專題18點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

（三大考點(diǎn)，42題）

考點(diǎn)十年考情（2016-2025）命題趨勢

2025年天津卷：線面關(guān)系判斷；2024年全國甲卷：面

面交線相關(guān)命題判斷；2024年天津卷：線面位置關(guān)系命

1.主要考查空間點(diǎn)、

題判斷；2022年浙江卷：線線角、線面角、二面角大小

線、面之間的平行、垂

比較；2022年上海卷：正方體中異面直線判斷；2021年

直等位置關(guān)系的判斷及

考點(diǎn)1：空間全國乙卷：正方體中異面直線所成角計(jì)算；2020年山東

相關(guān)角的計(jì)算。2.常結(jié)

點(diǎn)、直線、平卷：正方體中直線位置關(guān)系判斷；2019年全國II卷：面

合正方體、直三棱柱等

面之間的位置面平行充要條件判斷；2018年全國II卷：正方體中異面

幾何體，通過命題判斷、

關(guān)系直線所成角正切值計(jì)算；2017年全國II卷：直三棱柱中

角度計(jì)算等形式考查，

異面直線所成角余弦值計(jì)算；2016年全國I卷：平面與

注重對(duì)空間想象能力和

正方體相交所得線線角正弦值計(jì)算；2016年上海卷：正

邏輯推理能力的檢驗(yàn)。

方體中直線與直線位置關(guān)系判斷；2016年山東卷：直線

相交與平面相交的條件關(guān)系判斷

1.重點(diǎn)考查直線與平

面、平面與平面平行的

考點(diǎn)2：直線、2025年全國一卷：正三棱柱中平行與垂直關(guān)系判斷；判定定理和性質(zhì)定理的

平面平行的判2021年浙江卷：正方體中直線與平面平行及垂直關(guān)系判應(yīng)用。2.多以正方體等

定與性質(zhì)斷；2017年全國I卷：正方體中直線與平面平行判斷常見幾何體為載體，判

斷線面、面面是否平行，

注重定理的靈活運(yùn)用。

2024年新課標(biāo)Ⅱ卷：正三棱臺(tái)中線面角正切值計(jì)算；1.主要考查直線與平

2024年北京卷：四棱錐的高計(jì)算；2023年全國乙卷：面、平面與平面垂直的

直線與平面所成角正切值計(jì)算；2023年全國甲卷：三棱判定與性質(zhì)，涉及線面

考點(diǎn)3：直線、錐體積計(jì)算；2023年天津卷：三棱錐體積之比計(jì)算；2023角、二面角的計(jì)算及體

平面垂直的判年北京卷：五面體棱長之和計(jì)算；2023年新課標(biāo)Ⅱ卷：積、棱長等相關(guān)量的求

定與性質(zhì)圓錐相關(guān)體積、側(cè)面積及線段長度、三角形面積判斷；2022解。2.常以三棱錐、四

年全國乙卷：正方體中平面與平面垂直判斷；2022年全棱錐、正方體、長方體

國甲卷：長方體中線面角相關(guān)判斷；2022年新高考全國等幾何體為背景，注重

Ⅱ卷：三棱錐體積比較；2019年全國III卷：空間幾何對(duì)空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化及

體中線段長度及直線位置關(guān)系判斷；2019年浙江卷：三相關(guān)計(jì)算能力的考查。

棱錐中各種角的大小比較；2018年全國I卷：正方體中

平面截得截面面積最大值計(jì)算；2018年全國I卷：長方

體體積計(jì)算；

考點(diǎn)01：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

一、單選題

1．（2025·天津·高考真題）若m為直線，為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．若，則?,?B．若，則

C．若?//?,???，則?//?D．若?⊥?,?⊥?，則?⊥?

【答案】C?//?,?⊥??⊥????,?⊥??⊥?

【分析】根據(jù)線面平行的定義可判斷A的正誤，根據(jù)空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷BCD的正誤.

