2024年黑龍江中考數(shù)學試題及答案

考生注意：

1.考試時間120分鐘

2.全卷共三道大題，總分120分

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.下列計算正確的是（）

A.B.（/丫=〃7C.（-2/。）'=D.

（一4+〃）（〃+〃）=〃2一2

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查同底數(shù)事的乘法，幕的乘方與積的乘方，平方差公式，運用相關運算法則求出各選

項的結果后再進行判斷即可.

【詳解】解：A、a"-a2=a5a（'?故選項A計算錯誤，此選項不符合題意：

B、（/7="。工故選項B計算錯誤，此選項不符合題意；

C、（-2。6丫=-此選項計算正確，符合題意；

D、（―4+〃）（4+〃）=。一〃）9+々）=力2一/,故選項D計算錯誤，此選項不符合題意；

故選:C.

2.下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【解析】

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個

平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的

定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做

中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；

B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故B選項符合題意；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D選項不合題意.

故迄B.

3.由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖，則搭成該幾何體的小正方體的個數(shù)最

主視圖左視圖

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖的知識，主視圖是由4個小正方形組成，而左視圖是由4個小正方形組成，故這個幾

何體的底層最少有3個小正方體，第2層最少有1個小正方體.

【詳解】解：根據(jù)左視圖和主視圖，這個幾何體的底層最少有1+1+1=3個小正方體，

第二層最少有1個小正方體，

因此組成這個幾何體的小正方體最少有3+1=4個.

故選B.

【點睛】本題考查/由三視圖判斷幾何體，意在考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)

了對空間想象能力方面的考查.如果掌握口訣”俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就容易得

到答案.

4.一組數(shù)據(jù)2,3,3,4,則這組數(shù)據(jù)的方差為（）

A.1B,0.8C.0.6D.0.5

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了方差的計算，解題的關鍵是方差的計算公式的識記.根據(jù)方差的計算公式，先算

出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后代入公式計算即可得到結果.

【詳解】平均數(shù)為：(2+3+3+4)+4=3

方差為：S2=}[(2-3『+(3-3)2+(3-3)2+(4-31

=1x(l+O+O+l)

=0.5

故選：D.

5.關于x的一元二次方程(加-2)/+4工+2=0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是()

A.m<4B./n>4C.且〃D.mW4且機工2

【答案】I)

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式.根據(jù)一元二次方程〃/+云+c=03h0)的根的判別式

△=從一4訛的意義得到機一2二0且ANO,即4、4x(/n-2)x2>0,然后解不等式組即可得到加的取

值范圍.

【詳解】解：?,關于x的一元二次方程(m一2)f+4x+2=0有實數(shù)根，

「.〃2—2H0旦△之0,

即42-4X(W-2)X2>0,

解得：m<4,

■■■,n取值范圍是〃?W4且相。2.

故選：D.

kx3

6.已知關于x的分式方程一一-2=——無解，則4的值為()

x-33-x

A.〃=2或k=—1B.k=—2C.k=2或％=1D.k=—\

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關鍵.先將分式方程去分

母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可.

【詳解】解：去分母得，乙一2。-3)=-3,

整理得，a―2)x=-9,

當k=2時，方程無解，

當攵工2時，令1=3,

解得*=一1,

l^x3

所以關于X的分式方程」匚-2二^無解時，女=2或4=-1.

x-33-x

故選：A.

7.國家“雙減”政策實施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動.班級決定為在活動中表現(xiàn)突

出的同學購買筆記本和碳素筆進行獎勵(兩種獎品都買)，其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費

28元，則共有幾種購買方案()

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵.

設購買x支筆記本，y個碳素筆，利用總價=單價x數(shù)量，即可得出關于“，》的二元一次方程，再結合x,

)'均為正整數(shù)，即可得出購買方案的個數(shù).

【詳解】解：設購買x支筆記本，y個碳素筆，

依題意得：3x+2y=28,

v=14--x.

,2

又x,y均為正整數(shù),

x=2x=4x=6x=8

或《或，

y=11y=8[y=5)=2,

???共有4種不同的購買方案.

