2.4

用因式分解法求解一元二次方程第二章

一元二次方程問題導(dǎo)入2.我們知道，若ab=0，則a=0或b=0．類似地，解方程(x+1)(x-1)=0時，可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程x+1=0或x-1=0來解。你能求出方程(x+3)(x-5)=0的解嗎？1.因式分解的基本方法有哪些?提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）目標(biāo)導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解因式分解法的解題步驟，能用因式分解法解一元二次方程；2.能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法；3.因式分解法是把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解，體現(xiàn)了一種“降次”思想、“轉(zhuǎn)化”思想，并了解這種轉(zhuǎn)化思想在解方程中的應(yīng)用。引例：一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果相等，這個數(shù)是幾？你是怎樣求出來的？

小穎、小明、小亮都設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意，可得方程x2=3x,但他們的解法各不相同。自主探究因式分解法解一元二次方程小穎：方程x2=3x兩邊同時約去x,得x=3.所以這個數(shù)是3.小明：由方程x2=3x,得x2-3x=0,即x(x-3)=0.于是x=0,或x-3=0.因此x1=0,x2=3.所以這個數(shù)是0或3.

小亮：他們做得對嗎？為什么？由方程x2=3x，得x2-3x=0因此,得x1=0,x2=3.所以這個數(shù)是0或3.如果

a·b=0，那么

a=0或

b=0.要點歸納因式分解法的概念當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，就可以用前面的方法求解.這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法。試一試：下列各方程的根分別是多少？(1)x(x-2)=0；

(1)x1=0，x2=2.(2)(y+2)(y-3)=0；

(2)y1=

-2，y2=3.(3)(3x+6)(2x-4)=0；

(3)x1=-2，x2=2.(4)m2

=m.(4)m1=0，m2=1.例1

解下列方程：解：(1)原方程可變形得

5x2-4x=0∴x(5x-4)=0.

導(dǎo)學(xué)互動(1)5x2=4x;因式分解法的基本步驟一移：使方程的右邊為0；二分：將方程的左邊因式分解；三化：將方程化為兩個一元一次方程；四解：寫出方程的兩個解。簡記歌訣：右化零，左分解；兩因式，各求解.x=0,或5x-4=0例1

解下列方程：(2)解：原方程可變形得（x-2）(x-1)=0.（用提取公因式法進行因式分解）解得∴x-2=0或x

-1=0.導(dǎo)學(xué)互動(2)x(x-2)=x-2x(x-2)-（x-2）=0

整體思想想一想你能用因式分解法解下列方程嗎？x2-4=0（x+1）2-25=0平方差公式：a2-b2=（a+b)(a-b）填一填：一元二次方程的各種解法及適用類型.方法總結(jié)一元二次方程的解法適用的方程類型直接開平方法配方法公式法因式分解x2

+px+q=0(p2-4q≥0)(ax+m)2

=n(a≠0，n≥0)ax2+bx+c=0(a≠0，b2

-4ac≥0)(ax+m)(bx+n)

=0(ab≠0)靈活選用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?/p>

(1)3x(x+5)=5(x+5)；(2)(5x+1)2

=1；分析：該式左右兩邊含公因式,所以用因式分解法解答較快.分析：方程一邊以平方形式出現(xiàn)，另一邊是常數(shù)，可用直接開平方法.解：變形得

(3x

-5)(x+5)=0.

即

3x

-5=

0或

x+5

=0.

解得解：開平方，得5x+1=±1.

解得

x1=

0，x2=(3)x2

-12x=4；(4)3x2

=4x+1.分析：二次項系數(shù)為1，可用配方法解較快.分析：二次項系數(shù)不為1，且不能直接開平方，也不能直接分解因式，則用公式法.解：配方，得

x2

-

12x+62=4+62，

即

(x-6)2=40.

開平方，得

解得

x1=，

x2=解：整理成一般形式，得

3x2

-4x

-1=0.

∵Δ=b2

-4ac=

28>0，1.一般地，當(dāng)一次項系數(shù)為

0時(ax2

+c=0，a≠0)，應(yīng)選用直接開平方法；2.若常數(shù)項為0(ax2+bx=0，a≠0)，應(yīng)選用因式分解法；3.化為一般式

(ax2

+bx+c=0，a≠0)后，若一次項系數(shù)和常數(shù)項都不為

0，先看左邊是否容易因式分解，若容易，宜選用因式分解法，否則就選用公式法或配方法.此時若二次項系數(shù)為

1，且一次項系數(shù)為偶數(shù)，則可選用配方法；否則可選公式法.系數(shù)含根式時也可選公式法.要點歸納一元二次方程的解法選擇基本思路1.填空：①

x2

-3x+1=0；

②3x2

-1=0；

③

-3t2

+t=0；④

x2

-4x=2；

⑤2x2

=x；

⑥5(m+2)2

=8；⑦3y2

-

y

-1=0；

⑧2x2

+4x=1；

⑨(x

-2)2

=2(x

-2).最適合運用直接開平方法：

；最適合運用因式分解法：

；最適合運用公式法：

；最適合運用配方法：

.⑥①③⑤⑦⑧⑨②④檢測固學(xué)解：化為一般式為因式分解，得x2

-2x+1=0.(x

-1)2=0.∴x

-1=0.解得

x1

=x2

=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x

-11)=0.∴2x+11=0或

2x

-11=0，2.解方程：解得因式分解概念步驟簡記歌訣：右化零，左分解；兩因式，各求解如果

a