第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

1-1質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻￡質(zhì)點(diǎn)的位矢為耳速度為

。，速率為匕t至"+△#時(shí)間內(nèi)的位移為Ar,路程為As,位矢

大小的變更量為Ar(或稱A|r|)，平均速度為方,平均速率為

v.

(1)根據(jù)上述狀況，則必有()

(A)|Ar|=As=Ar

(B)|Ar|*Ns*Ar,當(dāng)AiO時(shí)有|dr|=dswdr

(C)|Ar|豐2+As,當(dāng)AiO時(shí)有|dr|=dr力ds

(D)|Ar|wAs￥=Ar,當(dāng)AiO時(shí)有|dr|=dr=ds

(2)根據(jù)上述狀況，則必有()

(A)\v\=v,\v\=v(B)\v\^=v,\

v\v

(C)|o|=o,|萬|w萬(D)IoI#。，I

V\=V

分析及解(1)質(zhì)點(diǎn)在?至"+AZ)時(shí)間內(nèi)沿曲線從p點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)到尸'點(diǎn),各量關(guān)系如圖所示，其中路程As=PP',位

移大小|Ar|=PP；而Ar=\r\-\r\表示質(zhì)點(diǎn)位矢大

小的變更量，三個(gè)量的物理含義不同，在曲線運(yùn)動(dòng)中大小也不

相等(注：在直線運(yùn)動(dòng)中有相等的可能).但當(dāng)AiO時(shí)，點(diǎn)尸

無限趨近七點(diǎn)，則有Idr|=ds,但卻不等于d廠故選(B).

(2)由于IArIRAs,故孚工孚，即|方|力在.

ArAr

但由于1d，|=ds,故2*，即I萬I=萬.由此可見,

應(yīng)選(C).

1-2一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于位矢人耳叼的端點(diǎn)處，對(duì)

其速度的大小有四種意見，即

⑴*⑵％⑶…)

下述推斷正確的是()

(A)只有⑴⑵正確(B)只有⑵正確

(C)只有⑵⑶正確(D)只有⑶⑷正確

分析及解手表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的間隔隨時(shí)間的變

dr

更率,在極坐標(biāo)系中叫徑向速率.通常用符號(hào)/表示，這是速度

矢量在位矢方向上的一個(gè)重量；手表示速度矢量；在自然坐

dr

標(biāo)系中速度大小可用公式。=手計(jì)算，在直角坐標(biāo)系中則可由

dr

公式"JOO修j求解，故選(D)?

1-3質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)/表示位置矢量，碳示速度用表

示加速度,s表示路程，處表示切向加速度.對(duì)下列表達(dá)式,

即

(l)dv/dt—a\(2)dr/df=0;⑶ds/dt=0;⑷dv

/d￡I=<3t.

下述推斷正確的是()

(A)只有⑴、⑷是對(duì)的(B)只有(2)、⑷是對(duì)的

(C)只有⑵是對(duì)的(D)只有⑶是對(duì)的

分析及解字表示切向加速度處,它表示速度大小隨時(shí)

At

間的變更率，是加速度矢量沿速度方向的一個(gè)重量，起變更速

度大小的作用；目在極坐標(biāo)系中表示徑向速率%(如題1-2所

dr

述)；手在自然坐標(biāo)系中表示質(zhì)點(diǎn)的速率。；而半表示加速度

drdr

的大小而不是切向加速度at.因此只有(3)式表達(dá)是正確

的.故選(D).

1-4一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，則有()

(A)切向加速度確定變更，法向加速度也變更

(B)切向加速度可能不變，法向加速度確定變更

(C)切向加速度可能不變，法向加速度不變

(D)切向加速度確定變更，法向加速度不變

分析及解加速度的切向重量處起變更速度大小的作用,

而法向重量為起變更速度方向的作用.質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由

于速度方向不斷變更，相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷變更，

因此法向加速度是確定變更的.至于為是否變更，則要視質(zhì)點(diǎn)

的速率狀況而定.質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，久恒為零；質(zhì)

點(diǎn)作勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，陽(yáng)為一不為零的恒量，當(dāng)處變更時(shí),

質(zhì)點(diǎn)則作一般的變速率圓周運(yùn)動(dòng).由此可見，應(yīng)選(B).

*1-5如圖所示,湖中有一小船，有人用繩繞過岸上確定

高度處的定滑輪拉湖中的船向岸邊運(yùn)動(dòng).設(shè)該人以勻速率的

收繩,繩不伸長(zhǎng)且湖水靜止，小船的速率為匕則小船作()

(A)勻加速運(yùn)動(dòng),

cos8

(B)勻減速運(yùn)動(dòng),v=v()cosO

(C)變加速運(yùn)動(dòng),。=占

cos6/

(D)變減速運(yùn)動(dòng),O=%COS。

(E)勻速直線運(yùn)動(dòng)

分析及解本題關(guān)鍵是先求得小船速度表達(dá)式，進(jìn)而推

斷運(yùn)動(dòng)性質(zhì).為此建立如圖所示坐標(biāo)系,設(shè)定滑輪距水面高度

為力(時(shí)刻定滑輪距小船的繩長(zhǎng)為則小船的運(yùn)動(dòng)方程為

元=際尸，其中繩長(zhǎng)/隨時(shí)間1而變更.小船速度

。=孚=7』,式中｝表示繩長(zhǎng)/隨時(shí)間的變更率,其大小

山V/2-/22由

即為電代入整理后為。=/=吃，方向沿X軸負(fù)

V/2-/?2//cos。

向.由速度表達(dá)式，可推斷小船作變加速運(yùn)動(dòng).故選(C).

探討有人會(huì)將繩子速率由按小y兩個(gè)方向分解，則小

船速度Z，=。。cos。，這樣做對(duì)嗎？

1-6已知質(zhì)點(diǎn)沿X軸作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為

%=2+6/一2廣\式中*的單位為mJ的單位為s.求：

(1)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)開場(chǎng)后4.0s內(nèi)的位移的大??；

(2)質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)間內(nèi)所通過的路程；

(3)t=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度.

分析位移和路程是兩個(gè)完全不同的概念.只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)

作直線運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)方向不變更時(shí)，位移的大小才會(huì)及路程相

等.質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)間內(nèi)的位移Ax的大小可干脆由運(yùn)動(dòng)方程得

到：=而在求路程時(shí)，就必需留意到質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程

中可能變更運(yùn)動(dòng)方向，此時(shí)，位移的大小和路程就不同了.為此,

需根據(jù)r崇lY=0來確定其運(yùn)動(dòng)方向變更的時(shí)刻L，求出。?L和

tp?t內(nèi)的位移大小Ax1、&X2，則t時(shí)間內(nèi)的路程

5=|川+|%],如圖所示，至于4=4.0s時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度和加速度

可用手和魯兩式計(jì)算.

