專題2.7直線與圓的位置關(guān)系-重難點(diǎn)題型精講1．直線與圓的位置關(guān)系及判定方法(1)直線與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下：(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法

①代數(shù)法：通過(guò)聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)研究，若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無(wú)實(shí)數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來(lái)判斷，當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離.2．圓的切線及切線方程(1)自一點(diǎn)引圓的切線的條數(shù)：

①若點(diǎn)在圓外，則過(guò)此點(diǎn)可以作圓的兩條切線；

②若點(diǎn)在圓上，則過(guò)此點(diǎn)只能作圓的一條切線，且此點(diǎn)是切點(diǎn)；

③若點(diǎn)在圓內(nèi)，則過(guò)此點(diǎn)不能作圓的切線.

(2)求過(guò)圓上的一點(diǎn)的圓的切線方程：

①求法：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線斜率為，由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.

②重要結(jié)論：

a.經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)P的切線方程為.

b.經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)P的切線方程為.

c.經(jīng)過(guò)圓+Dx+Ey+F=0上一點(diǎn)P的切線方程為.3．圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題設(shè)直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長(zhǎng)的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長(zhǎng)l三者具有關(guān)系式：.(2)代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A,B.

①若交點(diǎn)坐標(biāo)簡(jiǎn)單易求，則直接利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.

②若交點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)法簡(jiǎn)單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得或的關(guān)系式，通常把或叫作弦長(zhǎng)公式.4．解與圓有關(guān)的最值問(wèn)題(1)利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問(wèn)題

求圓上點(diǎn)到直線的最大值、最小值，需過(guò)圓心向直線作垂線.

①如圖2-5-1-4①，當(dāng)直線l與圓C相交時(shí)，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離；

②如圖2-5-1-4②，當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，最小距離為0，最大距離為AD=2r；

③如圖2-5-1-4③，當(dāng)直線l與圓C相離時(shí)，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.(2)利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問(wèn)題

解析幾何中的最值問(wèn)題一般是根據(jù)條件列出所求目標(biāo)——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式求出其最值(取值范圍).對(duì)于圓的最值問(wèn)題，要利用圓的特殊幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡(jiǎn)化運(yùn)算的最佳途徑.

①形如u=的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題.②形如t=ax+by的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題.

③形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題.

(3)經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的直徑，過(guò)這點(diǎn)和最長(zhǎng)弦垂直的弦就是最短弦.5．直線與圓的方程的應(yīng)用(1)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：

(2)建系原則

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系要把握兩個(gè)原則：

①對(duì)稱性原則.可以選擇對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸所在的直線為坐標(biāo)軸.到兩個(gè)定點(diǎn)的距離問(wèn)題，可以選擇兩個(gè)定點(diǎn)所在的直線以及線段的垂直平分線為坐標(biāo)軸等.有兩條相互垂直的直線的問(wèn)題則可選其為坐標(biāo)軸.

②集中性原則.可以讓曲線上盡可能多的特殊點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.如與三角形有關(guān)的問(wèn)題，可以考慮將三角形的三個(gè)頂點(diǎn)全部放在坐標(biāo)軸上.