【詳解】對(duì)于A，若，則可平行或異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若?//，?,則???，故?B,?錯(cuò)誤；

對(duì)于C，兩條?平⊥行?,線?有⊥一?條垂?直//于?一個(gè)平面，則另一個(gè)必定垂直這個(gè)平面，

現(xiàn)，故，故C正確；

對(duì)于?/D/?，,?⊥??⊥，?則與可平行或相交或，故D錯(cuò)誤；

故選：C.???,?⊥??????

2．（2024·全國甲卷·高考真題）設(shè)、為兩個(gè)平面，、為兩條直線，且.下述四個(gè)命題：

①若，則或②?若?，則?或??∩?=?

③若?//?且?/，/?則?//?④若與?⊥,?所成的?角⊥相?等?，⊥則?

其中所?/有/?真命?/題/?的編號(hào)?是//（?）????⊥?

A．①③B．②④C．①②③D．①③④

【答案】A

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.

【詳解】對(duì)①，當(dāng)，因?yàn)?，，則，

當(dāng)，因?yàn)??，?，?則//?，????//?

當(dāng)?既?不?在也不?在//?內(nèi)，?因?為??，//?，則且，故①正確；

????//????,????//??//?

對(duì)②，若，則與不一定垂直，故②錯(cuò)誤；

對(duì)③，過直?線⊥?分別作?兩?平,?面與分別相交于直線和直線，

因?yàn)?，過?直線的平面與平?面,?的交線為直線，?則根據(jù)?線面平行的性質(zhì)定理知，

同理可?/得/?，則?，因?yàn)槠?面，平面?，則平面，?//?

因?yàn)槠?面//?，?//?，則??，?又因??為?，則?/，故?③正確；

????∩?=??//??//??//?

對(duì)④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯(cuò)誤；

綜上只有?①∩③?正=確?，,????//?,?//??//?

故選：A.

3．（2024·天津·高考真題）已知是兩條直線，是一個(gè)平面，下列命題正確的是（）

A．若，，則?,?B．?若，則

C．若?//??⊥，?則?⊥?D．若?⊥?,?⊥?，則?⊥?

【答案】C?//?,?⊥??⊥??⊥?,?⊥??⊥?

【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】對(duì)于A，若，，則平行或相交，不一定垂直，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B，若?//，?則?⊥?或?,?，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C，?⊥?,?⊥，?過作?平//面?，?使?得?，

因?yàn)?，//?故,?⊥?，而?，故?，?故∩?=?，故C正確.

對(duì)于?D，?若??//?，?則??，?故⊥D?錯(cuò)誤?.⊥?

故選：C.?⊥?,?⊥??//?

4．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記

與所成的角為，與平面所成的角?為???，?二1面?1角?1,??=??1的平面角為，則?（?,?1?）1

????1??????????????

A．B．C．D．

?≤?≤??≤?≤??≤?≤??≤?≤?

【答案】A

【分析】先用幾何法表示出，，，再根據(jù)邊長關(guān)系即可比較大?。?/p>

【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作???于，過作于，連接，

???⊥??????⊥?????

則，，，

?=∠????=，∠????=∠???，，

????????????

所tan以?=??=??，≤1tan?=??=??≥1tan?=??≥??=tan?

故選：?≤A．?≤?

5．（2022·上?！じ呖颊骖}）如圖，正方體中，???分別為棱???的中點(diǎn)，

連接?，對(duì)空間任意兩點(diǎn)?，若?線?段???與?1線?1段?1?1??都?不?相?交，則稱???兩??點(diǎn)?可?視1?，?下列選項(xiàng)

中與點(diǎn)?1??可1?視的為（）?????1??1???

?1

A．點(diǎn)B．點(diǎn)C．點(diǎn)D．點(diǎn)

【答案】B????

【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷即可.

