2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與信息論基礎(chǔ)試卷一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15題，45分）數(shù)學(xué)抽象是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，下列哪項(xiàng)不屬于數(shù)學(xué)抽象的范疇？A.從具體函數(shù)圖像中提煉單調(diào)性定義B.用集合符號(hào)表示不等式的解集C.計(jì)算三角形面積時(shí)使用海倫公式D.將實(shí)際問(wèn)題中的變量關(guān)系抽象為函數(shù)模型已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，集合(B={x|x^2-4x+3=0})，則(A\capB=)A.({1})B.({2})C.({1,2,3})D.(\varnothing)函數(shù)(f(x)=\frac{\ln(x-1)}{\sqrt{4-x^2}})的定義域是A.((1,2))B.([1,2))C.((1,2]\cup[2,+\infty))D.((-\infty,-2)\cup(1,2))在等差數(shù)列({a_n})中，(a_1=2)，公差(d=3)，則前5項(xiàng)和(S_5=)A.35B.40C.45D.50圓(C:(x-2)^2+(y+1)^2=9)的圓心坐標(biāo)和半徑分別是A.((-2,1))，3B.((2,-1))，3C.((-2,1))，9D.((2,-1))，9信息論的創(chuàng)始人是A.馮·諾依曼B.香農(nóng)C.圖靈D.維納一個(gè)離散無(wú)記憶信源有4個(gè)符號(hào)，概率分布為(P(x_1)=0.5)，(P(x_2)=0.25)，(P(x_3)=0.125)，(P(x_4)=0.125)，其信源熵(H(X)=)A.1.75比特B.2比特C.2.25比特D.3比特信道容量是指A.信道傳輸信息的最大速率B.信道能夠無(wú)差錯(cuò)傳輸?shù)淖畲笮畔⒘緾.信道中信號(hào)的功率與噪聲功率之比D.單位時(shí)間內(nèi)傳輸?shù)拇a元數(shù)若函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)，則(f'(1)=)A.-3B.-1C.0D.3在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(1,2,3))與點(diǎn)(B(4,5,6))之間的距離是A.(3\sqrt{3})B.(\sqrt{27})C.(3\sqrt{2})D.(\sqrt{18})下列關(guān)于互信息(I(X;Y))的說(shuō)法正確的是A.(I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY))B.互信息可以為負(fù)數(shù)C.當(dāng)(X)與(Y)獨(dú)立時(shí)，(I(X;Y)=1)D.(I(X;Y)=H(X|Y)-H(X))已知向量(\vec{a}=(2,-1))，(\vec=(m,3))，若(\vec{a}\perp\vec)，則(m=)A.(-\frac{3}{2})B.(\frac{3}{2})C.-6D.6函數(shù)(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3}))的最小正周期是A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)對(duì)信源進(jìn)行無(wú)失真編碼時(shí)，平均碼長(zhǎng)(L)與信源熵(H(X))的關(guān)系是A.(L<H(X))B.(L=H(X))C.(L\geqH(X))D.(L)與(H(X))無(wú)關(guān)在二項(xiàng)式((x+2)^5)的展開式中，(x^3)的系數(shù)是A.40B.80C.10D.20二、填空題（每題4分，共10題，40分）函數(shù)(f(x)=x^2-4x+5)的最小值是________。若直線(y=kx+3)與圓(x^2+y^2=1)相切，則(k=)________。已知等比數(shù)列({a_n})中，(a_1=1)，公比(q=2)，則(a_5=)________。某射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為0.8，獨(dú)立射擊3次，恰好命中2次的概率是________。信息論中，衡量信源不確定性的物理量是________，單位為________。離散信源熵的計(jì)算公式為(H(X)=)，當(dāng)信源符號(hào)等概率分布時(shí)，熵達(dá)到。若(\tan\alpha=2)，則(\sin2\alpha=)________。曲線(y=x^3-2x+1)在點(diǎn)((1,0))處的切線方程是________。信道容量的香農(nóng)公式為(C=)，其中(W)表示，(S/N)表示________。已知(f(x)=\log_2(x+1))，則(f^{-1}(3)=)________。三、解答題（共6題，共65分）1.（10分）已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2-9x+1)，求：（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)在區(qū)間([-2,4])上的最大值和最小值。2.（10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，已知(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{4})。（1）求邊(c)的長(zhǎng)度；（2）求(\sinA)的值。3.（10分）已知圓(C_1:x^2+y^2-2x-4y+1=0)與圓(C_2:x^2+y^2+4x-5=0)。（1）判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）求兩圓公共弦所在直線的方程。4.（10分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為20元，售價(jià)為(x)元（(20<x<100)），且銷售量(q)（件）與售價(jià)(x)的關(guān)系為(q=1000-10x)。（1）寫出利潤(rùn)(L(x))關(guān)于售價(jià)(x)的函數(shù)關(guān)系式；（2）售價(jià)定為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？5.（15分）（1）某離散信源有3個(gè)符號(hào)(x_1,x_2,x_3)，概率分布為(P(x_1)=0.5)，(P(x_2)=0.3)，(P(x_3)=0.2)，計(jì)算該信源的熵(H(X))。（2）對(duì)該信源進(jìn)行霍夫曼編碼，寫出編碼過(guò)程并計(jì)算平均碼長(zhǎng)(L)和編碼效率(\eta)。（3）若信道容量為2比特/符號(hào)，判斷該信源能否通過(guò)此信道實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏敚⒄f(shuō)明理由。6.（10分）已知隨機(jī)變量(X)的分布列為：|(X)|0|1|2||--------|---|---|---||(P)|0.2|0.5|0.3|求：（1）(E(X))；（2）(D(X))。四、綜合應(yīng)用題（共2題，共50分）1.（25分）數(shù)學(xué)建模與信息傳輸綜合問(wèn)題某通信公司設(shè)計(jì)了一種二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)，信源發(fā)出“0”和“1”兩種符號(hào)，概率分別為0.6和0.4。信號(hào)通過(guò)信道傳輸時(shí)，“0”錯(cuò)傳為“1”的概率為0.1，“1”錯(cuò)傳為“0”的概率為0.2。接收端收到符號(hào)后進(jìn)行解碼，采用最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則。（1）求信源熵(H(X))；（2）寫出信道轉(zhuǎn)移概率矩陣；（3）計(jì)算接收端符號(hào)的概率分布(P(Y))；（4）若接收端收到符號(hào)“0”，判斷發(fā)送端最可能發(fā)送的符號(hào)，并說(shuō)明理由；（5）若該系統(tǒng)每天傳輸(10^6)個(gè)符號(hào)，理論上每天傳輸?shù)男畔⒘渴嵌嗌俦忍兀?.（25分）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在信息壓縮中的應(yīng)用圖像壓縮技術(shù)中，某像素點(diǎn)的灰度值(f(x))與壓縮參數(shù)(x)的關(guān)系滿足函數(shù)(f(x)=\frac{1}{2}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x+1)（(x\in[0,3])）。（1）求(f(x))的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若灰度值的可接受范圍為([1,5])，求壓縮參數(shù)(x)的取值范圍；（3）計(jì)算該函數(shù)在區(qū)間([0,3])上的平均值，并說(shuō)明其在圖像壓縮中的物理意義。五、證明題（共1題，15分）證明