故選:B.

p

8.如圖，雙曲線y=一(x>0)經(jīng)過爾B兩點,連接。4、AB,過點見乍軸，垂足為〃BD交

-V

0A于點、E,且￡為4。的中點，則△，心的面積是()

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了反比例函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，過點/作A尸_L8O,垂足為F,設

(]2、AFAFEF

A出一，證明,AFESAODE,有==根據(jù)〃為A。的中點，可得=

I。JODOEDE

進而有EF=DE=LDF=L0,AF=OD=-yA=-,可得力=。。=€，/=2〃，則有

222aa

3￡二8。一。七二一。，問題隨之得解.

2

【詳解】如圖，過點力作AF_L4O,垂足為E

設Aa,—,〃>0,

ka)

???BO_Ly軸，AFLBD,

???A尸〃y軸,DF=a,

:.：AFEs.ODE,

*AFAEEF

'''OD~~OE~~DEf

??F為AO的中點，

AE=OE，

AF_AE_EF

~0D~~0E~~DE

.AF=OD,EF=DE

.EF=DE=-DF=-a,AF=OD=-y=-

222aA

?OD=yH,

.yH=OD=—,

.BD=xB=2a,

：.BE=BD-DE=-a,

2

01"”1639-

??S=-xArxBE=-x—x—a=—=4.5,

,A的RF22a22

故選：A.

9.如圖，菱形ABC。中，點。是BD的中點，垂足為M,AM交8力于點N,OM=2,30=8,

則MN的長為（）

375

rD

A.亞苧

5

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考直:了解三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等丁斜邊一半.

先由菱形性質(zhì)可得對角線AC與B。交于點0,由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得

OA=OC=OM=2,進而由菱形對角線求出邊長，由5抽/"4。=5由/08。=、5解三角形即可求出

5

MC=ACsinZMAC=^-^4/^=tanZ6)BC=—

55

【詳解】解：連接AC,如圖,

???菱形ABC。中，AC與V?；ハ啻怪逼椒?

又：點。是的中點，

??"、0、C三點在同一直線上,

：.OA=OC,

?：0M=2,AM1BC,

：?OA=OC=OM=2,

??,BD=8,

.?.OB=OD=-BD=4,

2

______________OC21

：?8C=J。爪2+"2="+22=2百,tanZOBC=—=-=

Un4Z

VZAGW+ZAMC=90°,ZACM+NOBC=90。,

：?/MAC=/OBC

℃_2_y[5

??sin/A/AC=sin/OBC==—產(chǎn)=—,

BC2>/55

475

???MC=ACsin/MAC=，

5

???BM=BC-MC=2>j5--=—^

55

:?MN=BMtanNOBC==,

525

故選：C.

10.如圖，在正方形ABC。中，點少在40邊上（不與點力、〃重合），/BHF=90。,HF交正方形外角

的平分線。/于點凡連接4。交8〃于點M連接M交AC于點。交CD于點M連接BO.則下列

結論：①N印汨=45。；②點。是班'的中點；③若點〃是的中點，則sinNN5C=?；?

10

BN=C.BM；⑤若AH=;HD,則S△歷⑦，其中正確的結論是（）

B.①③⑤C.0@@?D.①②③④⑤

【答案】A

【解析】

【分析】連接QG,可得￡2=近，AC垂直平分3。，先證明點樂隊。、少四點共圓，即可判斷①;

AB

根據(jù)AC垂直平分8力，結合互余可證明。G=FU,即有ZX7=FG=BG,則可判斷②正確；證明

"BMSAQBV,即有型=生=JL可判斷④；根據(jù)相似有鋁業(yè)=f—1=L根據(jù)A”=,"。

BMABSDBN\BD）22

S.....HM1

可得3A〃=A。，再證明aAHMsaCBM,可得不必="7=彳，即可判斷⑤；根據(jù)點〃是AO的中

sMMBM3

點，設AD=2,即求出BH7AH、AB?=亞，同理可證明-4刈1人大78M,可得

BM=-BH=-卮即可得8N=及8"二—可，進而可判斷③.

