2025年高中物理知識(shí)競賽“物理未來”想象設(shè)計(jì)大賽試題（二）一、力學(xué)與航天工程模塊（25分）題目背景：2045年，人類計(jì)劃在月球背面建立永久基地，需要設(shè)計(jì)一款“地月擺渡飛船”。該飛船從地球赤道發(fā)射，沿橢圓軌道抵達(dá)月球，在近月點(diǎn)進(jìn)行動(dòng)力減速后進(jìn)入環(huán)月軌道。已知地球質(zhì)量(M_地=5.98×10^{24}\\text{kg})，月球質(zhì)量(M_月=7.35×10^{22}\\text{kg})，地月平均距離(L=3.84×10^8\\text{m})，地球半徑(R_地=6.37×10^6\\text{m})，月球半徑(R_月=1.74×10^6\\text{m})，萬有引力常量(G=6.67×10^{-11}\\text{N·m}^2/\text{kg}^2)。問題：若飛船在地球表面的發(fā)射速度為(v_0)，忽略空氣阻力和地球自轉(zhuǎn)，求飛船能脫離地球引力的最小發(fā)射速度（第二宇宙速度）。（5分）飛船進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移橢圓軌道后，近地點(diǎn)距離地面高度(h_1=500\\text{km})，遠(yuǎn)地點(diǎn)恰與月球軌道相切。（1）求橢圓軌道的半長軸(a)和離心率(e)；（6分）（2）證明飛船在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度滿足(v_1r_1=v_2r_2)（(r_1)、(r_2)為近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離），并計(jì)算遠(yuǎn)地點(diǎn)速度(v_2)。（7分）飛船在環(huán)月軌道運(yùn)行時(shí)，需釋放一顆微型探測衛(wèi)星。衛(wèi)星質(zhì)量(m=20\\text{kg})，設(shè)計(jì)為可折疊太陽能板結(jié)構(gòu)，展開后等效為半徑(r=0.5\\text{m})的圓盤。若月球表面重力加速度(g_月=1.62\\text{m/s}^2)，衛(wèi)星軌道高度(h=200\\text{km})，求衛(wèi)星繞月運(yùn)行的周期，并估算太陽能板受到的月球大氣阻力（假設(shè)阻力系數(shù)(C_d=1.2)，月球大氣密度(\rho=10^{-12}\\text{kg/m}^3)，阻力公式(f=\frac{1}{2}C_d\rhoSv^2)，(S)為迎風(fēng)面積）。（7分）二、電磁學(xué)與新能源模塊（25分）題目背景：為解決星際基地能源問題，工程師設(shè)計(jì)了“太空磁約束聚變裝置”。該裝置核心部分是一個(gè)半徑(R=10\\text{m})的圓柱形真空室，內(nèi)部存在軸向勻強(qiáng)磁場(B=2\\text{T})和徑向電場(E=10^4\\text{V/m})。氘核（質(zhì)量(m=3.34×10^{-27}\\text{kg})，電荷量(q=1.6×10^{-19}\\text{C})）在其中被約束并加速。問題：忽略電場時(shí)，氘核以速度(v_0)沿垂直磁場方向進(jìn)入真空室，求其做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期。（5分）同時(shí)考慮電場和磁場時(shí)，氘核從靜止開始運(yùn)動(dòng)，分析其運(yùn)動(dòng)軌跡的特點(diǎn)（可建立柱坐標(biāo)系((r,\theta,z))，其中(z)為軸向）。（6分）若氘核在運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能隨時(shí)間的變化率為(\frac{dE_k}{dt}=qEr\omega)（(\omega)為角頻率），求：（1）氘核動(dòng)能(E_k)與軌道半徑(r)的關(guān)系；（6分）（2）當(dāng)氘核軌道半徑達(dá)到(R=10\\text{m})時(shí)的動(dòng)能，并與氘核聚變的臨界能量（約(10\\text{keV})）比較。（8分）三、光學(xué)與量子技術(shù)模塊（25分）題目背景：2040年，量子通信衛(wèi)星采用“糾纏光子對(duì)”實(shí)現(xiàn)地面與空間站的加密通信。已知光子對(duì)的波長(\lambda=800\\text{nm})，空間站軌道高度(H=400\\text{km})，地面接收望遠(yuǎn)鏡口徑(D=2\\text{m})。問題：計(jì)算該波長光子的能量和動(dòng)量。（普朗克常量(h=6.63×10^{-34}\\text{J·s})，光速(c=3×10^8\\text{m/s})）（5分）光子對(duì)在真空中傳播時(shí)，若其中一個(gè)光子因與太空塵埃碰撞發(fā)生散射，散射角(\theta=60^\circ)，求散射后光子的波長變化量(\Delta\lambda)（康普頓散射公式：(\Delta\lambda=\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta))，電子靜止質(zhì)量(m_e=9.11×10^{-31}\\text{kg})）。（6分）地面接收時(shí)，需考慮大氣湍流對(duì)光斑的影響。（1）根據(jù)瑞利判據(jù)，計(jì)算望遠(yuǎn)鏡的最小分辨角(\theta_{\text{min}})；（5分）（2）若光斑在地面形成直徑(d=1\\text{m})的圓斑，估算大氣湍流導(dǎo)致的波前畸變均方根值(\Delta\phi)（提示：(\Delta\phi\approx\frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac6161661{2H})）。