數(shù)學(xué)之王——?dú)W拉北師大版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章

函數(shù)第3節(jié)

函數(shù)的單調(diào)性和最值第1課時(shí)（共3課時(shí)）學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)目

標(biāo)重

點(diǎn)難

點(diǎn)1、理解函數(shù)單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性的概念；2、掌握一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性；3、能夠根據(jù)圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間。1、理解函數(shù)單調(diào)性的概念。2、能夠根據(jù)圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間。1、理解函數(shù)單調(diào)性的概念。新

課

引

入數(shù)學(xué)王子——高斯

從左向右觀察圖像在區(qū)間（-∞，+∞）上，函數(shù)y=2x的函數(shù)值隨著x的增大而增大；在區(qū)間（-∞，+∞）上，函數(shù)y=-x的函數(shù)值隨著x的增大而減小。從左向右觀察圖像在區(qū)間（-∞，0）上，函數(shù)y=x2的函數(shù)值隨著x的增大而減?。辉趨^(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)y=x2的函數(shù)值隨著x的增大而增大新

課

引

入韋

達(dá)

怎么用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)函數(shù)值隨x值的變化而變化呢？這就是本節(jié)課我們要研究的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題。學(xué)

習(xí)

新

知?dú)W幾里得（約公元前300年）《幾何原本》

一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么我們就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增。這時(shí)，區(qū)間D叫做函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么我們就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減。這時(shí)，區(qū)間D叫做函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性。單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間。

如果對(duì)于定義域I上任意的x1,x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，

都有f(x1)＜f(x2),那么就稱函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)；

都有f(x1)＞f(x2),那么就稱函數(shù)y=f(x)是減函數(shù)。典

例

引

路集合論之父——康托例1、判斷正誤．(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)若定義在R上的函數(shù)f(x)，有f(－1)<f(3)，則函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)．(

)(2)函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．(

)

由于函數(shù)單調(diào)性的定義突出了x1,x2的任意性,所以僅憑區(qū)間內(nèi)幾個(gè)有限的函數(shù)值的關(guān)系,是不能作為判斷單調(diào)性的依據(jù)的。

××典

例

引

路柯

西

不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間必須分開(kāi)寫(xiě),中間用“,”或“和”連接,不能用符號(hào)“∪”連接.××函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間上都單調(diào)遞減，但是在兩個(gè)區(qū)間的并集上不一定是遞減的?！羻握{(diào)區(qū)間必須是定義域內(nèi)的區(qū)間。學(xué)

習(xí)

新

知阿基米德（公元前287年—公元前212年）《阿基米德全集》表達(dá)式定義域圖像單調(diào)性一元一次函數(shù)y=kx+bk＞0Rk＜0R一元二次函數(shù)y=ax2+bx+ca＞0Ra＜0R反比例函數(shù)y=k＞0(-∞,0)∪(0,+∞)k＜0(-∞,0)∪(0,+∞)在區(qū)間（-∞，+∞）

↑在區(qū)間（-∞，+∞）

↓

在區(qū)間(-∞,0)，(0,+∞)單調(diào)遞減在區(qū)間(-∞,0)，(0,+∞)單調(diào)遞增xyxyxy

xy

xyxy同

步

練

習(xí)無(wú)冕的數(shù)學(xué)之王——希爾伯特

D練2、已知函數(shù)f(x)＝2x2－ax＋5在區(qū)間[1，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

同

步

練

習(xí)解析幾何之父——笛卡爾

典

例

引

路牛

頓

典

例

引

路狄利克雷

典

例

引

路皮

亞

諾例4、根據(jù)下圖寫(xiě)出在每一單調(diào)區(qū)間上,函數(shù)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減。解:函數(shù)在[-1,0]上是單調(diào)遞減,

在[0,2]上是單調(diào)遞增,

在[2,4]上是單調(diào)遞減,

在[4,5]上是單調(diào)遞增.同

步

練

習(xí)黎

曼練4、根據(jù)函數(shù)圖像直觀判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.解：由圖象可得函數(shù)在區(qū)間[-3,-1]和[1,+∞)上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間(-∞,-3]和[-1,1]上單調(diào)遞減.解：函數(shù)在區(qū)間(-∞,-1]和[0,1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[-1,0]和[1,+∞)上單調(diào)遞減.全

課

總

結(jié)條件一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I.如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有都有

結(jié)論那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù)

那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù)

圖示

一、增函數(shù)與減函數(shù)的定義全

課

總

結(jié)表達(dá)式定義域圖像單調(diào)性一元一次函數(shù)y=kx+bk＞0Rk＜0R一元二次函數(shù)y=ax2+bx+ca＞0Ra＜0R反比例函數(shù)y=k＞0(-∞,0)∪(0,+∞)k＜0(-∞,0)∪(