山dr-

解(1)質(zhì)點(diǎn)在4.0s內(nèi)位移的大小

⑵由手

dr

得知質(zhì)點(diǎn)的換向時(shí)刻為

t,,=2s（t=。不合題意）

則

所以,質(zhì)點(diǎn)在4.。s時(shí)間間隔內(nèi)的路程為

⑶￡=4.0s時(shí)

1-7一質(zhì)點(diǎn)沿x軸方向作直線運(yùn)動(dòng)，其速度剛好間的關(guān)

系如圖（a）所示.設(shè)￡=。時(shí),x=0.試根據(jù)已知的片t圖，畫出

a-t圖以和x-t圖.

分析根據(jù)加速度的定義可知，在直線運(yùn)動(dòng)中片￡曲線的

斜率為加速度的大小（圖中AB、CD段斜率為定值，即勻變速

直線運(yùn)動(dòng)；而線段BC的斜率為0,加速度為零,即勻速直線運(yùn)

動(dòng)）.加速度為恒量，在比2圖上是平行于，軸的直線，由片￡圖

中求出各段的斜率，即可作出圖線.又由速度的定義可

知曲線的斜率為速度的大小.因此,勻速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)

的X"圖應(yīng)是始終線，而勻變速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的x-t圖為￡

的二次曲線.根據(jù)各段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程X=耳8,求出不同時(shí)

刻1的位置至采納描數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法,可作出x"圖.

解將曲線分為AB、BC、CD三個(gè)過程,它們對(duì)應(yīng)的加

速度值分別為

=也二以=2。m.s-2（勻加速直線運(yùn)動(dòng)）

"A

48c=0（勻速直線運(yùn)動(dòng)）

旬）=紅二生=-10m.s-2（勻減速直線運(yùn)動(dòng)）

力。一左

根據(jù)上述結(jié)果即可作出質(zhì)點(diǎn)的a"圖［圖（B）］.

在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，有

由此，可計(jì)算在。?2s和4?6s時(shí)間間隔內(nèi)各時(shí)刻的位

置分別為

用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的作圖方法，由表中數(shù)據(jù)可作。?2s和4?6

s時(shí)間內(nèi)的X"圖.在2?4s時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)是作o=20m.s-i

的勻速直線運(yùn)動(dòng)，其x圖是斜率k=20的一段直線[圖

(c)].

1-8已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為r=2〃+(2-產(chǎn))九式中二的

單位為m工的單位為s,求：

(1)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；

(2)t=0和￡=2s時(shí),質(zhì)點(diǎn)的位矢；

(3)由￡=0到￡=2s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移Ar和徑向增量

Ar;

*(4)2s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所走過的路程s.

分析質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為尸=4刈可由運(yùn)動(dòng)方程的兩個(gè)

重量式和中消去1即可得到.對(duì)于八Ar>Nr、As來

說，物理含義不同,可根據(jù)其定義計(jì)算.其中對(duì)s的求解用到積

分方法，先在軌跡上任取一段微元ds,則ds=J(dx)2+(dy)2，最

終用s=j由積分求s.

解(1)由其/)和wa中消去t后得質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為

這是一個(gè)拋物線方程，軌跡如圖⑸所示.

(2)將1=0s和￡=2s分別代入運(yùn)動(dòng)方程，可得相應(yīng)位

矢分別為

圖⑸中的P、Q兩點(diǎn)，即為￡=0s和1=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在

位置.

⑶由位移表達(dá)式，得

其中位移大小加|二J(Ar)2+(Ay)2=5.66m

而徑向增量△〃=A|r|=|^|-|^|=亞+￡-1X+y：=2.47m

*(4)如圖(B)所示，所求As即為圖中PQ段長(zhǎng)度，先在其間

隨意處取AB微元ds,則ds=J(dx)2+(dy)2,由軌道方程可得

由，=-5晶,代入ds,則2s內(nèi)路程為

1-9質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

式中區(qū)尸的單位為m"的單位為s.

試求：（1）初速度的大小和方向；（2）加速度的大小和方

向.

分析由運(yùn)動(dòng)方程的重量式可分別求出速度、加速度的

重量，再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向.

解（1）速度的重量式為

當(dāng)1=。時(shí)，%*=-10m?s1,%尸=15m?s」，則

初速度大小為

設(shè)％及x軸的夾角為5則

（7=123°4T

（2）加速度的重量式為

則加速度的大小為

設(shè)a及x軸的夾角為后則

￡=-33°41'（或326。19'）

1-10一升降機(jī)以加速度L22m-s?2上升，當(dāng)上升速

度為2.44m?s-i時(shí),有一螺絲自升降機(jī)的天花板上松脫，天

花板及升降機(jī)的底面相距2.74m.計(jì)算：（1）螺絲從天花板落

究竟面所須要的時(shí)間；（2）螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子的下降

間隔.

分析在升降機(jī)及螺絲之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀況下，一種

處理方法是取地面為參考系，分別探討升降機(jī)豎直向上的勻

加速度運(yùn)動(dòng)和初速不為零的螺絲的自由落體運(yùn)動(dòng)，列出這兩

種運(yùn)動(dòng)在同一坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程％=n（。和K="①，并

考慮它們相遇，即位矢一樣這一條件,問題即可解；另一種方法

是取升降機(jī)（或螺絲）為參考系，這時(shí)，螺絲（或升降機(jī)）相對(duì)它作

勻加速運(yùn)動(dòng)，但是，此加速度應(yīng)當(dāng)是相對(duì)加速度,升降機(jī)廂的高

度就是螺絲（或升降機(jī)）運(yùn)動(dòng)的路程.

解1（1）以地面為參考系，取如圖所示的坐標(biāo)系,升降機(jī)

及螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為

當(dāng)螺絲落至底面時(shí)，有必=必，即

(2)螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的間隔為

解2⑴以升降機(jī)為參考系，此時(shí)，螺絲相對(duì)它的加速度

大小a'=g+2螺絲落至底面時(shí)，有

(2)由于升降機(jī)在2時(shí)間內(nèi)上升的高度為

貝ljd=/z-〃'=0.716m

1-11一質(zhì)點(diǎn)P沿半徑R=3.0m的圓周作勻速率運(yùn)

動(dòng),運(yùn)動(dòng)一周所需時(shí)間為20.0s，設(shè)-=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于。

點(diǎn).按閭圖中所示坐標(biāo)系，求(1)質(zhì)點(diǎn)P在隨意時(shí)刻的位

矢；(2)5s時(shí)的速度和加速度.