【詳解】A選項(xiàng)：四邊形是平行四邊形，與相交，故A錯(cuò)；

C選項(xiàng)：四邊形是?平1?行1?四?邊形，與?1相?交?，1故?C錯(cuò)；

D選項(xiàng)：四邊形?1?1??是平行四邊形，?1?與??1相交，故D錯(cuò)；

利用排除法可得?選1項(xiàng)?1?B?正確.?1???1

故選：B.

6．（2021·全國乙卷·高考真題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角

為（）??????1?1?1?1?1?1????1

A．B．C．D．

ππππ

2346

【答案】D

【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.

??1??1????1????1

【詳解】

如圖，連接，因?yàn)椤危?/p>

所以或??其1,補(bǔ)??角1,為??直線與??1所??成1的角，

因?yàn)椤???1平面，?所?以??1，又，，

所以??1⊥平面?1?1?，1?所1以??1⊥，??1??1⊥?1?1??1∩?1?1=?1

111

設(shè)正方??體⊥棱長為??2，?則??⊥??，

1

??1=22,??1=2?1?1=2

，所以.

??11?

sin∠???1=??1=2∠???1=6

故選：D

7．（2020·山東·高考真題）已知正方體（如圖所示），則下列結(jié)論正確的是（）

??????1?1?1?1

A．B．C．D．

【答案】??D1//?1???1//?1???1⊥?1???1⊥?1?1

【分析】根據(jù)異面直線的定義，垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，判斷選項(xiàng).

【詳解】A.，與相交，所以與異面，故A錯(cuò)誤；

B.與平面??1//??1相交??，1且??1，所以??1與??1異面，故B錯(cuò)誤；

C.?四?邊1形???是1?矩1形，不是?菱1形?，?1所?以對(duì)角?線?1?與1?不垂直，故C錯(cuò)誤；

D.連結(jié)?1?，??1，，??1?1?，所以平面，所以，

?1?1?1?1⊥?1?1??1⊥?1?1?1?1∩??1=?1?1?1⊥??1?1?1?1⊥??1

故D正確.

故選：D

8．（2019·全國II卷·高考真題）設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是

A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行???//?

B．?內(nèi)有兩條相交直線與?平行

C．?，平行于同一條直線?

D．?，?垂直于同一平面

【答案】?B?

【分析】本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平

行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．

【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理

知，若，則內(nèi)任意一條直線都與?平行，所以內(nèi)兩條相?交直線?都//與?平行是的必要條件，故選B．

【點(diǎn)睛?】//面?面平?行的判定問題要緊扣面?面平行判定?定理，最容易犯的錯(cuò)誤?為定理記?/不/?住，憑主觀臆斷，如：

“若，則”此類的錯(cuò)誤．

9．（?2?01?8,·全??國?I,I?卷//·?高考真?題//?）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成

角的正切值為??????1?1?1?1???1????

A．B．C．D．

2357

【答案】2C222

【分析】利用正方體中，，將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，

在中進(jìn)行計(jì)算即?可??.???1?1?1?1??//??????

【詳??解??】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，

設(shè)正方體邊長為?，??則?由??為1?棱1?1?的1中點(diǎn)?，?/可/?得?，所以????，∠???

2????1??=???=5?

則.故選C.

??5?5

tan∠???=??=2?=2

【點(diǎn)睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：

（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所

在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；

（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余

弦取絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.

10．（2017·全國II卷·高考真題）已知直三棱柱中，，，，

°

則異面直線與所成角的余弦值為??C??1?1C1∠??C=120??=2?C=CC1=1

??1?C1

A．B．C．D．

315103

【答案】2C553

【詳解】如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱，

則所求角為??????1?1?1?1，易得

22

11111

，∠因??此?,∵??=2,??=2+1，?故2×選2C×．1×cos60°=3,??=??=5??=

22??1210

??+??1cos∠??1?=?1?=5=5

平移法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，

具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線

?