333

【詳解】連接。G,如圖，

???四邊形A68是正方形,

???/BIX：=/BAC=NADB=45。,—=72,ZBAD=ZADC=90°,4c垂直平分8。,

AB

???ZCDP=90°,

,/。尸平分NCDP,

???乙CDF=-ZCDP=45°=4CDB,

2

???4BDF=/CDF+ZCDB=90°,

???4BHF=驕=/BDF,

???點8、H、D、6四點共圓，

/.乙HFB=NHDB=45°,ZDHF=/DBF,

???/HBF=180O-NHFB-4FHB=45°,故①正確,

???AC垂直平分80,

???BG=DG，

???4BDG=/DBG,

???/BDF=90。,

???ZBDG+ZGDF=90°=ZDBG+ZDFG,

???ZGDF=/DFG,

??.DG=FG,

???DG=FG=BG,

工點6是所的中點，故②正確，

?:/BHF=90。=/BAH,

???ZAHB+/DHF=90°=ZAHB+ZABH,

???4DHF=ZABH,

■:力HF=/DBF,

???/ABH=/DBF,

又,：ABAC=/DBC=45°,

:‘ABMs,QBN,

.BN_BD_仄

??——V2,

BMAB

:.BN=CBM，故④正確，

空T=L

S.DBN\BD）2

若AH=；HD,則A〃=g”O(jiān)=g（AQ—A"）,

???3AH=AD,

AH1AHAH1

:.——=-,即Ilrl——=——=-,

AD3BCAD3

?:AD〃BC,

???AHMs,CBM,

HMAH1

.S吟HMJ

sABMBM3

???OsABM=——aqAHM，

..SABM_1

*DS、DBN42，

：?S&BND=2sABM=6sAHM,故⑤錯誤，

如圖，③若點〃是40的中點，設A￡)=2,即A3=8C=AO=2,

AH=—AD=1,

2

,BH=y/AH2+AB2=>/5，

同理可證明AHMs；CBM,

.HM_AH

*HM+BM3BH

**麗

???BM=-BH=—亞,

33

1BN-?BM?

??.BN=EBM=-7io,

3

VBC=2,

???在Rt^BNC中，NC=dBN?-BC?=M

3

sin/NBC=，故③正確，

BN10

則正確的有：①②③④，

故選：A.

【點睛】本題是一道幾何綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦，圓周角定

理以及勾股定理等知識，證明點從H、D、尸四點共圓，.ABWs.力BY,是解答本題的關鍵.

二、填空題（每小題3分，共30分）

11.國家統(tǒng)計局公布數(shù)據(jù)顯示，2023年我國糧食總產(chǎn)量是13908億斤，將13908億用科學記數(shù)法表示為

【答案】1.3908xl（y2

【解析】

【分析】本題考杳了科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表示形式為ax10”的形式，其中〃為整數(shù).確

定〃的值時，要看把原來的數(shù)，變成《時.，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當

原數(shù)絕對值210時，〃是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值VI時，〃是負數(shù)，確定。與〃的值是解題的關鍵.

【詳解】1億=1.0xIO',13908億=1.3908xlO4xlO8=1.3908xlO12

故答案為：1.3908x10“

12.在函數(shù)y=Y零中，自變量>的取值范圍是______.

【答案】x>3^3<x

【解析】

【分析】本題主要考杳函數(shù)自變量取值范圍，分別根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不

等式求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，X-320,且x+2/O,

解得，x>3,

故答案為：x>3.

13.已知菱形ABC。中對角線4G8D相交于點。，添加條件可使菱形43co成為正

方形.

【答案】AC=BDaABJ.BC

【解析】

【分析】本題主要考查的是菱形和正方形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關鍵，依據(jù)正方形的

判定定理進行判斷即可;

【詳解】解：根據(jù)對角線相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；

根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形，可添加的：ABJ.BC；

故添加的條件為：AC=BD或ABJ.BC.

14.七年一班要從2名男生和3名女生中選擇兩名學生參加朗誦比賽，恰好選擇1名男生和！名女生的概

率是________.

【答案】|3

【解析】

【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩

步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)弓總情況數(shù)之比.畫樹狀圖，共有12種等

可能的結果，其中選取的2名學生恰好是1名男生、1名女生的結果有6種，再由概率公式求解即可.

【詳解】解：畫樹狀圖如下：

開始

男女女女男女女女男男女女男男女女男男女女

由圖可知，共有20種等可能的結果，其中選取的2名學生恰好是1名男生、1名女生的結果有12種,

???選取的2名學生恰好是1名男生、1名女生的概率為：—12=^3,

故答案為：—.