分析該題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類問題，即已知運(yùn)動(dòng)方程r

=人力求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速

度).在確定運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，若取以點(diǎn)(0,3)為原點(diǎn)的。'X'y‘坐

標(biāo)系，并采納參數(shù)方程X'(。和y’=尸’⑵來表示圓周

運(yùn)動(dòng)是比擬便利的.然后，運(yùn)用坐標(biāo)變換x=A0+4和y=

JO+V,將所得參數(shù)方程轉(zhuǎn)換至。燈坐標(biāo)系中，即得。歹

題I-11圖

坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)P在隨意時(shí)刻的位矢.采納對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)的

方法可得速度和加速度.

解⑴如圖(B)所示，在,坐標(biāo)系中，因0=爭(zhēng),

則質(zhì)點(diǎn)P的參數(shù)方程為

坐標(biāo)變換后，在0對(duì)坐標(biāo)系中有

則質(zhì)點(diǎn)P的位矢方程為

(2)5s時(shí)的速度和加速度分別為

drn2兀2兀一n2兀.2兀.〃、o.

v=—=R—cos—ti+R—sin—ti=(0.3兀ms)/

dtTTTT

d，?2兀.2TI22兀..?1-2、?

a=—2=-R(—)sin—n+/?(—)cos—y=(-0.03K'm?s)i

1-12地面上垂直直立一高20.。m的旗桿，已知正午時(shí)分

太陽(yáng)在旗桿的正上方，求在下午2：00時(shí)，桿頂在地面上的影

子的速度的大小.在何時(shí)刻桿影伸展至20.0m?

分析為求桿頂在地面上影子速度的大小，必需建立影

長(zhǎng)剛好間的函數(shù)關(guān)系，即影子端點(diǎn)的位矢方程.根據(jù)幾何關(guān)系,

影長(zhǎng)可通過太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度求得.由于運(yùn)動(dòng)的相

對(duì)性，太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也就是地球自轉(zhuǎn)的角速

度.這樣，影子端點(diǎn)的位矢方程和速度均可求得.

解設(shè)太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為Q從正午時(shí)分開場(chǎng)

計(jì)時(shí),則桿的影長(zhǎng)為s=/?tgGt下午2：00時(shí),桿頂在地面上

影子的速度大小為

當(dāng)桿長(zhǎng)等于影長(zhǎng)時(shí)，即s=力,則

即為下午3：00時(shí).

1-13質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，加速度a=4，式中a的單位

為m?s，珀勺單位為s.假設(shè)當(dāng)I=3s時(shí),x=9m,y=2

m-s-i,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程.

分析本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題，即已知加速度求速

度和運(yùn)動(dòng)方程，必需在給定條件下用積分方法解決.由。=手

dt

dx_

和0=—可得do=〃d/和dx=odf.如或。=則可兩

邊干脆積分.假設(shè)a或環(huán)是時(shí)間-的顯函數(shù)，則應(yīng)經(jīng)過諸如分

別變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做積分.

解由分析知，應(yīng)有

3

得u=4/--r+u0

⑴

由「dr=

%Jo

得x=2/-丘〃+叩+/

⑵

將￡=3s時(shí),x=9m,v=2m-s”代入(1)(2)得％=

-1m?s-1,Ab=0.75m.于是可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為

1-14一石子從空中由靜止下落，由于空氣阻力,石子并

非作自由落體運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)測(cè)得其加速度a=A-B匕式中A、B為正

恒量，求石子下落的速度和運(yùn)動(dòng)方程.

分析本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題，及上題不同之處

在于加速度是速度附勺函數(shù)，因此，需將式dr=a(Hdf分別變

量為麗二出后再兩邊積分.

解選取石子下落方向?yàn)閥軸正向，下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原

點(diǎn).

(1)由題意知a=^-=A-Bv

dr

⑴

用分別變量法把式⑴改寫為

dv.

--------=dt⑵

A-Bv

將式⑵兩邊積分并考慮初始條件，有

得石子速度v=

由此可知當(dāng),時(shí),0-4為一常量，通常稱為極限速度

D

或收尾速度.

(2)再由。=?=!「1，)并考慮初始條件有

dtB

得石子運(yùn)動(dòng)方程

1-15一質(zhì)點(diǎn)具有恒定加速度a=67+41式中a的單

位為m,s-2.在￡=0時(shí)，其速度為零，位置矢量々=10

mi.求：(1)在隨意時(shí)刻的速度和位置矢量；(2)質(zhì)點(diǎn)在6y

平面上的軌跡方程，并畫出軌跡的示意圖.

分析及上兩題不同處在于質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)

疊加原理,求解時(shí)需根據(jù)加速度的兩個(gè)重量4和為分別積分,

從而得到運(yùn)動(dòng)方程用勺兩個(gè)重量式和M兒由于本題中質(zhì)點(diǎn)

加速度為恒矢量，故兩次積分后所得運(yùn)動(dòng)方程為固定形式，即

x=++"/和)，=%+%、/+(”?,兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)均為勻變

22,

速直線運(yùn)動(dòng).讀者不妨自己驗(yàn)證一下.

解由加速度定義式，根據(jù)初始條件必=。時(shí)為=0,積

分可得

又由。=手和初始條件-。時(shí),4=(10m"積分可得

dr

由上述結(jié)果可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的重量式，即

x=10+3/

y=2/

消去參數(shù)t可得運(yùn)動(dòng)的軌跡方程

3y=2x-20m

這是一個(gè)直線方程.直線斜率攵=羋=tana=],a=

dr3

33°41'.軌跡如圖所示.

1-16一質(zhì)點(diǎn)在半徑為R的圓周上以恒定的速率運(yùn)動(dòng),

質(zhì)點(diǎn)由位置A運(yùn)動(dòng)到位置BQA和OB所對(duì)的圓心角為

A0.(1)試證位置A和B之間的平均加速度為

a=72(l-cosA6>)y2/(/?A^);(2)當(dāng)分別等于90。、30°、

10°和1。時(shí)，平均加速度各為多少？并對(duì)結(jié)果加以探討.

分析瞬時(shí)加速度和平均加速度的物理含義不同，它們

分別表示為"字和萬=孚.在勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中，它們的大

dr\t

小分別為?！?〈，萬=3，式中I△*可由圖(B)中的幾何關(guān)

RAr

系得到，而At可由轉(zhuǎn)過的角度AS求出.

由計(jì)算結(jié)果能清晰地看到兩者之間的關(guān)系，即瞬時(shí)加速

度是平均加速度在A—0時(shí)的極限值.

