部編版八年級(jí)數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)更高年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。它不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，更是一種描述現(xiàn)實(shí)世界中變量之間相互依存關(guān)系的工具。在八年級(jí)階段，我們主要接觸的是函數(shù)的基本概念以及最為基礎(chǔ)的一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）。下面，我們將對(duì)這部分知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)梳理，幫助同學(xué)們構(gòu)建清晰的知識(shí)框架。一、變量與函數(shù)的基本概念在探索事物的變化過程中，我們常常會(huì)遇到各種不同的量。有些量在過程中保持不變，我們稱之為常量；而有些量則會(huì)發(fā)生變化，我們稱之為變量。例如，在勻速直線運(yùn)動(dòng)中，速度是常量，時(shí)間和路程就是變量。1.函數(shù)的定義在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。這個(gè)定義中有幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)需要深刻理解：*兩個(gè)變量：必須存在兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的變量。*x的每一個(gè)確定的值：自變量x在某個(gè)范圍內(nèi)取值。*y有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)：這是函數(shù)概念的核心。對(duì)于x的一個(gè)值，不能有兩個(gè)或更多個(gè)不同的y值與之對(duì)應(yīng)。例如，y=±x，當(dāng)x=1時(shí)，y有1和-1兩個(gè)值，這就不是函數(shù)關(guān)系。2.函數(shù)的表示方法函數(shù)關(guān)系的表示，常見的有三種方法：*解析法：用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)關(guān)系的方法。例如，y=2x+1，s=60t等。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，便于進(jìn)行理論分析和計(jì)算。*列表法：通過列出表格來表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。例如，我們可以列出一天中不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)的氣溫。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是直觀，可以直接看出部分對(duì)應(yīng)值。*圖象法：用圖象（通常是平面直角坐標(biāo)系中的曲線或直線）來表示函數(shù)關(guān)系的方法。例如，我們熟悉的一次函數(shù)圖象是一條直線。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀，能清晰地反映函數(shù)的變化趨勢(shì)。在實(shí)際應(yīng)用中，我們常常需要根據(jù)具體問題選擇合適的表示方法，有時(shí)也會(huì)將幾種方法結(jié)合起來使用，以更全面地理解函數(shù)關(guān)系。3.函數(shù)自變量的取值范圍自變量x的取值范圍是函數(shù)定義的重要組成部分，它指的是使函數(shù)有意義的x的所有可能值。確定自變量取值范圍時(shí)，通常要考慮以下幾個(gè)方面：*實(shí)際問題：在實(shí)際問題中，自變量的取值必須使實(shí)際問題有意義。例如，路程不能為負(fù)，人數(shù)必須是正整數(shù)等。*數(shù)學(xué)式子本身：*若函數(shù)表達(dá)式是整式（如一次函數(shù)），自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。*若函數(shù)表達(dá)式是分式，自變量的取值范圍是使分母不為零的實(shí)數(shù)。（八年級(jí)下冊(cè)可能會(huì)接觸到分式，但函數(shù)部分主要還是整式型）*若函數(shù)表達(dá)式中含有二次根式（八年級(jí)下冊(cè)會(huì)學(xué)習(xí)），自變量的取值范圍是使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)。二、一次函數(shù)1.正比例函數(shù)定義：一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)。*理解要點(diǎn)：*等號(hào)右邊是關(guān)于自變量x的一次單項(xiàng)式。*比例系數(shù)k不能為0，這是定義的重要組成部分。*當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b就變成了正比例函數(shù)，所以正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式。正比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)：*圖像：正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖像是一條經(jīng)過原點(diǎn)（0,0）的直線。我們通常稱之為“直線y=kx”。*畫正比例函數(shù)圖像時(shí)，根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”，通常選取原點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)（1,k）這兩個(gè)點(diǎn)，連接即可。*性質(zhì)：*當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過第一、三象限，從左向右上升，即y隨x的增大而增大。*當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，即y隨x的增大而減小。