4-2x>0

15.關于X的不等式組,1恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是_________.

-x-a>0

【答案】

2

【解析】

【分析】本題考查解一元一次不等式（組），一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關鍵是明確解一元一

次不等式的方法.

4-2r>0

先解出不等式組中每個不等式的解集，然后根據(jù)不等式組,1恰有3個整數(shù)解，即可得到關于。的

-x-a>0

12

不等式組，然后求解即可.

【詳解】解：由4—2x20,得：x<2,

由一工一。〉0,得：x>2a,

2

4-2x>0

???穴等式組,1八恰有3個整數(shù)解，

-x-a>0

12

???這3個整數(shù)解是0,L2,

.,.-1<2zz<0,

解得—W4<0,

2

故答案為：—<。<0.

2

16.如圖，內(nèi)接于OO,AD是直徑，若/B=25。,則NC4。"

【答案】65

【解析】

【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的兩個銳角互余，連接CO,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角

得出/ACZ>90。，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出25。，進而根據(jù)直角三角形的兩個銳角互

余，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接C。,

,/ABC內(nèi)接于C0,AD是直徑,

???ZACD=90°，

：AC=AC'N3=25。，

???/。=4=25。

???/CAD=90°-25°=65°,

故答案為：65.

17.若圓錐的底面半徑為3,側面積為36兀，則這個圓錐側面展開圖的圓心角是

【答案】90

【解析】

【分析】此題主要考查了圓錐的側面積公式以及與展開圖扇形面積關系，求出圓錐的母線長是解決問題的

關鍵.根據(jù)圓錐的側面枳公式S二兀〃求出圓錐的母線長，再結合扇形面積公式即可求出圓心角的度數(shù).

【詳解】根據(jù)圓錐側面積公式：S=7irl,可得幾x3x/=36兀

解得：7=12,

解得〃=90,

?'?側面展開圖的圓心角是900.

故答案為：90.

18.如圖，在RtZXABC中，NAC8=90。，tan/84C=g,BC=2,AD=],線段A力繞點A旋轉，點

P為CO的中點，則鰭的最大值是________.

【答案】2%

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形，三角形中位線定理，旋轉的性質(zhì)，解題的關鍵是找出3P取最大值時以

只M三點的位置關系.

取AC的中點M連接PA7、BM，利用解三角點求出BM=[MC2+BC?=2叵，利用三角形中位線定

理推出=當AQ在AC下方時，如果8、尸、的三點共線，則有最大值.

22

【詳解】解：取AC的中點機連接加、BM.

??"8=90。，tan.C斗BC=2,

AC=--------------=2-r—=4,

tanZBAC2

/.AM=CM=—AC=2,

2

：?BM=7MC2+BC2=A/22+22=2N/2，

???/M分別是CZXAC的中點，

???PM=-AD=-.

22

如圖，當AD在AC下方時，如果以八必三點共線，則有最大值,

最大值為BM+MP=2&+1，

2

故答案為：2V2+1

2

19.矩形A3CO中，/3=3,BC=4,將4A沿過點1的一條直線折疊，折痕交直線3。于點P（點P

不與點〃重合），點3的對稱點落在矩形對角線所在的直線上，則PC長為一

57

【答案】大或大或10

22

【解析】

【分析】本題考查了矩形與折卷問題，解直角三角形，先根據(jù)點B的對稱點落在矩形對角線所在的直線上的

不同位置分一:種情況，畫出對應的圖形，再根據(jù)矩形性質(zhì)，利用解直角三角形求出PC即可.