（4分）量子糾纏態(tài)具有“非局域性”，若地面接收到的光子自旋態(tài)為(|\uparrow\rangle)，則空間站的糾纏光子自旋態(tài)一定為(|\downarrow\rangle)。假設(shè)光子對(duì)生成率為(n=10^6\\text{對(duì)/秒})，求1秒內(nèi)接收到符合糾纏條件的光子對(duì)數(shù)量上限（不考慮損耗）。（5分）四、熱學(xué)與環(huán)境工程模塊（25分）題目背景：火星基地的“閉環(huán)生態(tài)系統(tǒng)”需解決氧氣再生問題。設(shè)計(jì)方案為：利用電解水產(chǎn)生氧氣，同時(shí)通過可逆燃料電池回收能量。系統(tǒng)內(nèi)初始有(1\\text{mol})水蒸氣，經(jīng)歷以下循環(huán)過程：等壓加熱：從狀態(tài)A（(p_1=1\\text{atm})，(T_1=373\\text{K})）加熱至狀態(tài)B（(T_2=473\\text{K})）；絕熱膨脹：從狀態(tài)B膨脹至狀態(tài)C（(p_3=0.5\\text{atm})）；等容冷卻：從狀態(tài)C冷卻至狀態(tài)D；等溫壓縮：從狀態(tài)D回到狀態(tài)A。已知水的摩爾定壓熱容(C_p=36\\text{J/(mol·K)})，摩爾定容熱容(C_V=28\\text{J/(mol·K)})，水蒸氣視為理想氣體，(1\\text{atm}=1.013×10^5\\text{Pa})。問題：計(jì)算狀態(tài)A的體積(V_A)和狀態(tài)B的體積(V_B)。（5分）求絕熱膨脹過程中系統(tǒng)對(duì)外做的功(W_{BC})和內(nèi)能變化(\DeltaU_{BC})。（7分）等容冷卻過程中，系統(tǒng)放出的熱量(Q_{CD})為多少？若此過程中水蒸氣部分液化（忽略液態(tài)水體積），已知水的汽化熱(L=40.6\\text{kJ/mol})，求液化的水蒸氣摩爾數(shù)(x)。（8分）若電解水的效率為(80%)，燃料電池的效率為(70%)，系統(tǒng)每循環(huán)產(chǎn)生(1\\text{mol})氧氣需消耗多少電能？（5分）五、近代物理與人工智能模塊（20分）題目背景：“量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”是未來AI的核心技術(shù)，其基本單元為“量子比特”。一個(gè)量子比特的狀態(tài)可用二維復(fù)向量表示：(|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)，其中(|\alpha|^2+|\beta|^2=1)，(|0\rangle)和(|1\rangle)為基態(tài)。問題：若量子比特處于疊加態(tài)(|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle)，測量時(shí)得到(|0\rangle)和(|1\rangle)的概率各是多少？（4分）量子門操作可改變量子比特狀態(tài)?！癏adamard門”的矩陣表示為(H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\1&-1\end{pmatrix})，求(H|0\rangle)和(H|1\rangle)的結(jié)果，并判斷是否為疊加態(tài)。（6分）兩個(gè)量子比特構(gòu)成的“Bell態(tài)”為(|\Phi^+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle))，證明對(duì)第一個(gè)比特測量后，第二個(gè)比特的狀態(tài)完全確定（例如：若測得第一個(gè)比特為(|0\rangle)，則第二個(gè)比特必為(|0\rangle)）。（6分）若量子計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度隨量子比特?cái)?shù)(n)指數(shù)增長（(v=2^n\\text{次/秒})），而經(jīng)典計(jì)算機(jī)隨(n)線性增長（(v=kn\\text{次/秒})，(k=10^9)），求當(dāng)(n)為何值時(shí)，量子計(jì)算機(jī)的速度超過經(jīng)典計(jì)算機(jī)？（4分）六、綜合創(chuàng)新設(shè)計(jì)題（40分）題目背景：設(shè)計(jì)一款“太空電梯”系統(tǒng)，其核心是一根從地球同步軌道空間站延伸至地面的碳納米管纜繩，利用地球自轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)低成本貨物運(yùn)輸。已知地球同步軌道高度(h=3.6×10^4\\text{km})，纜繩線密度(\lambda=1×10^{-3}\\text{kg/m})，最大tensilestrength（抗拉強(qiáng)度）(\sigma=6×10^{10}\\text{Pa})，橫截面積(S=1×10^{-6}\\text{m}^2)。問題：分析纜繩上某點(diǎn)的受力，證明：距離地心(r)處的張力(T(r))滿足微分方程(\frac{dT}{dr}=\lambda\left(\frac{GM_地}{r^2}-\omega^2r\right))，其中(\omega)為地球自轉(zhuǎn)角速度。（10分）求解該微分方程，得到張力(T(r))的表達(dá)式（邊界條件：地面處(T(R_地)=0)），并計(jì)算同步軌道處的纜繩張力(T(r_同))。（12分）若纜繩的安全系數(shù)為2（即實(shí)際最大張力不得超過(\sigmaS/2)），判