解⑴由圖(b)可看到A。=v2,故

而

所以

(2)#A0=9O°,30°,10°,1°分別代入上式，

得

以上結(jié)果說明，當(dāng)AA0時(shí),勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的平均加速

度趨近于一極限值，該值即為法向加速度2.

A

1-17質(zhì)點(diǎn)在O燈平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為r=2.0tf

+（19.0-2.0/24式中r的單位為m,用勺單位為s.求：（1）質(zhì)

點(diǎn)的軌跡方程；（2）在G=1.0s到為=2.0s時(shí)間內(nèi)的平均

速度；（3）。=1.0s時(shí)的速度和切向和法向加速度；（4）￡=

1.0s時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在處軌道的曲率半徑？

分析根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程可干脆寫出其重量式x=同8和y

從中消去參數(shù)匕即得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程.平均速度是反映

質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)位置的變更率，即可=孚，它剛好間間隔At

的大小有關(guān)，當(dāng)Ai。時(shí)，平均速度的極限即瞬時(shí)速度

。二手.切向和法向加速度是指在自然坐標(biāo)下的分矢量W和

為,前者只反映質(zhì)點(diǎn)在切線方向速度大小的變更率，即

6=半儲(chǔ)，后者只反映質(zhì)點(diǎn)速度方向的變更，它可由總加速度a

和義得到.在求得G時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和法向加速度的大小

后，可由公式4='求，

P

解（1）由參數(shù)方程

X=2.Of,y=19.0-2.0^

消去，得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：

y=19.0-0.50A2

（2）在。=1.00s到。=2.0s時(shí)間內(nèi)的平均速度

（3）質(zhì)點(diǎn)在隨意時(shí)刻的速度和加速度分別為

則八=1.00s時(shí)的速度

v（Z）|t7=2.0/40/

切向和法向加速度分別為

（4）t=l.0s質(zhì)點(diǎn)的速度大小為

貝lJp=Q=U.17m

1-18飛機(jī)以100m-s-i的速度沿程度直線飛行，在

離地面高為100m時(shí)，駕駛員要把物品空投到前方某一地面

目的處，問：（1）此時(shí)目的在飛機(jī)正下方位置的前面多遠(yuǎn)？（2）

投放物品時(shí),駕駛員看目的的視線和程度線成何角度？（3）物

品投出2.0s后,它的法向加速度和切向加速度各為多少？

分析物品空投后作平拋運(yùn)動(dòng).忽視空氣阻力的條件下,

由運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理知，物品在空中沿程度方向作勻速直線運(yùn)

動(dòng),在豎直方向作自由落體運(yùn)動(dòng),到達(dá)地面目的時(shí)，兩方向上運(yùn)

動(dòng)時(shí)間是一樣的.因此,分別列出其運(yùn)動(dòng)方程，運(yùn)用時(shí)間相等的

條件，即可求解.

此外,平拋物體在運(yùn)動(dòng)過程中只存在豎直向下的重力加

速度.為求特定時(shí)刻t時(shí)物體的切向加速度和法向加速度，只需

求出該時(shí)刻它們及重力加速度之間的夾角?；蚴?由圖可知，

在特定時(shí)刻右物體的切向加速度和程度線之間的夾角q可由

此時(shí)刻的兩速度重量以、”求出，這樣，也就可將重力加速度g

的切向和法向重量求得.

解（1）取如圖所示的坐標(biāo),物品下落時(shí)在程度和豎直方

向的運(yùn)動(dòng)方程分別為

x=vt,y=1/2gt2

飛機(jī)程度飛行速度0=100m-s-1飛機(jī)離地面的高度y

=100m,由上述兩式可得目的在飛機(jī)正下方前的間隔

（2）視線和程度線的夾角為

（3）在隨意時(shí)刻物品的速度及程度軸的夾角為

取自然坐標(biāo)，物品在拋出2s時(shí)，重力加速度的切向重量及

法向重量分別為

1-19如圖⑸所示,一小型迫擊炮架設(shè)在一斜坡的底端

O處，已知斜坡傾角為炮身及斜坡的夾角為回炮彈的出口

速度為電忽視空氣阻力.求：（1）炮彈落地點(diǎn)P及點(diǎn)。的問

隔OP;（2）欲使炮彈能垂直擊中坡面.證明。和￡必需滿意

tan^=-------并及%無關(guān).

2tana

分析這是一個(gè)斜上拋運(yùn)動(dòng)，看似簡(jiǎn)潔，但針對(duì)題目所問,

如不能敏捷運(yùn)用疊加原理，建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將運(yùn)動(dòng)分

解的話，求解起來并不簡(jiǎn)潔.現(xiàn)建立如圖⑸所示坐標(biāo)系，則炮

彈在x和y兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)均為勻減速直線運(yùn)動(dòng),其初速

度分別為VoCOS/3和為sin尸,其加速度分別為gsina和

gcosa.在此坐標(biāo)系中炮彈落地時(shí)，應(yīng)有y=0,則x=OP.如

欲使炮彈垂直擊中坡面，則應(yīng)滿意取=0,干脆列出有關(guān)運(yùn)動(dòng)

方程和速度方程，即可求解.由于本題中加速度g為恒矢

量.故第一問也可由運(yùn)動(dòng)方程的矢量式計(jì)算,即"加+；g/,

做出炮彈落地時(shí)的矢量圖［如圖(B)所示］，由圖中所示幾何關(guān)

系也可求得。尸(即圖中的r矢量).

(1)解1由分析知，炮彈在圖⑸所示坐標(biāo)系中兩個(gè)分運(yùn)

動(dòng)方程為

x=%fcosA——g*sina(1)

y=q/sin/一萬gl2cosa(2)

令y=o求得時(shí)間r后再代入式⑴得

解2做出炮彈的運(yùn)動(dòng)矢量圖，如圖(b)所示，并利用正弦定理,

有

從中消去廣后也可得到同樣結(jié)果.

(2)由分析知,如炮彈垂直擊中坡面應(yīng)滿意y=0和

=0,則

vx=00cosp-g/sina=0(3)

由(2)(3)兩式消去1后得

由此可知.只要角。和訪蔭意上式，炮彈就能垂直擊中坡面,

而及%的大小無關(guān).

探討如將炮彈的運(yùn)動(dòng)按程度和豎直兩個(gè)方向分解，求

解本題將會(huì)比擬困難，有愛好讀者不妨自己體驗(yàn)一下.

