機械電子工程專升本2025年控制理論專項測試試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.已知系統(tǒng)微分方程為：2?+3x=u(t)，其中x(0)=1，u(t)為單位階躍函數(shù)，求系統(tǒng)響應x(t)。2.求函數(shù)F(s)=(s+2)/(s2+3s+2)的拉普拉斯反變換F(t)。3.判斷傳遞函數(shù)G(s)=1/(s(s+1)(s+2))代表的系統(tǒng)是零階系統(tǒng)、一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)還是更高階系統(tǒng)？請說明理由。4.系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=(s+3)/(s2+2s+5)，求其直流增益（即s=0時的增益）。5.什么是控制系統(tǒng)的單位階躍響應？它通常用來衡量系統(tǒng)的哪些性能指標？二、6.已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下（請在此處描述結(jié)構(gòu)圖，因為不能使用圖形）：“系統(tǒng)由兩個串聯(lián)的傳遞函數(shù)塊組成，第一個塊的傳遞函數(shù)為G1(s)=2/(s+1)，第二個塊的傳遞函數(shù)為G2(s)=3/s，兩者之間沒有反饋連接”。求該系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)G(s)=C(s)/R(s)。7.系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=K/(s(s+2)(s+5))。試用勞斯判據(jù)判斷當K=10時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。8.已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=10/s(s+2)，試用奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。9.什么是控制系統(tǒng)的相角裕度（γ）和增益裕度（Kg）？它們分別反映了系統(tǒng)的什么性能？10.系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=W?2/s2+2ζW?s+W?2，其中W?=2rad/s，ζ=0.5。求該系統(tǒng)的自然頻率（無阻尼自然頻率）和阻尼比。并定性描述其階躍響應特性（如超調(diào)量、調(diào)整時間趨勢）。三、11.設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K/(s(s+1))。若要求系統(tǒng)在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差ess=0.1，求開環(huán)增益K的值。12.已知系統(tǒng)單位階躍響應的部分數(shù)據(jù)：超調(diào)量σ%=10%，調(diào)整時間t?=2s（允許誤差±5%）。若該系統(tǒng)可近似看作二階系統(tǒng)，求其阻尼比ζ和自然頻率ω?的近似值。13.什么是控制系統(tǒng)的校正？常用的校正方式有哪些？（請至少列舉兩種）14.在波特圖（BodePlot）中，20lg|G(jω)|和φ(ω)分別表示什么？15.簡述根軌跡法的基本思想。當開環(huán)傳遞函數(shù)的增益K從0變到無窮大時，閉環(huán)極點在s平面上的軌跡如何變化？四、16.分析以下傳遞函數(shù)的特征，并說明其可能代表的系統(tǒng)類型或特性：G(s)=1/s(s2+4s+4)。17.系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=K(s+1)/(s+2)(s+3)。繪制該開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特圖（NessieDiagram）的草圖，并標明關鍵頻率點（如ω=0?,ω=1,ω=∞）的特性。18.已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=K/(s(s2+2s+2))。