【題型1直線與圓的位置關(guān)系及判定】【方法點(diǎn)撥】①代數(shù)法：通過(guò)聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)研究，若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無(wú)實(shí)數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來(lái)判斷，當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離.【例1】直線mx-2y-m+1=0與圓x2+y2-4x-2y+1=0的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【變式1-1】對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，圓C:x2+y2A．相交 B．相切C．相離 D．與k的取值有關(guān)【變式1-2】已知直線l:x?y+2=0與圓C:x2+y2A．?∞,0 C．?∞,?1【變式1-3】已知點(diǎn)Ma,bab≠0在圓x2+y2=r2內(nèi)，直線mA．l//m且與圓相離 B．C．l//m且與圓相交 D．【題型2圓的切線問(wèn)題及切線方程的求解】【方法點(diǎn)撥】①當(dāng)一條直線l與圓C相切時(shí)，毫無(wú)疑問(wèn)地要用到圓心C到直線l的距離d=r(r為圓C的半徑).②當(dāng)一條直線l與圓C相切于點(diǎn)P時(shí)，則lPC.③過(guò)圓外一點(diǎn)P向圓C作切線，切點(diǎn)為Q，則必定會(huì)用到.【例2】過(guò)點(diǎn)M(3,1)作圓x2+y2?2x?6y+2=0的切線lA．x+y?4=0 B．x+y?4=0或x=3C．x?y?2=0 D．x+y?2=0或x=3【變式2-1】已知圓心在x軸上，半徑為22的圓上有一點(diǎn)M1,2，則圓在點(diǎn)M處的切線方程是（A．x?y+1=0 B．2x?y=0或x+y?3=0C．x+y?3=0 D．x?y+1=0或x+y?3=0【變式2-2】過(guò)直線x+y=5上的點(diǎn)作圓C:x2+A．32 B．23 C．15 【變式2-3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y?32=2，點(diǎn)A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AP，AQ分別切圓C于PA．273,22 B．2143【題型3圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】當(dāng)直線與圓相交時(shí)，因幾何法求弦長(zhǎng)較方便，一般不用代數(shù)法.用幾何法求解圓的弦長(zhǎng)的一般步驟：第一步：確定圓的半徑r；第二步：求解圓心到直線的距離d；第三步：代入公式求解弦長(zhǎng).【例3】直線l:3x+4y?1=0被圓C:x2+A．25 B．4 C．23 【變式3-1】過(guò)點(diǎn)A2,2，作傾斜角為π3的直線l，則直線l被圓O:xA．1?32 B．2?3 C．3?【變式3-2】已知直線l：mx?y?3m+1=0恒過(guò)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線與圓C：(x?1)2+(y?2)2=25相交于A，BA．45 B．2 C．4 D．【變式3-3】已知圓O：?x2+y2=10，已知直線l：?ax+by=2a?ba,b∈R與圓O的交點(diǎn)分別M，N，當(dāng)直線A．352 B．552 C．【題型4直線與圓有關(guān)的最值問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】解直線與圓的最值問(wèn)題主要有以下兩種思路：①代數(shù)法：利用平面幾何中的有關(guān)公式，構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，然后根據(jù)函數(shù)最值的求法進(jìn)行求解.在轉(zhuǎn)化過(guò)程中常用到向量的數(shù)量積、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、換元等知識(shí)和方法.②幾何法：找到所求式的幾何意義，在坐標(biāo)系中與圓建立聯(lián)系，分析其與圓的位置變化情況，找到最大、最小取值點(diǎn).【例4】已知圓C：x2+y2?4x?2y+1=0，點(diǎn)P是直線y=4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，BA．253 B．453 C．【變式4-1】瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC，AB=AC，點(diǎn)B(?1,1)，點(diǎn)C(3,5)，過(guò)其“歐拉線”上一點(diǎn)Р作圓O：x2+y2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，NA．2 B．22 C．3 D．【變式4-2】已知點(diǎn)Q在圓M:x+32+y?32=4上，直線l:2x?3y+6=0與x軸、y軸分別交于點(diǎn)①點(diǎn)Q到直線l的距離小于4.5②點(diǎn)Q到直線l的距離大于1③當(dāng)∠QRP最小時(shí)，RQ④當(dāng)∠QRP最大時(shí)，RQA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式4-3】已知圓C1:(x?2)2+(y+3)2=1，圓C2:(x?3)2+(y?4)2=9，A．52+4 C．52 D．【題型5直線與部分圓的相交問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】一條直線和一個(gè)圓的一部分有交點(diǎn)時(shí)，如果用代數(shù)法去研究，則要轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的取值情況，過(guò)程比較繁瑣，因此這類問(wèn)題一般采用數(shù)形結(jié)合的方法去研究，研究應(yīng)抓住兩類直線：一是切線；二是過(guò)端點(diǎn)的直線.【例5】若直線l:kx?y?2=0與曲線C:1?y?12=x?1有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A．43,2 C．?2,43∪【變式5-1】設(shè)點(diǎn)P(x,y)是曲線y=?4?(x?1)2上的任意一點(diǎn)，則y?2A．[0，125] B．[25，【變式5-2】設(shè)曲線x=1?(1?y)2上的點(diǎn)到直線x?y?2=0的距離的最大值為a，最小值為b，則a?bA．2 B．2?22 C．2 【變式5-3】過(guò)點(diǎn)2,?1引直線l與曲線y=1?x2相交于A?B兩點(diǎn)，則直線lA．?1,?34 B．?43,?1 【題型6直線與圓的方程的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①應(yīng)在利于解題的原則下建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，不可隨便建立；②在實(shí)際問(wèn)題中，有些量具有一定的限制條件，轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題時(shí)要注意取值范圍；③最后一定要將代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化成幾何結(jié)論.