北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

第七章證明

7.2第2課時(shí)證明導(dǎo)入新課環(huán)節(jié)一：自主復(fù)習(xí)1.對(duì)名稱和術(shù)語(yǔ)的含義加以描述，作出明確規(guī)定.也就是給出它們的______.2.判斷一件事情的句子，叫作______.一般地，每個(gè)命題都由______和______兩部分組成.______是已知的事項(xiàng)，______是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng).定義命題條件結(jié)論條件結(jié)論導(dǎo)入新課3.命題通?？梢詫懗蒧___________________的形式，其中，_____引出的部分是條件，_____引出的部分是結(jié)論.4.______的命題稱為真命題，______的命題稱為假命題.一個(gè)例子具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為______.如果……，那么……如果那么正確不正確反例導(dǎo)入新課環(huán)節(jié)二：?jiǎn)栴}探究舉一個(gè)反例就可以說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，那么如何證實(shí)一個(gè)命題是真命題？看看下面幾位同學(xué)的討論：同學(xué)

A：用以前學(xué)過(guò)的觀察、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證特例等方法.同學(xué)

B：這些方法往往不可靠.同學(xué)

C：能不能根據(jù)已經(jīng)知道的真命題證實(shí)？同學(xué)

D：那已經(jīng)知道的真命題又是如何證實(shí)的？導(dǎo)入新課要說(shuō)明一個(gè)命題是正確的，無(wú)論驗(yàn)證多少個(gè)特例，也無(wú)法保證命題的正確性.任務(wù)一：了解基本事實(shí)與定理的概念其實(shí)，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家們也遇到過(guò)類似的問(wèn)題.公元前3

世紀(jì)，人們已經(jīng)積累了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，在此基礎(chǔ)上，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得編寫了一本書，書名為《原本》.為了說(shuō)明每一結(jié)論的正確性，他在編寫這本書時(shí)進(jìn)行了大膽的創(chuàng)造：挑選了一部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞和一部分公認(rèn)的真命題作為證實(shí)其他命題的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù).高效課堂在教材上找出定義.1.原名：數(shù)學(xué)名詞稱為原名.2.公理：公認(rèn)的真命題稱為公理！3.證明：演繹推理的過(guò)程稱為證明.4.定理：經(jīng)過(guò)證明的真命題稱為定理.總結(jié)：每個(gè)定理都只能用公理、定義和已經(jīng)證明為真的命題來(lái)證明.高效課堂觀察并理解：高效課堂本套教科書選用九條基本事實(shí)作為證明的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)，已經(jīng)認(rèn)識(shí)了其中的八條，它們是哪些？1.兩點(diǎn)確定一條直線.2.兩點(diǎn)之間線段最短.3.同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行(簡(jiǎn)述為：同位角相等，兩直線平行).高效課堂5.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.6.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等.7.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.8.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.說(shuō)明：數(shù)與式的運(yùn)算律和運(yùn)算法則、等式的有關(guān)性質(zhì)，以及反映大小關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)都可以作為證明的依據(jù).例如，如果a＝b，b＝c，那么a＝c，這一性質(zhì)也可以作為證明的依據(jù)，稱為“等量代換”.又如，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，這一性質(zhì)同樣可以作為證明的依據(jù).高效課堂例1下列命題不是基本事實(shí)的是 ()A.兩點(diǎn)確定一條直線B.兩點(diǎn)之間線段最短C.兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等D.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等高效課堂C定義、命題、基本事實(shí)(公理)、定理之間的區(qū)別與聯(lián)系是什么？聯(lián)系：這四者都是命題.區(qū)別：定義、基本事實(shí)、定理都是真命題，都可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)，只不過(guò)基本事實(shí)是最原始的依據(jù)；基本事實(shí)的真實(shí)性是通過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐被證實(shí)的，不需要推理證明，而定理需要經(jīng)過(guò)證明.命題不一定是真命題，因而不能作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù).高效課堂任務(wù)二：認(rèn)識(shí)定理的證明從上面這些基本事實(shí)出發(fā)，就可以證明已經(jīng)探索過(guò)的結(jié)論了.例如，可以證明下面的定理.定理1.同角(或等角)的補(bǔ)角相等.定理2.同角(或等角)的余角相等.高效課堂證明：同角的補(bǔ)角相等.已知：∠1和∠2都是∠3的補(bǔ)角.求證：∠1＝∠2.證明：∵∠1和∠2都是∠3的補(bǔ)角(已知)，∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°(補(bǔ)角的定義)，即∠1＝180°－∠3，∠2＝180°－∠3(等式的性質(zhì)).∴∠1＝∠2(等量代換).∴同角的補(bǔ)角相等.高效課堂證明：等角的補(bǔ)角相等.已知：∠1是∠3的補(bǔ)角，∠2是∠4的補(bǔ)角，且∠3＝∠4.求證：∠1＝∠2.證明：∵∠1是∠3的補(bǔ)角，∠2是∠4的補(bǔ)角(已知)，∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠4＝180°(補(bǔ)角的定義)，即∠1＝180°－∠3，∠2＝180°－∠4，(等式的性質(zhì)).又∵∠3＝∠4(已知)，∴∠1＝∠2(等量代換).∴等角的補(bǔ)角相等.高效課堂證明：同角的余角相等.已知：∠2和∠3是∠1的余角.求證：∠2＝∠3.證明：∵∠2和∠3是∠1的余角，∴∠2＝90°－∠1，∠3＝90°－∠1.∴∠2＝∠3(等量代換).∴同角的余角相等.高效課堂證明：等角的余角相等.已知：∠1＝∠2，∠3和∠4分別是∠1和∠2的余角.求證：∠3＝∠4.證明：∵∠3和∠4分別是∠1和∠2的余角，∴∠3＝90°－∠1，∠4＝90°－∠2.∵∠1＝∠2(已知)，∴∠3＝∠4(等量代換).∴等角的余角相等.高效課堂證明：∵直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定義).∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的補(bǔ)角(補(bǔ)角的定義).∴∠AOC＝∠BOD(同角的補(bǔ)角相等).高效課堂為了使解答更為規(guī)范和有條理，能總結(jié)證明一個(gè)命題的一般步驟嗎？(1)根據(jù)條件，必要時(shí)畫出圖形，并在圖形上標(biāo)出有關(guān)字母與符號(hào).(2)結(jié)合圖形，寫出已知、求證.(3)分析因果關(guān)系，找出由已知推出結(jié)論的途徑(4)有條理地寫出證明過(guò)程(每一步推理要有依據(jù)).高效課堂總結(jié)：由上面的例題，可以得到定理“對(duì)頂角相等”.1.在下面的括號(hào)內(nèi)，填上推理的依據(jù).如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠A=∠B，求證：∠C=∠D.證明：∵∠A=∠B，∴AC∥BD(