求系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩時的增益K值（即臨界增益Kc），并指出此時系統(tǒng)的阻尼比ζ。19.對于一個穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差ess是否一定為零？請結(jié)合不同的輸入信號類型進行說明。20.比較勞斯判據(jù)和奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的優(yōu)缺點。在什么情況下使用哪種判據(jù)可能更方便？---試卷答案一、1.x(t)=(1-e^(-3t/2))/3*解析思路：*對微分方程進行拉普拉斯變換，代入初始條件x(0)=1和u(t)的拉普拉斯變換1/s，解出X(s)，再進行拉普拉斯反變換得到x(t)。2.F(t)=(1/2)e^(-t)-(1/2)e^(-2t)*解析思路：*對F(s)進行部分分式分解，得到F(s)=1/(s+1)-1/(s+2)，然后對每一項分別進行拉普拉斯反變換。3.二階系統(tǒng)*解析思路：*傳遞函數(shù)分母多項式的最高階次為2，因此該系統(tǒng)是二階系統(tǒng)。4.0.5*解析思路：*將s=0代入傳遞函數(shù)G(s)=(s+3)/(s2+2s+5)，得到直流增益G(0)=3/5=0.6。注意題目要求直流增益，即s=0時的值。5.單位階躍響應是指系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作為輸入信號時的輸出響應。它通常用來衡量系統(tǒng)的動態(tài)性能，如上升時間、峰值時間、調(diào)整時間和超調(diào)量等。*解析思路：*根據(jù)單位階躍響應的定義和其在控制系統(tǒng)分析中的作用進行回答。二、6.G(s)=6/(s2+3s+2)*解析思路：*串聯(lián)連接的總傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)傳遞函數(shù)的乘積。G(s)=G1(s)*G2(s)=(2/(s+1))*(3/s)=6/(s(s+1))。然后進行結(jié)構(gòu)圖化簡（如有反饋需另外處理，但題意為串聯(lián)無反饋）。7.穩(wěn)定*解析思路：*列出勞斯表：s3|15s2|32s1|7/3(計算3*5-1*2)s?|2勞斯表中第一列元素均為正數(shù)，無符號變化，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。8.穩(wěn)定*解析思路：*G(s)H(s)=10/s(s+2)。繪制奈奎斯特圖：*ω=0?:G(j0)H(j0)=10/(0*(0+2))=∞(在實軸正半軸無窮遠處)*ω=∞:G(j∞)H(j∞)=10/(∞*∞)=0(在原點)*ω=1:G(j1)H(j1)=10/(j1*(j1+2))=10/(j*(-1+j2))=10/(-1-j2)=10*(1+j2)/(-1-j2)(1+j2)=10*(1+j2)/5=2*(1+j2)=2-4j奈奎斯特路徑沿實軸從+∞到0，再沿虛軸從2j到0。檢查(-1,j0)點是否在路徑上。路徑未包圍(-1,j0)點。根據(jù)奈氏判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定。9.相角裕度γ是系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)在幅值為1（0dB）的頻率點ωc處，相位φ(ωc)與-180°的差值，即γ=180°+φ(ωc)。它反映了系統(tǒng)在閉環(huán)臨界穩(wěn)定點附近相位偏離臨界值的安全程度。增益裕度Kg是系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)在相位φ(ω)=-180°時的幅值1/G(jω)H(jω)的倒數(shù)，即Kg=1/G(jω)H(jω)|φ(ω)=-180°。它反映了系統(tǒng)幅值達到臨界穩(wěn)定點時的增益余量。γ和Kg都表示了閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。*解析思路：*根據(jù)相角裕度和增益裕度的定義及其物理意義進行解釋。10.自然頻率W?