1-20始終立的雨傘，張開后其邊緣圓周的半徑為凡離

地面的高度為力,(1)當(dāng)傘繞傘柄以勻角速公旋轉(zhuǎn)時(shí)，求證水滴

沿邊緣飛出后落在地面上半徑為，=&/1+2〃蘇/g的圓周上；

(2)讀者能否由此定性設(shè)想一種草坪上或農(nóng)田澆灌用的旋轉(zhuǎn)

式灑水器的方案？

分析選定傘邊緣。處的雨滴為探討對(duì)象，當(dāng)傘以角速

度公旋轉(zhuǎn)時(shí)，雨滴將以速度。沿切線方向飛出，并作平拋運(yùn)

動(dòng).建立如圖⑸所示坐標(biāo)系，列出雨滴的運(yùn)動(dòng)方程并考慮圖中

所示幾何關(guān)系，即可求證.由此可以想像假設(shè)讓水從一個(gè)旋轉(zhuǎn)

的有很多小孔的噴頭中飛出，從不同小孔中飛出的水滴將會(huì)

落在半徑不同的圓周上,為保證勻稱噴灑對(duì)噴頭上小孔的分

布還要賜予細(xì)心的考慮.

解(1)如圖(a)所示坐標(biāo)系中，雨滴落地的運(yùn)動(dòng)方程為

x=vt=Rcot(1)

y=；=h⑵

由式⑴⑵可得爐=竺四

由圖(a)所示幾何關(guān)系得雨滴落地處圓周的半徑為

(2)常用草坪噴水器采納如圖(b)所示的球面噴頭(4=

45。)其上有大量小孔.噴頭旋轉(zhuǎn)時(shí)，水滴以初速度為從各個(gè)

小孔中噴出，并作斜上拋運(yùn)動(dòng)，通常噴頭外表根本上及草坪處

在同一程度面上.則以涌噴射的水柱射程為

為使噴頭四周的草坪能被勻稱噴灑，噴頭上的小孔數(shù)不

但很多，而且還不能勻稱分布，這是噴頭設(shè)計(jì)中的一個(gè)關(guān)鍵問

題.

1-21一足球運(yùn)發(fā)動(dòng)在正對(duì)球門前25.0m處以20.0

m?s-i的初速率罰隨意球,已知球門高為3.44m.若要在

垂直于球門的豎直平面內(nèi)將足球干脆踢進(jìn)球門，問他應(yīng)在及

地面成什么角度的范圍內(nèi)踢出足球？（足球可視為質(zhì)點(diǎn)）

分析被踢出后的足球，在空中作斜拋運(yùn)動(dòng)，其軌跡方程

可由質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程得到.由于程度間隔x已

知,球門高度又限定了在y方向的范圍，故只需將生y值代入

即可求出.

解取圖示坐標(biāo)系。燈，由運(yùn)動(dòng)方程

消去t得軌跡方程

以x=25.0m,v=20.0m-s4和3.44代

入后,可解得

71.11°>01>69.92°

27.92°>02>18.89°

如何理解上述角度的范圍？在初速確定的條件下，球擊

中球門底線或球門上緣都將對(duì)應(yīng)有兩個(gè)不同的投射傾角（如圖

所示）.假設(shè)以9>71?11°或。<18.89°踢出足球,都將因

射程缺乏而不能干脆射入球門；由于球門高度的限制收角也

并非能取71.11°及18.89。之間的任何值.當(dāng)傾角取值為

27.92°<6<69.92°時(shí)，踢出的足球?qū)⒃竭^門緣而離去,

這時(shí)球也不能射入球門.因此可取的角度范圍只能是解中的

結(jié)果.

1-22一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為K的圓周按規(guī)律5=卬-：次運(yùn)

動(dòng),％、b都是常量.⑴求t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度；⑵t為

何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于5?（3）當(dāng)加速度到達(dá)b時(shí)，質(zhì)

點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？

分析在自然坐標(biāo)中,S表示圓周上從某一點(diǎn)開場(chǎng)的曲

線坐標(biāo).由給定的運(yùn)動(dòng)方程S=s(8,對(duì)時(shí)間力求一階、二階導(dǎo)

數(shù)，即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度V和加速度的切向重量dt,而加速

度的法向重量為備=畛/R.這樣，總加速度為且=atet+

a?.至于質(zhì)點(diǎn)在1時(shí)間內(nèi)通過的路程,即為曲線坐標(biāo)的變更

量4s=sf-so.因圓周長(zhǎng)為2TUR,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)自然可求

得.

解(1)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為

其加速度的切向重量和法向重量分別為

故加速度的大小為

其方向及切線之間的夾角為

(2)要使IaI=》,由《存轉(zhuǎn)不而=人可得

(3)從仁。開場(chǎng)到仁均/b時(shí)，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為

因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為

1-23一半徑為。,5。m的飛輪在啟動(dòng)時(shí)的短時(shí)間內(nèi),

其角速度剛好間的平方成正比.在仁2.0s時(shí)測(cè)得輪緣一點(diǎn)

的速度值為4.0m-s-1.求：(1)該輪在〃=0.5s的角速

度，輪緣一點(diǎn)的切向加速度和總加速度；(2)該點(diǎn)在2.0s內(nèi)所

轉(zhuǎn)過的角度.

分析首先應(yīng)當(dāng)確定角速度的函數(shù)關(guān)系G=%人根據(jù)角

量及線量的關(guān)系由特定時(shí)刻的速度值可得相應(yīng)的角速度，從

而求出式中的比例系數(shù)左G=G(Z)確定后，留意到運(yùn)動(dòng)的角量

描繪及線量描繪的相應(yīng)關(guān)系，由運(yùn)動(dòng)學(xué)中兩類問題求解的方

法(微分法和積分法)，即可得到特定時(shí)刻的角加速度、切向加

速度和角位移.

解因公氏=匕由題意gmG得比例系數(shù)

所以co=Cd(z)=2t2

則f=o.5s時(shí)的角速度、角加速度和切向加速度分別

為

總加速度

在2.0s內(nèi)該點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的角度

1-24一質(zhì)點(diǎn)在半徑為0.10m的圓周上運(yùn)動(dòng)，其角位置

為。=2+4心式中e的單位為rad"的單位為s.（1）求在1

=2.0s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度,（2）當(dāng)切向加速

度的大小恰等于總加速度大小的一半時(shí)收值為多少？（3）t

為多少時(shí)，法向加速度和切向加速度的值相等？

分析駕馭角量及線量、角位移方程及位矢方程的對(duì)應(yīng)

關(guān)系,應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的方法即可得到.