所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異(0,面2]直線之間所成角的范圍．

11．（2018·浙江·高考真題）已知四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，是線段上的點(diǎn)（不

含端點(diǎn)），設(shè)與所成的角為，與??平?面???所成的角為，二面角?的平面?角?為，則

A．????B．?1??C?．????2D．???????3

?1≤?2≤?3?3≤?2≤?1?1≤?3≤?2?2≤?3≤?1

【答案】D

【分析】分別作出線線角、線面角以及二面角，再構(gòu)造直角三角形，根據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小關(guān)系.

【詳解】設(shè)為正方形的中心，為中點(diǎn)，過作的平行線，交于，過作垂直于，

連接、?、，則???垂?直于底面???，垂直?于??，???????????

因此????????????????

123

從而∠???=?,∠???=?,∠???=?,

????????

tan?1=??=??,tan?2=??,tan?3=??,

因?yàn)?，，所以即，選D.

??≥????≥??tan?1≥tan?3≥tan?2,?1≥?3≥?2

【點(diǎn)睛】線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.

12．（2016·全國I卷·高考真題）平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，,

平面，平面?，則m，n所成角的正弦值為?∩

11

A?．???=??∩B．????=?C．D．

3231

【答案】2A233

【詳解】試題分析：如圖，設(shè)平面平面=，平面平面=，因?yàn)槠矫妫?/p>

所以，則所成的??角1等?1于∩所??成??的角?.'延長??，1過?1∩作???1?1，?連'接?/，則??1?1

為?，/同/?理',?//?為'，?而,??',?'，則所成?的?角即為?1?1?∥所?成1?的角，即??為,?1?1，故??

?'?1?1?'??∥??,?1?1∥?1??',?'?1?,??60°?,?

所成角的正弦值為，選A.

3

2

【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成的角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形、解

形求角、得鈍求補(bǔ).

13．（2017·全國III卷·高考真題）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則．

A．B．??C?．???1?1?1?1?D．??

【答案】?C1?⊥??1?1?⊥???1?⊥??1?1?⊥??

【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形根據(jù)空間中的垂直的判定對(duì)給出的四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行分析、判斷后可得正確

的結(jié)論．

【詳解】畫出正方體，如圖所示．

??????1?1?1?1

對(duì)于選項(xiàng)A，連，若，又，所以平面，所以可得，顯然不

成立，所以A不?正1?確．?1?⊥??1??1⊥?1?1??1⊥?1??1??1⊥?1?

對(duì)于選項(xiàng)B，連，若，又，所以平面，故得，顯然不成立，所以B

不正確．???1?⊥????⊥??1??⊥?1????⊥??

對(duì)于選項(xiàng)C，連，則．連，則得，所以平面，從而得

，所以??1．?所?以1∥C?正?1確．?1???1⊥?1?,??1⊥????1⊥?1????1⊥

?對(duì)1于?選項(xiàng)D?，1?連⊥?，?1若，又，所以平面，故得，顯然不成立，所以D

不正確．???1?⊥????⊥??1??⊥?1????⊥??

故選C．

【名師點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的判定，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，然后結(jié)合圖形并利用排除法求解，考查

數(shù)形結(jié)合和判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．

14．（2016·浙江·高考真題）已知互相垂直的平面，交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則

A．m∥lB．m∥nC．?n⊥?lD．m⊥n

【答案】C

【詳解】試題分析：

由題意知，．故選C．

【考點(diǎn)】空?∩間?點(diǎn)=、?,線∴、??面?的位∵置?關(guān)⊥系?,．∴?⊥?

【思路點(diǎn)睛】解決這類空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問題，一般是借助長方體（或正方體），能形象直觀地看

出空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系．

15．（2016·上?！じ呖颊骖}）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別為BC、BB1的中點(diǎn)，則下列直

線中與直線EF相交的是（）.

A．直線AA1B．直線A1B1

C．直線A1D1D．直線B1C1

【答案】D

【詳解】試題分析：

只有與在同一平面內(nèi)，是相交的，其他A，B，C中的直線與都是異面直線，故選D．

【考點(diǎn)?1】?1異面??直線??