).∴∠C=∠D(

).符號(hào)“∵”讀作“因?yàn)椤保啊唷弊x作“所以”內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等課堂評(píng)價(jià)2.(北師8上P189)證明定理：同角的補(bǔ)角相等.已知：∠1+∠2=∠1+∠3=180°.求證：

.

∠2=∠3證明：∵∠1+∠2=∠1+∠3=180°，∴∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1，∴∠2=∠3.3.(北師8上P189)證明命題“同角的余角相等”是真命題.已知：∠A+∠B=90°，

+∠C=90°.

求證：

.

∠A∠B=∠C(答案不唯一)證明：∵∠A+∠B=90°，∠A+∠C=90°，∴∠B=90°-∠A，∠C=90°-∠A，∴∠B=∠C.4.【例2】下列說(shuō)法正確的是(

)A.命題一定是正確的B.不正確的判斷就不是命題C.定理都是真命題D.基本事實(shí)不一定是真命題C5.下面關(guān)于公理和定理的聯(lián)系的說(shuō)法，不正確的是(

)A.公理和定理都是真命題B.公理就是定理，定理也是公理C.公理和定理都可以作為推理論證的依據(jù)D.公理的正確性是人們公認(rèn)的，定理的正確性需證明B6.(北師8上P187)請(qǐng)你完成定理“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的證明.已知：如圖，△ABC.求證：

，

，

.

AB+AC>BCAB+BC>ACAC+BC>AB證明：由圖可知，點(diǎn)A在線段BC外，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得AB+AC>BC，同理AB+BC>AC，AC+BC>AB.7.已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足a=b+2，b=c+1，求證：b>3.證明：∵a=b+2，b=c+1，∴b=a-2，b=c+1，∴a-2=c+1，∴a-c=3，∵a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，∴b>a-c，∴b>3.8.如圖，∠ACD是∠ACB的鄰補(bǔ)角，請(qǐng)你從下面的三個(gè)條件中，選出兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，得出一個(gè)真命題.①CE∥AB；②∠A=∠B；③CE平分∠ACD.(1)由上述條件可得哪幾種真命題？請(qǐng)按“????”的形式一一書寫出來(lái)；解：（1）有3種真命題，分別是：命題1：①②?③；命題2：①③?②；命題3：②③?①.(2)請(qǐng)根據(jù)(1)中的真命題，選擇一個(gè)進(jìn)行證明.（2）選擇命題2：①③?②.證明：∵CE∥AB，∴∠ACE=∠A，∠DCE=∠B.∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE.∴∠A=∠B.★9.(推理能力)如圖，已知點(diǎn)A，B，C在同一條直線上.(1)請(qǐng)從三個(gè)論斷：①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E，選兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)真命題：條件