(432,(59-43x+6y)2);eq\f(?2z,?y2)=-eq\f(62,(59-43x+6y)2);eq\f(?2z,?x?y)=eq\f(?2z,?y?x)=2*22x+eq\f(43*6,(59-43x+6y)2)。4.求z(x,y)=exyln(24x2+25y2)的二階偏導數(shù)eq\f(?2z,?x2)=z(eq\f(?z,?x))2+eq\f(2*24xyz(24x2+3*25y2),(24x2+25y2)2);eq\f(?2z,?y2)=z(eq\f(?z,?y))2+eq\f(2*25yz*(3*24x2+25y2),(24x2+25y2)2);eq\f(?2z,?x?y)=eq\f(?2z,?y?x)=eq\f(1,z)*eq\f(?z,?y)*eq\f(?z,?x)+z[ln(24x2+25y2)+2*eq\f(242x?+252y?,(24x2+25y2)2)]。詳細步驟：1.設(shè)z=f(30x2+15y2)+33x,求z對x,y的所有二階偏導數(shù)。解：首先求一階偏導數(shù)，使用全微分法有：∵dz=f'(30x2+15y2)*(2*30xdx+2*15ydy)+33dx,∴eq\f(?z,?x)=60xf'(30x2+15y2)+33;eq\f(?z,?y)=30yf'(30x2+15y2)。進一步求二階偏導數(shù)，有：eq\f(?2z,?x2)=60f'(30x2+15y2)+60xf''(30x2+15y2)*2*30x=60f'(30x2+15y2)+602x2f''(30x2+15y2);eq\f(?2z,?y2)=30f'(30x2+15y2)+30yf''(30x2+15y2)*2*15y=30f'(30x2+15y2)+302y2f''(30x2+15y2);eq\f(?2z,?x?y)=eq\f(?2z,?y?x)=60xf''(30x2+15y2)*2*15y=4*30*15xyf''(30x2+15y2)。2.設(shè)z=xln(20x+2y),求z的二階偏導數(shù)eq\f(?2z,?x2)、eq\f(?2z,?y2)、eq\f(?2z,?x?y)。解：先使用全微分求出一階偏導數(shù)：dz=ln(20x+2y)dx+eq\f(x(20dx+2dy),(20x+2y))=[ln(20x+2y)+eq\f(20x,20x+2y)]dx+eq\f(2x,20x+2y)dyeq\f(?z,?x)=ln(20x+2y)+eq\f(20x,20x+2y),eq\f(?z,?y)=eq\f(2x,20x+2y)，進一步求偏導數(shù)有：eq\f(?2z,?x2)=eq\f(20,20x+2y)+eq\f(20[(20x+2y)-20x],(20x+2y)2)=eq\f(20,20x+2y)+eq\f(20*2y,(20x+2y)2)=eq\f(20*(20x+2*2y),(20x+2y)2);eq\f(?2z,?y2)=-eq\f(2x*2,(20x+2y)2)=-eq\f(22x,(20x+2y)2);eq\f(?2z,?x?y)=eq\f(?2z,?y?x)=eq\f(2(20x+2y–20x),(20x+2y)2)=eq\f(22y,(20x+2y)2).3.z=ln(59-43x+6y)+22x2y的二階偏導數(shù)計算解：先使用全微分求出一階偏導數(shù)：dz=eq\f((59-43x+6y)',59-43x+6y)+2*22xydx+22x2dy=eq\f(-43dx+6dy,59-43x+6y)+2*22xydx+22x2dy=(2*22xy-eq\f(43,59-43x+6y))dx+(22x2+eq\f(6,59-43x+6y))dy;根據(jù)全微分，則一階偏導數(shù)有：eq\f(?z,?x)=2*22xy-eq\f(43,59-43x+6y);eq\f(?z,?y)=22x2+eq\f(6,59-43x+6y).再求二階偏導數(shù)如下：eq\f(?2z,?x2)=2*22y+eq\f(43*(-43),(59-43x+6y)2)=2*22y-eq\f(432,(59-43x+6y)2);eq\f(?2z,?y2)=0-eq\f(62,(59-43x+6y)2)=-eq\f(62,(59-43x+6y)2);eq\f(?2z,?x?y)=eq\f(?2z,?y?x)=2*22x-eq\f(43*(-6),(59-43x+6y)2)=2*22x+eq\f(43*6,(59-43x+6y)2).4.求z(x,y)=exyln(24x2+25y2)的二階偏導數(shù)(1)計算一階偏導數(shù)1)先求對x的偏導數(shù)，此時將y看成常數(shù)，有：z=exyln(24x2+25y2)，eq\f(?z,?x)=z[yln(24x2+25y2)+eq\f(xy*2*24x,24x2+25y2)=z[yln(24x2+25y2)+eq\f(2*24x2y,24x2+25y2)],2)再求對y的偏導數(shù)，此時將x看成常數(shù)，有：eq\f(?z,?y)=z[xln(24x2+25y2)+eq\f(xy*2*25y,24x2+25y2)]=z[xln(24x2+25y2)+eq\f(2*25xy2,24x2+25y2)]。(2)對eq\f(?z,?x)再次對x求導，有：eq\f(?2z,?x2)=z*(eq\f(?z,?x))2+z{eq\f(y*2*24x,24x2+25y2)+eq\f(2*24[2xy*(24x2+25y2)-x2y*2*24x],(24x2+25y2)2)},=z(eq\f(?z,?x))2+2*24xyz[eq\f(1,24x2+25y2)+eq\f(2*25y2,(24x2+25y2)2)]=z(eq\f(?z,?x))2+eq\f(2*24xyz(24x2+3*25y2),(24x2+25y2)2)。(3)對eq\f(?z,?y)再次對y求導，有：eq\f(?2z,?y2)=z(eq\f(?z,?y))2+z{eq\f(2*25xy,(24x2+25y2))+eq\f(2*25[2xy(24x2+25y2)-xy2*2*25y],(24x2+25y2)2)}=z(eq\f(?z,?y))2+z[eq\f(2*25xy,(24x2+25y2))+eq\f(2*25*2xy*24x2,(24x2+25y2)2)]=z(eq\f(?z,?y))2+2*25xyz[eq\f(1,24x2+25y2)+eq\f(2*24x2,(24x2+25y2)2)]=z(eq\f(?z,?y))2+eq\f(2*25yz*(3*24x2+25y2),(24x2+25y2)2)。(4)對eq\f(?z,?x)再次對y求導，或eq\f(?z,?y)再次對x求導有：eq\f(?2z,?x?y)=eq\f(?2z,?y?x)=z[xln(24x2+25y2)+eq\f(2*25xy2,24x2+25y2)][yln(24x2+25y2)+eq\f(2*24x2y,24x2+25y2)]+z{ln(24x2+25y2)+eq\f(y*2*25y,(24x2+25y2))+eq\f(2*24*x2[(24x2+25y2)-y*2*25y],(24x2+25y2)2)}=eq\f(?z,?y)*[yln(24x2+