【名師點(diǎn)睛】本題以正方體為載體，研究直線與直線的位置關(guān)系，突出體現(xiàn)了高考試題的基礎(chǔ)性，題目不

難，能較好地考查考生分析問題與解決問題的能力、空間想象能力等.

16．（2016·山東·高考真題）已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面，內(nèi)則“直線a和直線b相交”是“平面

和平面相交”的??.?

A．?充分不必(要條)件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】當(dāng)“直線a和直線b相交”時(shí)，平面α和平面β必有公共點(diǎn)，即平面α和平面β相交，充分性成立；

當(dāng)“平面α和平面β相交”，則“直線a和直線b可以沒有公共點(diǎn)”，即必要性不成立.

故選A.

二、多選題

17．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知正方體，則（）

A．直線與所成的角為B．直??線???與?1?1?所1?成1的角為

C．直線??1與平??面1所成9的0°角為D．?直?1線??1與平面ABCD9所0°成的角為

【答案】ABD??1??1?1?45°??145°

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，

因?yàn)樗倪呅螢?正1?方?形?，1則??1//?，1?故直線與??1所?1成?的角為，A正確??；1??1

??1?1??1?⊥??1??1??190°

連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，

因?yàn)?1??，1?1⊥??1?1?，?所?以1?平??面1?1?，?1?1⊥??1

又?1?平⊥面??1?，1?所1∩以?1?=?1，故?B?正1⊥確；?1?1?

連接?1??，設(shè)?1?1???1⊥，?連?接1，

因?yàn)?1?1平面?1?1∩?1?，1=?平面??，則，

因?yàn)??1⊥?，1?1?1?1?1??，所?1以?1?1?1平面?1?⊥?1，?

所以?1?⊥?為1直?1線?1?與1∩平?面1?=?1所成的?1角?，⊥??1?1?

1111

設(shè)正方∠?體?棱?長為，??則??，??，，

2?1?1

1111

所以，直線與1平面??=2所成?的?角=為2，sin故∠?C?錯(cuò)?誤=；??=2

°

因?yàn)槠?面?1，?所?1以?1?為直線30與平面所成的角，易得，故D正確.

°

故選：?1A?B⊥D????∠?1????1????∠?1??=45

18．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為

正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）

??⊥??

A．B．

C．D．

【答案】BC

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為，??

對(duì)于A，如圖（1）所示，連2接，則，

故（或其補(bǔ)角）為異面直?線???所//成?的?角，

在直∠?角??三角形，，??,?，?故，

12

故不?成?立?，?故?A=錯(cuò)2誤.??=1tan∠???=2=2

??⊥??

對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，

由正方體可得??平面?，而???平?面??，⊥????⊥??

故??，??而??????，?故⊥?平??面??，??????

又??⊥?平?面??∩，??=?，而??⊥????，

所以???平面????，?而?⊥??平面??，∩故??=?，故B正確.

??⊥???????????⊥??

對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，

故，故C正確.????//????⊥??

??⊥??

對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，

則，????????,??,??,??,??

因?yàn)??//??，故，故，

所以??=?或?其補(bǔ)角??為//異?面?直線??//??所成的角，

∠?????,??

因?yàn)檎襟w的棱長為2，故，，

122

??=2，??=2??=?，?故+??=不是1直+角2，=3

22222

??=??+??=4+1=5??<??+??∠???

故不垂直，故D錯(cuò)誤.

故選??：,?B?C.

三、填空題

19．（2025·北京·高考真題）某科技興趣小組用3D打印機(jī)制作的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體，其

中ABCDEF是一個(gè)平面多邊形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，

.若???⊥???⊥，則?該?⊥多?面?體的??體//積?為?//??//??．

5

??//??//??//????=??=8,??=??=4,??=??=??=??=2

【答案】

【分析】如60圖，將一半的幾何體分割成直三棱柱和四棱錐后結(jié)合體積公式可求幾何體

的體積.?????????????

【詳解】先證明一個(gè)結(jié)論：如果平面平面，平面平面，平面，則.

