2025年下學期高中數(shù)學與剛體力學數(shù)學模型試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）剛體運動學基礎一勻質細桿繞通過其一端的固定軸在豎直平面內自由轉動，已知桿長為L，質量為m，當桿從水平位置靜止釋放到豎直位置時，其角速度大小為（）A.$\sqrt{\frac{3g}{L}}$B.$\sqrt{\frac{6g}{L}}$C.$\sqrt{\frac{g}{L}}$D.$\sqrt{\frac{2g}{L}}$轉動慣量計算質量為m、半徑為R的勻質圓盤繞通過圓心且垂直于盤面的軸轉動，其轉動慣量為$I=\frac{1}{2}mR^2$。若將該圓盤沿直徑方向切割為兩個半圓，每個半圓繞原軸轉動的慣量為（）A.$\frac{1}{4}mR^2$B.$\frac{1}{3}mR^2$C.$\frac{1}{2}mR^2$D.$\frac{3}{4}mR^2$角動量守恒定律人造衛(wèi)星在太空中繞地球做橢圓軌道運動，忽略空氣阻力，當衛(wèi)星從遠地點向近地點運動時，下列物理量守恒的是（）A.動能B.勢能C.角動量D.線速度定軸轉動動能定理一飛輪的轉動慣量為$2\\text{kg·m}^2$，初始角速度為$10\\text{rad/s}$，在恒定阻力矩作用下經過5秒停止轉動，則阻力矩大小為（）A.$2\\text{N·m}$B.$4\\text{N·m}$C.$8\\text{N·m}$D.$10\\text{N·m}$平面力系平衡條件一質量為M的勻質矩形板靜止在傾角為θ的光滑斜面上，板的兩端分別用輕繩固定在斜面頂端，若板與斜面間無摩擦，則兩側繩的拉力大小關系為（）A.左側拉力大于右側B.右側拉力大于左側C.兩側拉力相等D.無法確定數(shù)學建模應用某機械臂關節(jié)的轉動角度θ(t)隨時間變化的規(guī)律為$\theta(t)=t^3-3t^2+2t$（單位：rad），則t=2秒時關節(jié)的角加速度為（）A.$2\\text{rad/s}^2$B.$4\\text{rad/s}^2$C.$6\\text{rad/s}^2$D.$8\\text{rad/s}^2$轉動慣量平行軸定理已知細桿繞質心軸的轉動慣量為$I_c=\frac{1}{12}mL^2$，則其繞距質心距離為d的平行軸的轉動慣量為（）A.$\frac{1}{12}mL^2+md^2$B.$\frac{1}{12}mL^2-md^2$C.$\frac{1}{3}mL^2+md^2$D.$\frac{1}{3}mL^2-md^2$剛體碰撞問題兩個半徑相同的勻質圓盤A和B，質量分別為m和2m，初始時A以角速度ω0順時針轉動，B靜止，若兩圓盤沿軸線發(fā)生完全非彈性碰撞（碰撞后共軸轉動），則碰撞后系統(tǒng)的角速度為（）A.$\frac{\omega_0}{3}$B.$\frac{\omega_0}{2}$C.$\omega_0$D.$\frac{2\omega_0}{3}$微積分在剛體力學中的應用一長為L的勻質鏈條質量為m，初始時一半垂掛于桌面邊緣，另一半靜止在光滑桌面上，釋放后鏈條下滑，當鏈條末端剛離開桌面時的速度為（）A.$\sqrt{\frac{3gL}{4}}$B.$\sqrt{\frac{gL}{2}}$C.$\sqrt{gL}$D.$\sqrt{\frac{2gL}{3}}$空間剛體自由度分析三維空間中自由剛體的運動自由度為（）A.3個平動自由度B.3個轉動自由度C.6個自由度（3平動+3轉動）D.4個自由度（2平動+2轉動）二、填空題（共5題，每題6分，共30分）剛體繞定軸轉動時，角加速度α與合外力矩M的關系為__________（用轉動慣量I表示）。質量為m的質點在半徑為r的圓周上做勻速圓周運動，其角動量大小為__________（用線速度v表示）。半徑為R的勻質球體繞直徑軸的轉動慣量公式為__________。平面力系平衡的充要條件是：力系的__________和對任意點的__________均為零。一飛輪從靜止開始做勻加速轉動，角加速度為$2\\text{rad/s}^2$，則第3秒內飛輪轉過的角度為__________rad。三、計算題（共4題，每題20分，共80分）1.定軸轉動動力學綜合問題題目：如圖所示，一質量為M=2kg、半徑為R=0.5m的勻質圓盤可繞通過圓心的水平固定軸轉動，圓盤邊緣通過輕繩懸掛一質量為m=1kg的物體，物體與桌面間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，繩與圓盤無相對滑動，重力加速度g=10m/s2。（1）求物體下落的加速度大?。唬?）若物體從靜止開始下落h=1m，求此時圓盤的角速度；（3）計算該過程中摩擦力對物體做的功。2.剛體靜力學平衡問題題目：一質量為m=5kg的勻質梯子長L=4m，一端靠在光滑豎直墻面上，另一端放在粗糙水平地面上，梯子與地面的夾角θ=60°，重力加速度g=10m/s2。（1）畫出梯子的受力分析圖；（2）求地面給梯子的支持力和摩擦力大?。唬?）若梯子與地面間的靜摩擦因數(shù)μ=0.5，判斷梯子是否會打滑。3.角動量守恒與機械能守恒綜合應用題目：一質量為M=10kg、長度L=2m的勻質細桿可繞通過其上端的光滑水平軸O在豎直平面內轉動，桿的下端固定一質量為m=2kg的小球（視為質點）。初始時桿靜止在豎直位置，小球與O點等高，現(xiàn)給小球一水平初速度v0，使桿能繞O點轉過90°到達水平位置。（1）求小球的初速度v0；（2）若在桿轉動到水平位置時，小球突然脫落，求脫落瞬間小球的線速度大小和方向。4.數(shù)學建模與微分方程問題題目：一轉動慣量I=0.5kg·m2的飛輪在驅動力矩$M(t)=4t$（N·m）和阻力矩$M_f=2\omega$（N·m）的共同作用下從靜止開始轉動，其中ω為瞬時角速度（rad/s）。（1）建立飛輪轉動的微分方程；（2）求解角速度ω(t)的表達式；（3）計算t=2秒時飛輪的動能。四、證明題（共2題，每題25分，共50分）1.平行軸定理的推導題目：已知剛體繞通過質心C的軸的轉動慣量為Ic，證明其繞與質心軸平行、距離為d的軸的轉動慣量為$I=I_c+Md^2$（M為剛體總質量）。2.剛體平面運動的動能表達式證明題目：證明做平面運動的剛體動能可表示為$E_k=\frac{1}{2}Mv_c^2+\frac{1}{2}I_c\omega^2$，其中M為剛體質量，vc為質心速度，Ic為繞質心軸的轉動慣量，ω為角速度。五、數(shù)學建模應用題（共1題，40分）題目：某工廠欲設計一小型旋轉機械臂，其簡化模型如圖所示：水平臂AB長L=1m，質量m=2kg，可繞A端豎直軸轉動，B端懸掛一質量M=5kg的重物。機械臂啟動時，電機提供恒定力矩使系統(tǒng)從靜止開始勻加速轉動，已知轉動過程中軸A處的摩擦阻力矩為$M_f=0.5\\text{N·m}$。（1）若要求機械臂在t=2秒內達到角速度ω=4rad/s，求電機需提供