【詳解】解：①點8的對稱點落在矩形對角線8。上，如圖1,

圖1

???在矩形AAC7）中，AR=CD=3,HC=AD=4,

由折疊性質(zhì)可知：3BUAP,

???ABAP+ZBPA=NBPA+NCBD

???/BAP=/CBD

CD3

???tanZBAP=tanZCBD=—=~,

BC4

39

ABP=ABtanNBAP=6x-=-

42

97

???PC=BC-BP=8——=一；

22

②點8的對稱點&落在矩形對角線AC上，如圖2,

圖2

???在矩形A8CO中，AB=CD=3,BC=AD=4,2B90?,

???AC=yjAB2+BC2=V32+42=5，

BC4

cosZ.ACB=---=—,

AC5

由折疊性質(zhì)可知：ZABP=ZAB^P=90°,AB=AB=3^

???irC=AC-AB,=5-3=2

B'C=2,5

，PC

cosZACB52

③點B的對稱點*落在矩形對角線CA延長線上，如圖3,

圖3

???在矩形A3CO中，AB=CD=3,BC=AD=4,2B90?,

?*,AC=\JAB2BC2=\J32+42=5?

BC4

???cosZACB=—二一，

AC5

由折疊性質(zhì)可知：ZABP=ZABP=90°,AB=AB=3^

???BT=AC+AB'=5+3=8

B'C4

??.PC==8—=10；

cosZACB5

57

綜上所述：則PC長為一或一或10.

22

57

故答案為：不或大或10.

22

20.如圖，在平面直角坐標系中，正方形OMN尸頂點V的坐標為（3,0）,是等邊三角形，點8坐標

是（1,0）,&OAB在正方形OMNP內(nèi)部緊靠正方形OMNP的邊（方向為

OfMfN分尸fOfMf???）做無滑動滾動，第一次滾動后，點力的對應點記為A，A的坐標

是（2,0）；第二次滾動后，A的對應點記為4,4的坐標是（20）；第三次滾動后，&的對應點記為A”

'\/31、

4的坐標是3--y,-;如此下去，……,則4。24的坐標是.

p----------

■

Am,

oB4（4）MX

I'J”

【答案】（1,3）

【解析】

【分析】本題考查了點的坐標變化規(guī)律，正方形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，根據(jù)三角形的運動力式，依次求

出點力的對應點A,A，……，A2的坐標，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

【詳解】解：正方形OMVP頂點"的坐標為（3,0）,

:.OM=MN=NP=OP=3,

乙048是等邊三角形，點8坐標是（1,0）,

??.等邊三角形高為立，

2

由題知，

A的坐標是（2,0）；

人的坐標是（2,0）；

（0一

A?的坐標是3——；

I22）

繼續(xù)滾動有，兒的坐標是（3,2）；

A5的坐標是（3,2）；

（5也、

46的坐標是—,3——;

[22）

A’的坐標是（1,3）；

4的坐標是（1,3）；

A）的坐標是

%的坐標是（o,i）；

%的坐標是（0,1）；

412的坐標是

的坐標是（2,0）；……不斷循環(huán)，循環(huán)規(guī)律為以A，4,,,42,12個為一組,

2024+12=1688,

4024的坐標與4的坐標一樣為（L3）,

故答案為：（1,3）.

三、解答題（滿分60分）

22]（2、

21.先化簡，再求值：----；_■—+-；------1，其中/〃=cos60°.

nr-1m"+m）

【答案】一6+1,

【解析】

【分析】本題主要考杳分式的化簡求值及特殊三角函數(shù)值，先對分式進行化簡，然后利用特殊三角函數(shù)值

進行代值求解即可.

【詳解】解：原式=廣”^.業(yè)刊

=一6+1,

當加=cos60°=,時原式=’.

22

22.如圖，在止方形網(wǎng)格中，每個小止方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標系中，JWC'的三

個頂點坐標分別為A（—1,1）,B（-2,3）,C（-5,2）.

（1）畫出一ABC關于y軸對稱的△44G，并寫出點用的坐標；

（2）畫出一A3C繞點力逆時針旋轉90。后得到的A&G,并寫出點的坐標；

（3）在（2）的條件卜?,求點6旋轉到點的過程中所經(jīng)過的路徑長（結果保留兀）

【答案】⑴作圖見解析，4（23）

（2）作圖見解析，B2（-3,O）

⑶—71

2

【解析】

【分析】本題考查了利用旋轉變換作圖，軸對稱和扇形面積公式等知識，熟練掌握網(wǎng)格結構準確找出對應

點的位置是解題的關鍵.

（1）根據(jù)題意畫出即可：關于y軸對稱點的坐標橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變：

（2）根據(jù)網(wǎng)格結構找出點4、C以點A為旋轉中心逆時針旋轉90。后的對應點，然后順次連接即可；

（3）先求出=再由旋轉角等于90。，利用弧長公式即可求出.