證明：設(shè)，，在平?面⊥取一?點(diǎn)，?⊥?，?∩?=??⊥?

在平面內(nèi)?過∩?作=直?線?∩，?使=得?，作直?線，使?得???,，???

因?yàn)槠矫??平面，?，故?⊥?，而?，故?⊥，?

同理?，⊥而?????，⊥故???.??⊥?

?⊥??∩?=?,?,????⊥?

下面回歸問題.

連接，因?yàn)榍?，故，同理，?/p>

而????⊥????//，?故?直角?梯?形⊥??與直?角?梯⊥形????全⊥等?，?

故??=??=8,??=??，=4????????

在直∠?角??梯=形∠???中=，45過°作，垂足為，

則四邊形???為?矩形，且???⊥為??以為?直角的等腰直角三角形，

故????△???∠???，

??=??+??=??+??=??+??=12

平面平面，平面平面，,

?平??面⊥?，?故??平面???∩，????=????⊥??

?取??的中點(diǎn)??為??，?的?中⊥點(diǎn)為??，?的中點(diǎn)為，連接，

則??，同?理可?證?平面???，而?平面??,?，?,??,??

故平??面//??平面??，⊥同理?平?面???平?面??，???

而平面????⊥平面????，故??平?面⊥??，??

故???，?故∩四邊?形??=??為平行?四?邊⊥形，?故???.

1

2

在平??面//??中過作????，交于，連接??=.??=8+12=10

則四邊形????為?平行?四?邊//形??，且?????，故，

故四邊形????為平行四邊形，??//??,??=????//??,??=??

而????平面，

故??⊥平?面?,??⊥，?故?,平??面∩??=平?面,??,??，????

而??⊥??????/，/故???，

故幾??何=體??,??=??為,?直?棱=柱??，△????△???

???????

而，故,

152

因?yàn)?△???=2×，4故×2平面?4=，3????????=8×3=24

而??平//面???，?故⊥平面???平面，

在平??面?中?過???作?，??垂⊥足為?，??同?理可證平面，

而????，故??⊥??，故???⊥????，

11211215

??????

由對(duì)2?稱?性×?可?得=幾3何體的??體=積5為?=3×5，×22+4×2=6

2×24+6=60

故答案為：.

20．（2019·全60國I卷·高考真題）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，

BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為．

【答案】.3

【分析】本2題考查學(xué)生空間想象能力，合理畫圖成為關(guān)鍵，準(zhǔn)確找到在底面上的射影，使用線面垂直定理，

得到垂直關(guān)系，勾股定理解決．?

【詳解】作分別垂直于，平面，連，

知??,??，??,?，???⊥???CO

??⊥平?面?,??⊥，???平?面∩??=，?

∴??⊥?????????

∴??⊥??，．，

3

∵??=??=3??=，2∴sin∠???=sin∠???=2

°

∴∠???=，∠???為=60平分線，

∴??⊥??CO∠???，又，

°

∴∠???=45∴??．=??=1,???=2??=2

∴??=4?2=2

【點(diǎn)睛】畫圖視角選擇不當(dāng)，線面垂直定理使用不夠靈活，難以發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，問題即很難解決，將幾何

體擺放成正常視角，是立體幾何問題解決的有效手段，幾何關(guān)系利于觀察，解題事半功倍．

21．（2018·全國II卷·高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成

7

?????8??

角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為．

【答案】△???515

【分析】先40根2據(jù)π三角形面積公式求出母線長,再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公

式求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槟妇€，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因?yàn)榈拿娣e

715

????8????8△???

為，設(shè)母線長為所以，

1215

515?,2×?×8=515∴?=45

因?yàn)榕c圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為，

π2

???cos4=2?

因此圓錐的側(cè)面積為．

22

【整體點(diǎn)評(píng)】根據(jù)三角π?形?=面2積π公?式=先40求出2π母線長，再根據(jù)線面角求出底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式

求出側(cè)面積，思路直接自然，是該題的最優(yōu)解．

三、填空題

22．（2020·全國II卷·高考真題）設(shè)有下列四個(gè)命題：

p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).

p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.

p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.