=2rad/s，阻尼比ζ=0.5。該系統(tǒng)阻尼比ζ=0.5（小于1），屬于欠阻尼狀態(tài)，其階躍響應將是振蕩衰減的。*解析思路：*直接從傳遞函數(shù)中識別W?2和2ζW?。根據(jù)ζ的值判斷系統(tǒng)類型（欠阻尼）。三、11.K=2*解析思路：*該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)（s在分母一次方）。要求ess=0，輸入為單位階躍，需計算位置誤差常數(shù)Kp。Kp=lim(s->0)sG(s)=lim(s->0)s(K/(s(s+1)))=K/1=K。要求ess=1/K=0.1，解得K=1/0.1=10。注意單位階躍輸入對應位置誤差常數(shù)Kp。修正：應為Kp=K=2。檢查：K=2時，Kp=2，ess=1/Kp=1/2=0.5。重新計算：Kp=lim(s->0)s(K/(s(s+1)))=K/1=K。要求ess=0.1，輸入為單位階躍，ess=1/Kp=1/K=0.1，所以K=10。這里K=10滿足條件?；蛘哂媒K值定理：ess=1/(1+Kp)=1/(1+K)=0.1，解得K=10。確認K=10，ess=1/(1+10)=0.1。之前的答案K=2是錯誤的。修正答案為K=10。12.ζ≈0.59,ω?≈1.65rad/s*解析思路：*對于二階系統(tǒng)，超調(diào)量σ%=exp(-ζπ/√(1-ζ2))*100%。已知σ%=10%，解方程求ζ：exp(-ζπ/√(1-ζ2))=1.1。取對數(shù)，-ζπ/√(1-ζ2)=ln(1.1)≈0.0953。近似解得ζ≈0.33（此為初步解）。更精確方法可能需要迭代或查表。調(diào)整時間t?=4ζ/ω?（允許誤差±5%）。已知t?=2s。代入ζ≈0.33，得2≈4*0.33/ω?，ω?≈0.66rad/s。用ω?≈0.66再回代求更精確的ζ：σ%=exp(-0.33π/√(1-0.332))*100%≈9.5%。與10%較近，但略小。再用ω?≈0.66代入t?=4ζ/ω?=2，解得ζ=0.33*0.66/0.5=0.438。再用ζ=0.438求ω?=4*0.438/2=0.876。再用ω?=0.876回代求ζ...迭代或查表得到更精確值。這里采用近似解法，取ζ≈0.59（對應σ%≈10%），ω?≈ω?=2/(4*0.59/ω?)=2*ω?/(4*0.59)=ω?/1.18。ω?≈1.65rad/s。取ζ≈0.59,ω?≈1.65。13.控制系統(tǒng)校正是指通過在系統(tǒng)中加入附加元件（校正裝置），改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)，使系統(tǒng)的性能（如穩(wěn)定性、響應速度、阻尼等）滿足預定要求的過程。常用校正方式有：串聯(lián)校正（在校正裝置與系統(tǒng)固有部分串聯(lián)）、并聯(lián)校正（或稱反饋校正，在校正裝置與系統(tǒng)固有部分并聯(lián)）、前饋校正等。*解析思路：*根據(jù)控制系統(tǒng)校正的定義和分類方法回答。14.在波特圖（BodePlot）中，20lg|G(jω)|表示系統(tǒng)頻率特性G(jω)的幅值以分貝（dB）為單位的表示，反映了系統(tǒng)對不同頻率信號增益的大小。φ(ω)表示系統(tǒng)頻率特性G(jω)的相角，反映了系統(tǒng)對不同頻率信號相位滯后或超前的大小。*解析思路：*根據(jù)波特圖的定義解釋兩個坐標軸的物理意義。15.根軌跡法是一種圖解分析方法，根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點和零點，以及系統(tǒng)增益K從0變到無窮大時，閉環(huán)極點在s平面上的運動軌跡。其基本思想是利用系統(tǒng)的開環(huán)零極點關系和根軌跡繪制規(guī)則（如幅值條件、相角條件、起點終點、漸近線、分離與會合點、破復點等），追蹤閉環(huán)極點的變化，從而分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)性能和靜態(tài)性能。*解析思路：*根據(jù)根軌跡法的定義、基本思想和繪制依據(jù)進行解釋。四、16.G(s)=1/s(s2+4s+4)=1/s(s+2)2。該系統(tǒng)是三階系統(tǒng)。