【小問1詳解】

解：如圖.△4局。|為所求：點用的坐標為（2,3）.

如圖，伍G為所求；B2(-3,O),

【小問3詳解】

點5旋轉到點點的過程中所經(jīng)過的路徑長9°x石"=&.

1802

23.如圖，拋物線)，=—d+Zzx+c?與*軸交于力、4兩點，與)軸交于點乙其中3(1,0),C(0,3).

(1)求拋物線的解析式.

(2)在第二象限的拋物線上是否存在一點只使得△4PC的面積最大.若存在，請直接寫出點P坐標和

△APC的面積最大值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=-x2-2x+3

(315、27

(2)存在，點尸的坐標是P,△APC的面積最大值是-

【解析】

【分析】本題主要考杳二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及與幾何綜合：

(1)將8C兩點坐標代入函數(shù)解析式，求出公。的值即可；

(2)過點尸作PElx軸于點E,設P(X,-X2-2A+3),且點尸在第二象限，根據(jù)

S“c=S“K+S梯形-SAOC可得二次函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

解：將8（1,0）,C（0,3）代入產(chǎn)-丁+加+C得,

-1+/?+6?=()

c=3

b=-2

解得：

c=3

v=-x2-2x4-3

【小問2詳解】

解：對于），=一/一2X+3,令y=0,則一/—2X+3=0,

解得，%=-3,々=1，

.??，4(-3,0),

:.OA=3,

V0(0,3)，

???0C=3,

過點P作PE_LX軸于點E,如圖,

，OE=_x,AE=3+x,

SAPC=APE+S梯形PCOE-AOC

=-AExPE+-(OC+PE)xOE--OAxOC

22V72

=1(3+X)(-X2-2X+3)+-(3-X2-2X+3)(-X)--X3X3

222

3f3?27

=——x+—-\-----

2(2)8

3

???——<0,

2

，S有最大值，

327(315、

???當x=一不時，S有最大值，最大值為二，此時點P的坐標為一彳,二

28124；

24.為貫徹落實教育部辦公廳關于“保障學生每天校內(nèi)、校外各一小時體育活動時間”的要求，某學校要

求學生每天堅持體育鍛煉.學校從全體男生中隨機抽取了部分學生，調(diào)查他們的立定跳遠成績，整理如K

不完整的頻數(shù)分布表和統(tǒng)計圖，結合下圖解答下列問題:

組頻

分組(cm)

別數(shù)

A50<x<1003

B100<x<150m

C150<A:<20020

D200<x<25014

E250<x<3005

(1)頻數(shù)分布表中加=,扇形統(tǒng)計圖中"=.

(2)本次調(diào)查立定跳遠成績的中位數(shù)落在組別.

(3)該校有60()名男生，若立定挑遠成績大于200cm為合格，請估計該校立定跳遠成績合格的男生有多少

人7

【答案】（1）8,40

（2）C（3）估計該校立定跳遠成績合格的男生有228人

【解析】

【分析】本題主要考杳了扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)表、中位數(shù)，用樣本估計總體，

（1）用力組的頻數(shù)除以所占的百分比，即可求出調(diào)查的總人數(shù)；用總人數(shù)減去其它組的人數(shù)，即可求得8

組的人數(shù)，用C組的人數(shù)除以總人數(shù)即可求解；

（2）根據(jù)中位數(shù)的求法，即可求解；

（3）用總人數(shù)乘以樣本中立定跳遠成績合格的男生人數(shù)所占，即可求解.

【小問1詳解】

解.：被抽取的學生數(shù)為：3+6%=50（人）

故〃2=50—3—20—14一5=8（人），

〃％=20+50=40%,即〃=40,

故答案為：8，40；

【小問2詳解】

解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，笫25和第26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，

?「3+8<25<26,5+14<25<26,

二?把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，第25和第26個數(shù)據(jù)都在。組，

故本次調(diào)查立定跳遠成績的中位數(shù)落在C組，

答案為：Q

【小問3詳解】

14+5

解：600x——-=228（人）

50

答：該校立定跳遠成績合格的男生有228人.

