第12章

全等三角形12.4逆命題和逆定理3.角平分線

知識關(guān)聯(lián)探究與應(yīng)用

課堂小結(jié)與檢測知識關(guān)聯(lián)角平分線的定義是什么？如果一條射線平分已知角，那么該射線是已知角的平分線.則射線OP是∠AOB的平分線.AOBP1如圖，∠1=∠2=∠AOB,122

【探究1】角平分線的性質(zhì)定理【猜想】探究與應(yīng)用猜想：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上任意一點(diǎn)，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E.將∠AOB沿OC對折，我們發(fā)現(xiàn)PD與PE完全重合.

【探究1】角平分線的性質(zhì)定理【驗(yàn)證】探究與應(yīng)用已知:如圖,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P是OC上的任意一點(diǎn)，PD丄OA,PE丄OB,垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E.求證：PD=PE.DPACBEO你能寫出完整的證明過程嗎？分析：圖中有Rt△PDO和Rt△PEO，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得PD=PE.

【探究1】角平分線的性質(zhì)定理探究與應(yīng)用證明:∵OC平分∠AOB,P是OC上一點(diǎn)，∴∠DOP=∠BOP.∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠ODP=∠OEP=90°.在△OPD和△OPE中，∠DOP=∠EOP,∠ODP=∠OEP,

OP=OP,∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD＝PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.DPACBEO

【探究1】角平分線的性質(zhì)定理

【知識要點(diǎn)】探究與應(yīng)用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．DPACBEO關(guān)鍵詞：(1)點(diǎn)一定要在角平分線上；(2)點(diǎn)到角兩邊的距離是指點(diǎn)到角兩邊垂線段的長度.作用：角平分線的性質(zhì)可用來證明兩條線段相等．幾何語言∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E,∴PD＝PE.點(diǎn)在角平分線上距離（線段）相等

【探究2】角平分線的判定定理【探索】探究與應(yīng)用寫出該性質(zhì)定理與它的逆命題的條件和結(jié)論，你有什么發(fā)現(xiàn)？條件結(jié)論性質(zhì)定理逆命題一個(gè)點(diǎn)在角的平分線上這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上這個(gè)逆命題是否是一個(gè)真命題？你能證明嗎？角平分線的性質(zhì)定理的條件和結(jié)論反過來會有什么結(jié)果呢？

【探究2】角平分線的判定定理探究與應(yīng)用【驗(yàn)證】已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，PD=PE.

ABOPDE求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.Rt△OPD≌Rt△OPE直角邊:斜邊:PD=PE作射線OPOP=OP分析:要證明點(diǎn)P在∠AOB平分線上∠AOP=∠BOP

【探究2】角平分線的判定定理探究與應(yīng)用證明：過點(diǎn)O、P作射線OP.∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL),∴∠DOP=∠EOP(全等三角形的對應(yīng)角相等).∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.BADOPE

【探究2】角平分線的判定定理探究與應(yīng)用

【知識要點(diǎn)】幾何語言:∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．作用：可以證明兩個(gè)角相等或一條射線是角的平分線．ABOPDE點(diǎn)到角兩邊的距離相等點(diǎn)在角的平分線上點(diǎn)撥：要證明三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，只需證明其中兩條角平分線的交點(diǎn)一定在第三條角平分線上就可以了.其思路可表示如下：

【探究3】三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)探究與應(yīng)用

【試一試】作出△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線，你有什么發(fā)現(xiàn)？A

C

O

I

H

如何證明？G發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)．B

【探究3】三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)探究與應(yīng)用證明：過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC,垂足分別為D、E、F.∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上,∴PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）.同理PE=PF.∴PD=PF.∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上.ABCPEDFMN已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P也在∠BAC的平分線上.

【探究3】三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)

【應(yīng)用】探究與應(yīng)用例1

如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．證明：過點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.GHM∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC,∴FG＝FM.又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC,∴FM＝FH,∴FG＝FH,∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.

【探究3】三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)探究與應(yīng)用例2

如圖，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且BD＝CD，BE＝CF．

求證：AD平分∠BAC．解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°．在Rt△BED和Rt△CFD中，BD＝CD，BE＝CF,∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴DE＝DF．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC．

課堂小結(jié)課堂小結(jié)與檢測角平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.三角形的三條角平分線交于其內(nèi)部一點(diǎn)

達(dá)標(biāo)檢測課堂小結(jié)與檢測1.如圖,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分別是E、

F,DE=DF,∠EDB=60°,則∠EBF=

，BE=

．60°BFABCDEF

達(dá)標(biāo)檢測課堂小結(jié)與檢測2.如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B.下列結(jié)論中不一定成立的是()A．PA＝PBB．PO平分∠APBC．OA＝OBD．AB垂直平分OPD

達(dá)標(biāo)檢測課堂小結(jié)與檢測3.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上,BD=DF.求證：CF=EB.證明：∵AD平分∠CAB,DE⊥AB，∠C＝90°,

∴CD＝DE(角平分線的性質(zhì)定理).

在Rt△CDF和Rt△EDB中,

CD=ED,

DF=DB

,

∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.CFAEDB

達(dá)標(biāo)檢測課