分母多項式包含重根s=-2，表明系統(tǒng)階躍響應在t=0處可能出現(xiàn)瞬態(tài)過沖或振蕩，且響應速度可能受影響。其階躍響應會呈現(xiàn)過沖（取決于阻尼比），且調(diào)整時間通常較長。*解析思路：*根據(jù)傳遞函數(shù)分母多項式的階次判斷系統(tǒng)階次。分析分母多項式的形式（是否有重根）判斷響應特性。17.繪制G(s)H(s)=K(s+1)/((s+2)(s+3))的奈奎斯特圖：*ω=0?:G(j0)H(j0)=K(0+1)/((0+2)(0+3))=K/6*ω=∞:G(j∞)H(j∞)=K/(j∞*j∞*j∞)=0(在原點)*ω=1:G(j1)H(j1)=K(j1+1)/((j1+2)(j1+3))=K(1+j)/((2+j)(3+j))=K(1+j)/(11+5j)=K(1+j)*(11-5j)/(112+52)=K(11-5j+j*11-5j2)/146=K(11-5j+11j+5)/146=K(16+6j)/146=8K(8+3j)/73奈奎斯特路徑：沿實軸從K/6到0，然后沿虛軸從虛部為6K/73到0。路徑未包圍(-1,j0)點。系統(tǒng)穩(wěn)定。草圖應是一個從(K/6,0)出發(fā)，經(jīng)過上半平面（對于ω從0到∞），最終到達原點的曲線。*解析思路：*按照奈奎斯特圖的繪制規(guī)則，計算關鍵頻率點的幅值和相角，描述路徑形狀，并判斷是否包圍(-1,j0)點。18.臨界增益Kc時，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為1+G(s)H(s)=0，即1+K(s+1)/(s(s+2)(s+3))=0。此時閉環(huán)有兩個純虛根。設純虛根為s=±jω_c。代入特征方程：1+K(±jω_c+1)/((±jω_c)(±jω_c+2)(±jω_c+3))=0。選擇s=jω_c代入：1+K(jω_c+1)/(jω_c(jω_c+2)(jω_c+3))=0。分母展開：(jω_c)(jω_c2-2jω_c+3)=j2ω_c3-2j2ω_c2+3jω_c=-ω_c3+2ω_c2-3ω_c。方程變?yōu)椋?+K(1+jω_c)/(-ω_c3+2ω_c2-3ω_c)=0。令實部和虛部為0。實部：1+K/(-ω_c3+2ω_c2-3ω_c)=0=>K=-(ω_c3-2ω_c2+3ω_c)。虛部：Kω_c/(-ω_c3+2ω_c2-3ω_c)=0。由于ω_c≠0，需K=0或-ω_c3+2ω_c2-3ω_c=0。若K=0，系統(tǒng)無增益，不穩(wěn)定。故需解-ω_c3+2ω_c2-3ω_c=0。因ω_c≠0，可除以ω_c得-ω_c2+2ω_c-3=0。解得ω_c2-2ω_c+3=0。判別式Δ=4-12=-8<0，此方程無實根。說明直接解法有問題。應使用勞斯判據(jù)或根軌跡法求臨界增益。采用勞斯判據(jù)：s3|1-30s2|02K0s1|-300s?|2K00首列無符號變化，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時首列必為零。s1行首項為-3，令其等于0：-3=0，此方程無解。說明直接用勞斯判據(jù)分析臨界增益不直接。應使用根軌跡法。繪制根軌跡：開環(huán)極點：p1=-2,p2=-2,p3=0。開環(huán)零點：z1=-1。根軌跡起始于極點-2（重根），-2，0。終止于零點-1和無窮遠處。實軸段：-∞<ω<-1（-1為零點），-2<ω<0（0為極點）。漸近線：2個極點減2個零點等于0條漸近線。分離會合點：在實軸段，s+1=0即s=-1處。此處根軌跡可能分離或會合。臨界增益Kc對應根軌跡離開(-2,0)重根點。此時閉環(huán)極點為s=-1±j√2。代入s=-1+j√2到1+K(s+1)/((s+2)(s+3))=0：1+K(-1+j√2+1)/((-1+j√2+2)(-1+j√2+3))=01+Kj√2/((1+j√2)(1+j√2+3))=01+Kj√2/((1+j√2)(4+j√2))=01+Kj√2/(4+4j√2+j√2+2)=01+Kj√2/(6+5j√2)=01+Kj√2*(6-5j√2)/(36+50)=01+Kj√2*(6-5j√2)/86=01+(6Kj√2-10K)/86=086+6Kj√2-10K=086-10K=0=>K=8.6臨界增益Kc=8.6。此時系統(tǒng)阻尼比ζ=-ω_d/ω_n。ω_n=√(自然頻率的平方)=√(根軌跡離開-2時的自然頻率平方)。根軌跡離開-2時，另兩個根為s=