25.甲、乙兩貨車分別從相距2256的力、/，兩地同時出發(fā)，甲貨車從/地出發(fā)途經(jīng)配貨站時，停下來卸貨，

半小時后繼續(xù)駛往4地，乙貨車沿同一條公路從月地駛往力地，但乙貨車到達配貨站時接到緊急任務立即

原路原速返回8地，結果比甲貨車晚半小時到達8地.如圖是甲、乙兩貨車距力地的距離），（km）與行駛時

間M（h）之間的函數(shù)圖象，結合圖象回答下列問題:

(1)甲貨車到達配貨站之前的速度是km/h,乙貨車的速度是km/h：

(2)求甲貨車在配貨站卸貨后駛往地的過程中，甲貨車距力地的距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函

數(shù)解析式：

(3)直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中，出發(fā)多長時間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等.

【答案】(1)30,40

(2)石尸的函數(shù)解析式是y=8(h=215(44xK5.5)

45

(3)經(jīng)過1.5h或一h或5h甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等

14

【解析】

【分析】本題考查一次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的運用，認真分析函數(shù)圖象，讀懂函數(shù)

圖象表示的意義是解題關鍵.

(1)由圖象可知甲貨車到達配貨站路程為105km,所用時間為3.5h,乙貨車到達配貨站路程為120km,

到達后返回，所用時間為6h,根據(jù)速度二距離土時間即可得；

(2)甲貨車從力地出發(fā)途經(jīng)配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續(xù)駛往8地，由圖象結合已知條件可知

E(4』()5)和點尸(5.5,225),再利用待定系數(shù)法求出y與x的關系式即可得答案；

(3)分兩車到達配貨站之前和乙貨車到達配貨站時接到緊急任務立即原路原速返回8地后、甲貨車卸貨,

半小時后繼續(xù)駛往6地，三種情況與配貨站的距離相等，分別列方程求出x的值即可得答案.

【小問1詳解】

解：由圖象可知甲貨車到達配貨站路程為105km,所用時間為3.5h,所以甲貨車到達配貨站之前的速度是

105?35=30(km/h)

???乙貨車到達配貨站路程為225-105=120(km),到達配貨站時接到緊急任務立即原路原速返回3地，總

路程為240km，總時間是6h,

???乙貨車速度=240+6=40km/h,

故答案為：30：40

【小問2詳解】

甲貨車從力地出發(fā)途經(jīng)配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續(xù)駛往〃地，由圖象可知E（4』05）和點

尸(5.5,225)

設y杼=H+Z?(4<x<5.5)

I4Z+/?=105

<5.5Z+〃=225

L

b=-2\5

解得：

Z=80

???甲貨車距力地的距離y（km）與行駛時間x（h）之間的函數(shù)解析式y(tǒng)=80x-215（4?x《5.5）

【小問3詳解】

設甲貨車出發(fā)加，甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等，

①兩車到達配貨站之前：105-30'=120—40%，

3

解得：工=一，

2

②乙貨車到達配貨站時開始返回，甲貨車未到達配貨站：105—30x=40x—120,

45

解得：x=一，

14

③甲貨車在配貨站卸貨后駛往8地時：80.r-215-105=40x-120，

解得：x=5,

45

答：經(jīng)過1.5h或一h或5h甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等.

14

26.已知./8C是等腰三角形，AB=ACf/MAN==/BAC,/MAN在284C的內(nèi)部，點機"

2

在8c上，點V在點N的左側，探究線段3M、NC、MN之間的數(shù)展關系.

U）如圖①，當N54C=90。時，探究如下:

由/B4C=90。，4B=AC可知，將ZMCV繞點力順時針旋轉90。，得到則CN=A?且

/PBM=90。,連接PM,易證也△4W7V,可得MP=MN,在RtAPBM中，

BM?+BP?=MP2，則有8M2+NC2=MN2.

(2)當4AC=6O。時，如圖②：當NB4C=120。時，如圖③，分別寫出線段BM、NC、MV之間的數(shù)

量關系，并選擇圖②或圖③進行證明.