則下述命題中?所有真命題的序號(hào)是.

①②③④

【答?1案∧】?4①③?1④∧?2??2∨?3??3∨??4

【分析】利用兩交線直線確定一個(gè)平面可判斷命題的真假；利用三點(diǎn)共線可判斷命題的真假；利用異

面直線可判斷命題的真假，利用線面垂直的定義可?1判斷命題的真假.再利用復(fù)合命題?的2真假可得出結(jié)論.

【詳解】對(duì)于命題?3，可設(shè)與相交，這兩條直線確定的平面?為4；

若與相交，則交?點(diǎn)1在平?面1內(nèi)?2，?

同理?3，?1與的交點(diǎn)也?在平面?內(nèi)，

?3?2??

所以，，即，命題為真命題；

對(duì)于命題???，?若三點(diǎn)?3共?線?，則過?這1三個(gè)點(diǎn)的平面有無數(shù)個(gè)，

命題為假?2命題；

對(duì)于命?2題，空間中兩條直線相交、平行或異面，

命題為假?3命題；

對(duì)于命?3題，若直線平面，

則垂直于?4平面內(nèi)所?有⊥直線，?

直?線平面，?直線直線，

∵命題?為?真命?題.∴?⊥?

?4

綜上可知，，為真命題，，為假命題，為真命題，為假命題，

?1∧?4?1∧?2

為真命題，為真命題.

?故?答2∨案?為3：①③④.??3∨??4

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假，同時(shí)也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，

屬于中等題.

23．（2019·北京·高考真題）已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：

①l⊥m；②m∥；③l⊥．?

以其中的兩個(gè)論斷作為?條件，余?下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：．

【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.

【分析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論加以分析.

【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個(gè)命題：

（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確；

（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.正確；

（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.

24．（2017·全國III卷·高考真題）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC

所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；

②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；

③直線AB與a所成角的最小值為45°；

④直線AB與a所成角的最大值為60°.

其中正確的是.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）

【答案】②③

【分析】由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長為1的正方體，|AC|＝1，|AB|，

斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C=坐2標(biāo)

原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．

【詳解】解：由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，

不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，

故|AC|＝1，|AB|，

斜邊AB以直線=AC2為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，

B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，

以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則D（1，0，0），A（0，0，1），直線a的方向單位向量（0，1，0），||＝1，

→→

?=?

直線b的方向單位向量（1，0，0），||＝1，

→→

設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的?坐=標(biāo)中的坐標(biāo)B′?（cos，sin，0），

其中為B′C與CD的夾角，[0，2），θθ

θθ∈π

∴AB′在運(yùn)動(dòng)過程中的向量，（cos，sin，﹣1），||，

→→

??'=θθ??'=2

設(shè)與所成夾角為[0，]，

→

→?

??'?，，α∈，2，

則cos|sin|[0，]，

|(?????????1)?(010)|22

→→

α=|?|?|??'|=2θ∈2

∴[，]，∴正確，錯(cuò)誤．

??

α∈42③④

設(shè)與所成夾角為[0，]，

→→

?

??'?，β∈，2，，

cos→→|cos|，

|??'??||(?????????1)?(100)|2

→→→→

β=|??'|?|?|=|?|?|??'|=2θ

當(dāng)與夾角為60°時(shí)，即，

→

→?

??'?α=3

|sin|，

?2

θ=2????=2???3=2

∵cos2+sin2＝1，∴cos|cos|，

21

θθβ=2θ=2

∵[0，]，∴，此時(shí)與的夾角為60°，

→→

??

∴β∈正確2，錯(cuò)β=誤3．??'?

故答②案為①．

②③

【名師點(diǎn)睛】（1）平移直線法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題

化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，可知當(dāng)求出的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條

π

2

異面直線所成的角.