【例6】如圖，某海面上有O，A，B三個(gè)小島（面積大小忽略不計(jì)），A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸的正方向，1千米為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過(guò)O，A，B(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問(wèn)該船有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)?【變式6-1】為了保證我國(guó)東海油氣田海域海上平臺(tái)的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺(tái)O的北偏西45°方向22km處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)A，在平臺(tái)O的正東方向12km處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)B，規(guī)定經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的圓以及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū)．如圖所示：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤(1)試寫出A，B的坐標(biāo)，并求兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，B之間的距離；(2)某日經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，在該平臺(tái)O正南10kmC處，有一艘輪船正以每小時(shí)87【變式6-2】如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）.規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P?Q，并修建兩段直線型道路PB?QA.規(guī)劃要求，線段PB?QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.已知點(diǎn)A,B到直線l的距離分別為AC和BD（C,D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）.(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；(2)在規(guī)劃要求下，點(diǎn)Q能否選在D處？并說(shuō)明理由.【變式6-3】為了保證我國(guó)東海油氣田海域的海上平臺(tái)的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺(tái)O的正東方向設(shè)立了兩個(gè)觀測(cè)站A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)O、點(diǎn)B之間），它們到平臺(tái)O的距離分別為3海里和12海里，記海平面上到兩觀測(cè)站距離PA，PB之比為12的點(diǎn)P的軌跡為曲線E，規(guī)定曲線E(1)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線E的方程；(2)某日在觀測(cè)站B處發(fā)現(xiàn)，在該海上平臺(tái)正南211海里的C處，有一艘輪船正以每小時(shí)10海里的速度向北偏東30專題2.7直線與圓的位置關(guān)系-重難點(diǎn)題型檢測(cè)一．選擇題1．直線3x+4y+12=0與圓x?12+y+1A．相交且過(guò)圓心 B．相切C．相離 D．相交但不過(guò)圓心2．若直線y=x+b與曲線x=1?y2恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則bA．?2,2C．?1,2∪23．圓x2+y2?4x+4y+6=0A．6 B．62 C．1 4．經(jīng)過(guò)直線2x?y+3=0與圓x2+yA．x+352C．x+3525．過(guò)點(diǎn)P4,1作圓C:x?22A．3x?4y?8=0 B．3x?4y?8=0或x=4C．3x+4y?8=0 D．3x+4y?8=0或x=46．若P是直線l:3x+4y+1=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓C:x?22+y?22=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，A．5 B．7 C．25 D．7．已知在某濱海城市A附近的海面出現(xiàn)臺(tái)風(fēng)活動(dòng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，目前臺(tái)風(fēng)中心位于城市A的東偏南60°方向，距城市A300km的海面點(diǎn)P處，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移動(dòng)．已知該臺(tái)風(fēng)影響的范圍是以臺(tái)風(fēng)中心為圓心的圓形區(qū)域，半徑為1003km．則城市A受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為（

A．5h B．53h C．5238．若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2－A．最大值為2＋3，最小值為—2－3B．最大值為2＋3，最小值為2－3C．最大值為－2＋3，最小值為－2－3D．最大值為—2＋3，最小值為2－3二．多選題9．若直線l:y=x+m與曲線C:x=3?4y?y2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)mA．?1?22 B．C．?3 D．?410．已知直線l：ax+by?r2=0與圓C：xA．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切11．已知過(guò)點(diǎn)P4,2的直線l與圓C:(x?3)2+(y?3)2=4A．AB的最大值為4B．AB的最小值為2C．點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為2D．△POC的面積為312．已知直線l:x?y+5=0，過(guò)直線上任意一點(diǎn)M作圓C:x?32+y2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A．四邊形MACB面積的最小值為47 B．∠AMBC．直線AB過(guò)定點(diǎn)12,52 三．填空題13．直線x+3y+12=0被圓x2+y14．直線y=kx?6+1與曲線y=3?4x?x2有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k15．已知圓C:x2+y2+2x?4y+m=0與y軸相切，過(guò)P?2,4作圓C16．一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西80km處，受影響的范圍是