2025年下學期高中數(shù)學模擬卷四試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2x>1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))，則(m=)（）A.-1B.0C.1D.2函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx})的最小正周期為（）A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，則公比(q=)（）A.3B.-4C.3或-4D.-3或4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的(x=1)，則輸出的(y=)（）A.2B.4C.6D.8已知(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0\\ln(x+1),&x>0\end{cases})，則(f(f(-1))=)（）A.-1B.0C.1D.2在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(c=)（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{7})C.(\sqrt{10})D.4已知拋物線(y^2=4x)的焦點為(F)，準線為(l)，過點(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點，若(|AF|=3)，則(|BF|=)（）A.(\frac{3}{2})B.2C.3D.4已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=-1)處取得極值，則(a=)（）A.-6B.-3C.3D.6已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的左、右焦點分別為(F_1,F_2)，過(F_2)作漸近線的垂線，垂足為(M)，若(|F_1M|=\sqrt{5}b)，則雙曲線的離心率為（）A.(\sqrt{2})B.(\sqrt{3})C.2D.(\sqrt{5})二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為________。已知(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha}=)________。從3名男生和2名女生中隨機抽取2人參加演講比賽，則至少有1名女生的概率為________。已知球(O)的表面積為(16\pi)，三棱錐(P-ABC)的四個頂點都在球(O)的球面上，且(PA\perp)平面(ABC)，(PA=2)，(AB=AC=\sqrt{3})，(\angleBAC=60^\circ)，則球心(O)到平面(ABC)的距離為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})是等差數(shù)列，且(a_1=1)，(a_3+a_5=14)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）若(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(S_n)。（本小題滿分12分）某學校為了解學生的體育鍛煉情況，隨機抽取了100名學生進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉總計男生302050女生252550總計5545100（1）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為“經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)”；（2）從經(jīng)常鍛煉的學生中按性別分層抽樣抽取11人，再從這11人中隨機抽取2人，求至少有1名女生的概率。參考公式：(K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中(n=a+b+c+d)。參考數(shù)據(jù)：(P(K^2\geqk_0))0.050.010.001(k_0)3.8416.63510.828（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點。（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求二面角(A-A_1D-B)的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))。（1）求橢圓(C)的標準方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(M,N)兩點，若以(MN)為直徑的圓過原點(O)，求(m)的取值范圍。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(e^x-x-1\geqx\lnx)。（本小題滿分12分）在平面直角坐標系(xOy)中，以坐標原點(O)為極點，(x)軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線(C_1)的極坐標方程為(\rho=2\cos\theta)，曲線(C_2)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+\sin\alpha\y=\cos\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)）。（1）求曲線(C_1)的直角坐標方程和曲線(C_2)的普通方程；（2）設(shè)點(P)在曲線(C_1)上，點(Q)在曲線(C_2)上，求(|PQ|)的最小值。參考答案及評分標準一、選擇題A2.D3.C4.B5.C6.C7.B8.B9.C10.A11.A12.C二、填空題914.415.(\frac{7}{10})16.1三、解答題（1）設(shè)等差數(shù)列({a_n})的公差為(d)，由(a_1=1)，(a_3+a_5=14)，得(2a_1+6d=14)，解得(d=2)，所以(a_n=1+2(n-1)=2n-1)。（5分）（2）由（1）得(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\times4^n)，所以數(shù)列({b_n})是首項為(2)，公比為(4)的等比數(shù)列，因此(S_n=\frac{2(4^n-1)}{4-1}=\frac{2(4^n-1)}{3})。（10分）（1）由列聯(lián)表得(K^2=\frac{100\times(30\times25-20\times25)^2}{50\times50\times55\times45}=\frac{100\times2500}{50\times50\times55\times45}\approx1.01<3.841)，所以沒有95%的把握認為“經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)”。（6分）（2）從經(jīng)常鍛煉的學生中按性別分層抽樣抽取11人，其中男生(\frac{30}{55}\times11=6)人，女生(5)人。記“至少有1名女生”為事件(A)，則(P(A)=1-\frac{C_6^2}{C_{11}^2}=1-\frac{15}{55}=\frac{8}{11})。（12分）（1）連接(A_1B)，因為(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點，所以(DE\parallelA_1B)，又(DE\not\subset)平面(ABB_1A_1)，(A_1B\subset)平面(ABB_1A_1)，所以(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)。（6分）（2）以(A)為原點，(AB,AC,AA_1)所在直線分別為(x,y,z)軸建立空間直角坐標系，得(A(0,0,0))，(A_1(0,0,2))，(D(1,1,0))，(B(2,0,0))。設(shè)平面(A_1AD)的法向量為(\vec{n}=(x_1,y_1,z_1))，平面(A_1BD)的法向量為(\vec{m}=(x_2,y_2,z_2))，可求得(\vec{n}=(1,-1,0))，(\vec{m}=(1,1,1))，則(\cos\langle\vec{n},\vec{m}\rangle=\frac{1-1+0}{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}=0)，所以二面角(A-A_1D-B)的余弦值為(\frac{\sqrt{3}}{3})。（12分）（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2})，得(a^2=2b^2)，又橢圓過點((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))，所以(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2b^2}=1)，解得(a^2=2)，(b^2=1)，因此橢圓(C)的標準方程為(\frac{x^2}{2}+y^2=1)。（6分）（2）聯(lián)立(\begin{cases}y=kx+m\\frac{x^2}{2}+y^2=1\end{cases})，得((1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-2=0)，由(\Delta>0)得(2k^2+1>m^2)。設(shè)(M(x_1,y_1))，(N(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{4km}{1+2k^2})，(x_1x_2=\frac{2m^2-2}{1+2k^2})。因為以(MN)為直徑的圓過原點，所以(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=0)，即(x_1x_2+y_1y_2=0)，代入得(m^2=\frac{2k^2+2}{3})，結(jié)合(2k^2+1>m^2)，解得(m^2\geq\frac{2}{3})，即(m\in(-\infty,-\frac{\sqrt{6}}{3}]\cup[\frac{\sqrt{6}}{3},+\infty))。（12分）（1）(f'(x)=e^x-a)，當(a\leq0)時，(f'(x)>0)，(f(x))在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增；當(a>0)時，令(f'(x)=0)，得(x=\lna)，則(f(x))在((-\infty,\lna))上單調(diào)遞減，在((\lna,+\infty))上單調(diào)遞增。（4分）（2）由（1）知，當(a>0)時，(f(x)_{\min}=f(\lna)=a-a\lna-1)，令(g(a)=a-a