解（1）由于夕=2+4心則角速度/=半=12r.在￡=2

dr

S時(shí)，法向加速度和切向加速度的數(shù)值分別為

⑵當(dāng)%=a/2=e4a：+a；時(shí)，有3”；即

得3二1

-2V3

此時(shí)刻的角位置為

（3）要使%二明則有

t=0.55s

1-25一無風(fēng)的下雨天,一列火車以匕=20.0m.s-1

的速度勻速前進(jìn),在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線

成75。角下降.求雨滴下落的速度功.（設(shè)下降的雨滴作勻

速運(yùn)動(dòng)）

分析這是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題.設(shè)雨滴為探討對(duì)象，地

面為靜止參考系S,火車為動(dòng)參考系S'.匕為S'相對(duì)S

的速度，外為雨滴相對(duì)S的速度，利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系即

可解.解以地面為參考系,火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為％,

雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為吃，旅客看到雨滴下落的速

度吃'為相對(duì)速度,它們之間的關(guān)系為%=%'+必（如圖所示）,

于是可得

1-26如圖⑸所示，一汽車在雨中沿直線行駛，其速率

為匕，下落雨滴的速度方向偏于豎直方向之前。角,速率為

吃’，若車后有一長(zhǎng)方形物體，問車速由為多大時(shí)，此物體正好

不會(huì)被雨水淋濕？

分析這也是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題.可視雨點(diǎn)為探討對(duì)

象，地面為靜參考系S,汽車為動(dòng)參考系S'.如圖（a）所示，要

使物體不被淋濕,在車上視察雨點(diǎn)下落的方向（即雨點(diǎn)相對(duì)于

汽車的運(yùn)動(dòng)速度%'的方向）應(yīng)滿意aNarctang.再由相對(duì)速

度的矢量關(guān)系《=%-必，即可求出所需車速匕.

解由0；=%-q［圖（b）］,有

而要使a之a(chǎn)rctanY，則

h

1-27一人能在靜水中以1.1。m?s-1的速度劃船前

進(jìn).今欲橫渡一寬為1.0。X103m、水流速度為0.55m?s

-1的大河.（1）他若要從動(dòng)身點(diǎn)橫渡該河而到達(dá)正對(duì)岸的一

點(diǎn),那么應(yīng)如何確定劃行方向？到達(dá)正對(duì)岸需多少時(shí)間？⑵

假設(shè)盼望用最短的時(shí)間過河，應(yīng)如何確定劃行方向？船到達(dá)

對(duì)岸的位置在什么地方？

分析船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間是由船相對(duì)于岸的速度它確

定的.由于水流速度〃的存在，吸船在靜水中劃行的速度/

之間有0=“+/（如圖所示）.若要使船到達(dá)正對(duì)岸，則必需

使端正對(duì)岸方向；在劃速確定的條件下，若要用最短時(shí)間過

河，則必需使0有極大值.

解⑴由-〃+/可知。=arcsin二，則船到達(dá)正對(duì)岸

v

所需時(shí)間為

（2）由于o="cosa,在劃速/確定的條件下，只有當(dāng)Q=

0時(shí)，V最大（即）,此時(shí)，船過河時(shí)間，=d//,船到

達(dá)距正對(duì)岸為/的下游處，且有

1-28—質(zhì)點(diǎn)相對(duì)視察者。運(yùn)動(dòng)，在隨意時(shí)刻廣，其位

置為x=vt,y=1/2,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物線.若另一

視察者以速率P沿x軸正向相對(duì)于。運(yùn)動(dòng).試問質(zhì)點(diǎn)相

對(duì)的軌跡和加速度如何？

分析該問題涉和到運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性.如何將已知質(zhì)點(diǎn)相

對(duì)于視察者。的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換到相對(duì)于視察者的運(yùn)動(dòng)中去,

其本質(zhì)就是進(jìn)展坐標(biāo)變換，將系。中一動(dòng)點(diǎn)(x,0變換至系

?！械狞c(diǎn)(4).由于視察者O,相對(duì)于視察者。作勻

速運(yùn)動(dòng)，因此，該坐標(biāo)變換是線性的.

解取。燈和分別為視察者。和視察者

所在的坐標(biāo)系，且使Ox和?！瑑奢S平行,在1=0時(shí),

兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合.由坐標(biāo)變換得

x'=x-vt=vt-vt=0

y'=y=1/2gt2

2

，JA/

力口速度Ci=a=-^-=g

yat

由此可見,動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于系O'是在，方向作勻變速直線運(yùn)

動(dòng).動(dòng)點(diǎn)在兩坐標(biāo)系中加速度一樣，這也正是伽利略變換的必

定結(jié)果.

第二章牛頓定律

2-1如圖(a)所示,質(zhì)量為m的物體用平行于斜面的細(xì)

線聯(lián)結(jié)置于光滑的斜面上，若斜面對(duì)左方作加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體

剛脫離斜面時(shí)，它的加速度的大小為()

(A)^sin6(B)^cos0(C)Jan0(D)^cot0

分析及解當(dāng)物體分開斜面瞬間，斜面對(duì)物體的支持力

消逝為零，物體在繩子拉力FT(其方向仍可認(rèn)為平行于斜面)

和重力作用下產(chǎn)生平行程度面對(duì)左的加速度區(qū)如圖(b)所示,

由其可解得合外力為m/ote，故選(D).求解的關(guān)鍵是正確分

析物體剛分開斜面瞬間的物體受力狀況和狀態(tài)特征.

2-2用程度力為把一個(gè)物體壓著靠在粗糙的豎直墻

面上保持靜止.當(dāng)后漸漸增大時(shí),物體所受的靜摩擦力E的大

小()

(A)不為零，但保持不變

(B)隨質(zhì)成正比地增大

(C)開場(chǎng)隨圖增大，到達(dá)某一最大值后，就保持不變

(D)無法確定

分析及解及滑動(dòng)摩擦力不同的是，靜摩擦力可在零及

最大值〃為范圍內(nèi)取值.當(dāng)歷增加時(shí)，靜摩擦力可取的最大值

成正比增加，但詳細(xì)大小則取決于被作用物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).由

題意知，物體始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，故靜摩擦力及重力大小相等,

方向相反，并保持不變，故選(A).

2-3一段路面程度的馬路，轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為用汽車輪

胎及路面間的摩擦因數(shù)為〃，要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑，汽

車在該處的行駛速率()

(A)不得小于斶(B)必需等于阿

(C)不得大于而(D)還應(yīng)由汽車的質(zhì)量m

確定

分析及解由題意知，汽車應(yīng)在程度面內(nèi)作勻速率圓周

運(yùn)動(dòng)，為保證汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)不側(cè)向打滑，所需向心力只能由路面

及輪胎間的靜摩擦力供應(yīng)，可以供應(yīng)的最大向心力應(yīng)為

〃為.由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為。=〃砧.因此只

要汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的實(shí)際速率不大于此值，均能保證不側(cè)向打

滑.應(yīng)選(C).