*k的絕對(duì)值|k|越大，直線y=kx與x軸正方向所成的角越大，即圖像越“陡”；|k|越小，直線越“平緩”。2.一次函數(shù)的定義與圖像定義：一般地，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。*理解要點(diǎn)：*k是自變量x的系數(shù)，稱為斜率，b是常數(shù)項(xiàng)，稱為截距（更準(zhǔn)確地說是縱截距）。*k≠0是定義的關(guān)鍵，若k=0，則函數(shù)變?yōu)閥=b，此時(shí)它是一個(gè)常函數(shù)，不是一次函數(shù)。*當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)就退化為正比例函數(shù)，所以正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。一次函數(shù)的圖像：*一次函數(shù)y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的圖像是一條直線。我們通常稱之為“直線y=kx+b”。*畫法：同樣根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”。為了計(jì)算簡(jiǎn)便，通常選?。?與y軸的交點(diǎn)：（0，b）。令x=0，解得y=b。*與x軸的交點(diǎn)：（-b/k，0）。令y=0，解得x=-b/k。當(dāng)然，也可以選取其他易于計(jì)算的點(diǎn)，如當(dāng)x=1時(shí)，y=k+b。3.一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的性質(zhì)主要由k和b的取值共同決定：*k的符號(hào)決定直線的傾斜方向和函數(shù)的增減性：*當(dāng)k>0時(shí)，直線從左向右上升，y隨x的增大而增大。*當(dāng)k<0時(shí)，直線從左向右下降，y隨x的增大而減小。*|k|的大小決定直線的傾斜程度（陡峭或平緩），|k|越大，直線越陡；|k|越小，直線越平緩。*b的符號(hào)決定直線與y軸交點(diǎn)的位置：*當(dāng)b>0時(shí)，直線與y軸交于正半軸（（0，b）在原點(diǎn)上方）。*當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)（此時(shí)為正比例函數(shù)）。*當(dāng)b<0時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸（（0，b）在原點(diǎn)下方）。直線y=kx+b的位置與k、b符號(hào)的關(guān)系：*k>0,b>0：直線經(jīng)過第一、二、三象限。*k>0,b<0：直線經(jīng)過第一、三、四象限。*k<0,b>0：直線經(jīng)過第一、二、四象限。*k<0,b<0：直線經(jīng)過第二、三、四象限。三、函數(shù)的應(yīng)用1.利用函數(shù)圖像解決問題函數(shù)圖像是直觀反映兩個(gè)變量之間關(guān)系的工具。通過觀察函數(shù)圖像，我們可以：*直接讀出某些特定自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，或某些函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量的值。*判斷函數(shù)的增減性。*確定函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，這些交點(diǎn)往往具有實(shí)際意義。*比較不同函數(shù)在同一自變量取值范圍內(nèi)的函數(shù)值大小。*解決一些與行程、工程、利潤(rùn)等相關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問題，例如通過圖像分析運(yùn)動(dòng)過程，找出相遇點(diǎn)、追及點(diǎn)等。2.用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的常用方法，其基本思路是：1.設(shè)出函數(shù)的一般形式：根據(jù)已知條件判斷函數(shù)類型（如正比例函數(shù)設(shè)為y=kx，一次函數(shù)設(shè)為y=kx+b）。2.代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)：將函數(shù)圖像上已知點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）代入所設(shè)的解析式中，得到關(guān)于待定系數(shù)（k，b等）的方程或方程組。3.解方程（組）：求出待定系數(shù)的值。4.寫出函數(shù)解析式：將求出的待定系數(shù)的值代入所設(shè)的一般形式，即可得到所求的函數(shù)解析式。例如，已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，3）和（-1，-1），求其解析式。解：設(shè)該一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（k≠0）。將點(diǎn)（1，3）代入得：3=k*1+b將點(diǎn)（-1，-1）代入得：-1=k*(-1)+b聯(lián)立方程組，解得k=2，b=1。所以，該一次函數(shù)的解析式為y=2x+1。四、總結(jié)與學(xué)習(xí)建議八年級(jí)數(shù)學(xué)中的函數(shù)知識(shí)，特別是一次函數(shù)，是整個(gè)中學(xué)階段函數(shù)學(xué)習(xí)的基石。它不僅要求我們理解概念，更要掌握其圖像與性質(zhì)，并能運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題。學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：*深刻理解概念：特別是函數(shù)定義中“唯一確定”的含義，以及一次函數(shù)中k和b的幾何意義和對(duì)函數(shù)圖像、性質(zhì)的影響。*數(shù)形結(jié)合：函數(shù)的圖像是理解函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，要養(yǎng)成畫圖、識(shí)圖、用圖的習(xí)慣，將抽象的代數(shù)表達(dá)式與直觀的幾何圖形結(jié)合起來。*勤于練習(xí)：通過適量的練習(xí)來鞏