【答案】圖②的結論是：BM2+NC2+BM?NC=MN?；圖③的結論是：BM2+NC2-BMNC=MN?;

證明見解析

【解析】

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，30度角所對的直角邊等于斜邊的一

半，勾股定理等知識，選②，以點夕為頂點在外作乙4BK=6O。，在歌上截取BQ=CN,連接

QA、QM,過點。作QH_L3C,垂足為//,構造全等二角形，得出入N=AQ,NG4N=NQ/14,再

證明△AQM0△AVM,得到MN=QM；在中由勾股定理得。"？+"M?=。加2,即

(日■BQ=QM2,整理可得結論；選③方法同②

【詳解】解：圖②的結論是：BM?+NC?+BM?NC=MM

證明：AB=AC,ABAC=60\

???乂3C是等邊三角形，

???ZABC=ZACB=60°,

以點月為頂點在.ABC外作ZABK=60。，在冰上截取BQ=CN,連接QA、QM,過點。作QH上BC,

垂足為H,

?.?AB=AC，ZC=Z4BQ,CN=BQ

.?.△ACNdABQ

AAN=AQt/CAN二NQAB

又???N5V+N&U/=30。

/.^BAM+ZQAB=30°

即ZQAM=/MAN

又=

.?.△AQM/ANM,

MN=QM；

???ZABQ=60°,NABC=60°,

???NQ8”=60。，

??.NBQH=30。,

QH=^-BQ

???HM=BM+BH=BM,

在RtZ\Q”M中，可得：2H'HM'QM?

即與BQ+（8M+g80）=QM2

整理得BM?+BQ1+BMBQ=QM2

BM2+NC?+BM-NC=MN

圖③的結論是：BM?NC?-BMNC=MN?

證明：以點B頂點在外作NA5K=30。，在BK上截取8Q=CN,連接QAQM,過點。作

QHA.BC,垂足為〃,

B

???AB=AC,ZC=ZABQfCN=BQ

.?.△ACNgZ\ABQ

/.AN=AQ,ZCAN=ZQAB

又???NC4JV+NB4M=60。

.?.NB4M+NQAB=60。

即ZQAM=/MAN

又?.?AW=AM，

:./\AQM2AANM,

/.MN=QM

在RQBQH中，NQBH=60。,ZBQH=30°

/.BH=^BQ,QH=^-BQ

HM=BM-BH=BM-；BQ,

在RtZ^QZ/M中，可得：QH'HM'QM?

即+（BW-gBQ）=QM2

整理得BM、BQ2-BMBQ=QM2

：.BM?+NC?—BM-NC=MN2

27.為了增強學生的體質(zhì)，某學校倡導學生在大課間開展踢犍子活動，需購買甲、乙兩種品牌犍子.已知

購買甲種品牌健子10個和乙種品牌健子5個共需200元；購買甲種品牌健子15個和乙種品牌健子10個共

需325元.

（1）購買一個甲種品牌健子和一個乙種品牌健子各需要多少元？

（2）若購買甲乙兩種品牌健子共花費1000元，甲種品牌犍子數(shù)量不低于乙種品牌犍子數(shù)量的5倍且不超

過乙種品牌健子數(shù)量的16倍，則有幾種購買方案？

（3）若商家每售出一個甲種品牌健子利潤是5元，每售出一個乙種品牌犍子利潤是4元，在（2）條件

卜，學校如何購買健子商家獲得利潤最大？最大利潤是多少元？

【答案】（1）購買一個甲種品牌健子需15元，購買一個乙種品牌犍子需10元

（2）共有3種購買方案

（3）學校購買甲種品牌健子60個，購買乙種品牌健子1（）個，商家獲得利潤最大，最大利潤是340元

【解析】

【分析】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式組以及一次函數(shù)的應用，

（1）設購買一個甲種品牌健子需a元，購買一個乙種品牌犍子需。元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，問

撅得解：

（2）設購買甲種品牌健子x個，購買乙種品牌健子（100-|x）個，根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解

不等式組即可求解；

（3）設商家獲得總利潤為y元，即有一次函數(shù)），=5x+4（100一|x）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

fl（）?+5Z?=2OO

解：設購買一個甲種品牌健子需a元，購買一個乙種品牌會子需〃元.由題意得：“U，

15。+10/?=325

67=15

解得：

/?=10

答:購買