2-4一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑，在下滑

過程中，則()

(A)它的加速度方向恒久指向圓心，其速率保持不變

(B)它受到的軌道的作用力的大小不斷增加

(C)它受到的合外力大小變更，方向恒久指向圓心

(D)它受到的合外力大小不變，其速率不斷增加

分析及解由圖可知，物體在下滑過程中受到大小和方

向不變的重力以和時(shí)刻指向圓軌道中心的軌道支持力圖作用,

其合外力方向并非指向圓心，其大小和方向均及物體所在位

置有關(guān).重力的切向重量偽使物體的速率將會(huì)不斷

增加(由機(jī)械能守恒亦可推斷)，則物體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力(又

稱法向力)將不斷增大，由軌道法向方向上的動(dòng)力學(xué)方程

7,2

F-^sin^=m—可推斷，隨9角的不斷增大過程，軌道支持

vA

力匹也將不斷增大,由此可見應(yīng)選(B).

2-5圖(a)示系統(tǒng)置于以a=1/4g的加速度上升的升

降機(jī)內(nèi),A、B兩物體質(zhì)量一樣均為A所在的桌面是程度的,

繩子和定滑輪質(zhì)量均不計(jì),若忽視滑輪軸上和桌面上的摩擦，

并不計(jì)空氣阻力，則繩中張力為()

(A)58mg(B)12mg(C)mg(D)2mg

分析及解本題可考慮對(duì)A、B兩物體加上慣性力后，以

電梯這個(gè)非慣性參考系進(jìn)展求解.此時(shí)A、B兩物體受力狀

況如圖(b)所示,圖中，為A、B兩物體相對(duì)電梯的加速

度，初a'為慣性力.對(duì)A、B兩物體應(yīng)用牛頓第二定律，可解

得產(chǎn)T=5/8故選(A).

探討對(duì)于習(xí)題2-5這種類型的物理問題，往往從非慣

性參考系(本題為電梯)視察到的運(yùn)動(dòng)圖像較為明確，但由于牛

頓定律只適用于慣性參考系，故從非慣性參考系求解力學(xué)問

題時(shí)，必需對(duì)物體加上一個(gè)虛擬的慣性力.如以地面為慣性參

考系求解，則兩物體的加速度期和場(chǎng)均應(yīng)對(duì)地而言，本題中

。和期的大小及方向均不一樣.其中aA應(yīng)斜向上.對(duì)。、

而、a和a'之間還要用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求解過程較繁.有

愛好的讀者不妨自己嘗試一下.

2-6圖示一斜面,傾角為q底邊AB長(zhǎng)為/=2.1m,質(zhì)

量為m的物體從題2-6圖斜面頂端由靜止開場(chǎng)向下滑動(dòng)，斜

面的摩擦因數(shù)為〃=0.14,試問，當(dāng)Q為何值時(shí),物體在斜面上

下滑的時(shí)間最短？其數(shù)值為多少？

分析動(dòng)力學(xué)問題一般分為兩類：(i)已知物體受力求其

運(yùn)動(dòng)狀況；(2)已知物體的運(yùn)動(dòng)狀況來分析其所受的力.當(dāng)然,

在一個(gè)詳細(xì)題目中,這兩類問題并無截然的界限，且都是以加

速度作為中介，把動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律聯(lián)絡(luò)起來.本題關(guān)

鍵在列出動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程后，解出傾角剛好間的函數(shù)關(guān)

系然后運(yùn)用對(duì)￡求極值的方法即可得出數(shù)值來.

解取沿斜面為坐標(biāo)軸。工原點(diǎn)。位于斜面頂點(diǎn)，則由

牛頓第二定律有fngsina-m^/zcostx=ma(1)

又物體在斜面上作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，故有

2/________

則

gcosa(sina-//cosa)

⑵

為使下滑的時(shí)間最短，可令￥由式⑵有

da

則可得tan2a=—■-,CL—49°

4

此時(shí)Tiin'ds

2-7工地上有一吊車,將甲、乙兩塊混凝土預(yù)制板吊起

送至高空.甲塊質(zhì)量為初1=2.00XIO?kg,乙塊質(zhì)量為52

=1.00X102kg.設(shè)吊車、框架和鋼絲繩的質(zhì)量不計(jì).試求

下述兩種狀況下,鋼絲繩所受的張力以和乙塊對(duì)甲塊的作用

力：（1）兩物塊以10.0m-s-2的加速度上升；（2）兩物塊

以1.0m-s,的加速度上升,從本題的結(jié)果，你能體會(huì)到起

吊重物時(shí)必需緩慢加速的道理嗎？

分析預(yù)制板、吊車框架、鋼絲等可視為一組物體.處

理動(dòng)力學(xué)問題通常采納“隔離體”的方法，分析物體所受的

各種作用力，在所選定的慣性系中列出它們各自的動(dòng)力學(xué)方

程.根據(jù)連接體中物體的多少可列出相應(yīng)數(shù)目的方程式.結(jié)

合各物體之間的互相作用和聯(lián)絡(luò)，可解決物體的運(yùn)動(dòng)或互相

作用力.

解按題意，可分別取吊車（含甲、乙）和乙作為隔離體，畫

示力圖，并取豎直向上為。軸正方向（如圖所示）.當(dāng)框架以加

速度a上升時(shí)，有

戶T-(ml+m2)g=(mi+m2)a(1)

/2-m2g=m2a(2)

解上述方程，得

FT=(nix+m2)(g+a)⑶

&2=他(g+a)(4)

（1）當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a=10m-s-2上升時(shí)，由式

⑶可得繩所受張力的值為

3

FT=5.94X10N

乙對(duì)甲的作用力為

F'N2=-FN2=-m2（g+a）=-1.98X1CPN

（2）三整個(gè)裝置以加速度a=1m-s-2上升時(shí)，得

繩張力的值為

3

FT=3.24X10N

此時(shí),乙對(duì)甲的作用力則為

N2=-1.08X103N

由上述計(jì)算可見，在起吊一樣重量的物體時(shí)，由于起吊加

速度不同,繩中所受張力也不同，加速度大，繩中張力也大.因

此，起吊重物時(shí)必需緩慢加速，以確保起吊過程的平安.

2-8如圖(a)所示，已知兩物體A、B的質(zhì)量均為m=

3.0kg物體A以加速度a=1.0m-s-2運(yùn)動(dòng),求物體B及

桌面間的摩擦力.(滑輪及連接繩的質(zhì)量不計(jì))

分析該題為連接體問題，同樣可用隔離體法求解.分析

時(shí)應(yīng)留意到繩中張力大小到處相等是有條件的，即必需在繩

的質(zhì)量和伸長(zhǎng)可忽視、滑輪及繩之間的摩擦不計(jì)的前提下成

立.同時(shí)也要留意到張力方向是不同的.

解分別對(duì)物體和滑輪作受力分析[圖(b)].由牛頓定

律分別對(duì)物體A、B和滑輪列動(dòng)力學(xué)方程，有

和g-FT=mRa(1)

FT1=mB父(2)

FT-2/i=0(3)

考慮到皿\=SB=m,FT—F'T>FTi=FTI

=2a,可聯(lián)立解得物體及桌面的摩擦力

探討動(dòng)力學(xué)問題的一般解題步驟可分為：(1)分析題意,

確定探討對(duì)象，分析受力，選定坐標(biāo)；⑵根據(jù)物理的定理和定

律列出原始方程組；(3)解方程組，得出文字結(jié)果；(4)核對(duì)量

綱，再代入數(shù)據(jù)，計(jì)算出結(jié)果來.

2-9質(zhì)量為的長(zhǎng)平板A以速度，在光滑平面上

作直線運(yùn)動(dòng),現(xiàn)將質(zhì)量為初的木塊B輕輕平穩(wěn)地放在長(zhǎng)平板

上，板及木塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，求木塊在長(zhǎng)平板上滑行多

遠(yuǎn)才能及板獲得共同速度？

分析當(dāng)木塊B平穩(wěn)地輕輕放至運(yùn)動(dòng)著的平板A上時(shí)，

木塊的初速度可視為零,由于它及平板之間速度的差異而存

在滑動(dòng)摩擦力，該力將變更它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).根據(jù)牛頓定律可

得到它們各自相對(duì)地面的加速度.換以平板為參考系來分析，

此時(shí),木塊以初速度及平板運(yùn)動(dòng)速率大小相等、方向相反)

作勻減速運(yùn)動(dòng)，其加速度為相對(duì)加速度,按運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可解

得.

該題也可應(yīng)用第三章所講解并描繪的系統(tǒng)的動(dòng)能定理來

解.將平板及木塊作為系統(tǒng)，該系統(tǒng)的動(dòng)能由平板原有的動(dòng)能

變?yōu)槟緣K和平板一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，而它們的共同速度可根據(jù)

動(dòng)量定理求得.又因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功,根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)

能定理，摩擦力的功應(yīng)等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量.木塊相對(duì)平板挪

動(dòng)的間隔即可求出.

解1以地面為參考系，在摩擦力片的作用下,

根據(jù)牛頓定律分別對(duì)木塊、平板列出動(dòng)力學(xué)方程

F[=/umg=ma、

Ff=~F[=in3.2

團(tuán)和念分別是木塊和木板相對(duì)地面參考系的加速

度.若以木板為參考系，木塊相對(duì)平板的加速度H+的，

木塊相對(duì)平板以初速度-?！鲃驕p速運(yùn)動(dòng)直至最終停頓.由

運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有

-v'2=2as

由上述各式可得木塊相對(duì)于平板所挪動(dòng)的間隔為

解2以木塊和平板為系統(tǒng)，它們之間一對(duì)摩擦力作的總

功為

W=F[(s+/-Ki=pmgs

式中,為平板相對(duì)地面挪動(dòng)的間隔.

由于系統(tǒng)在程度方向上不受外力，當(dāng)木塊放至平板上時(shí),

根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有

m'v'=(m,+m)/

由系統(tǒng)的動(dòng)能定理，有

由上述各式可得

2-10如圖⑸所示,在一只半徑為R的半球形碗內(nèi)，有

一粒質(zhì)量為功的小鋼球，當(dāng)小球以角速度g在程度面內(nèi)沿碗

內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它距碗底有多高？

分析維持鋼球在程度面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),必需使

鋼球受到一及向心加速度相對(duì)應(yīng)的力晌心力),而該力是由碗

內(nèi)壁對(duì)球的支持力為的分力來供應(yīng)的,由于支持力為始終

垂直于碗內(nèi)壁，所以支持力的大小和方向是隨G而變的.取圖

示。燈坐標(biāo)，列出動(dòng)力學(xué)方程，即可求解鋼球距碗底的高度.

解取鋼球?yàn)楦綦x體，其受力分析如圖⑹所示.在圖示坐

標(biāo)中列動(dòng)力學(xué)方程

Fvsin0=man=njRcousin0(1)

Fvcos^=mg⑵

“(I)

且有cost/=--------

R

（3）

由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為

可見，力隨s的變更而變更.

2-11火車轉(zhuǎn)彎時(shí)須要較大的向心力，假設(shè)兩條鐵軌都

在同一程度面內(nèi)（內(nèi)軌、外軌等高）,這個(gè)向心力只能由外軌供

應(yīng)，也就是說外軌會(huì)受到車輪對(duì)它很大的向外側(cè)壓力,這是很

危急的.因此，對(duì)應(yīng)于火車的速率和轉(zhuǎn)彎處的曲率半徑，必需使

外軌適當(dāng)?shù)馗叱鰞?nèi)軌，稱為外軌超高.現(xiàn)有一質(zhì)量為m的火車,

以速率p沿半徑為火的圓弧軌道轉(zhuǎn)彎，已知路面傾角為a試

求：（1）在此條件下，火車速率均為多大時(shí)，才能使車輪對(duì)鐵軌

內(nèi)外軌的側(cè)壓力均為零？（2）假設(shè)火車的速率PW%,則車輪

對(duì)鐵軌的側(cè)壓力為多少？

分析如題所述，外軌超高的目的欲使火車轉(zhuǎn)彎的所需

向心力僅由軌道支持力的程度重量為sin。供應(yīng)（式中9角為

路面傾角）.從而不會(huì)對(duì)內(nèi)外軌產(chǎn)生擠壓.及其對(duì)應(yīng)的是火車

轉(zhuǎn)彎時(shí)必需以規(guī)定的速率％行駛.當(dāng)火車行駛速率日為時(shí)，

則會(huì)產(chǎn)生兩種狀況：如圖所示，如%時(shí)，外軌將會(huì)對(duì)車輪產(chǎn)

生斜向內(nèi)的側(cè)壓力為，以補(bǔ)償原向心力的缺乏，如［Y%時(shí)，則

內(nèi)軌對(duì)車輪產(chǎn)生斜向外的側(cè)壓力用，以抵消多余的向心力，無

論哪種狀況火車都將對(duì)外軌或內(nèi)軌產(chǎn)生擠壓.由此可知，鐵路

部門為什么會(huì)在每個(gè)鐵軌的轉(zhuǎn)彎處規(guī)定時(shí)速,從而確保行車

平安.

解（1）以火車為探討對(duì)象，建立如圖所示坐標(biāo)系.據(jù)分

析,由牛頓定律有

m

FNsinff=~