2025年下學期高中數(shù)學規(guī)模化技術(shù)應用試卷一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）在幾何畫板中繪制函數(shù)$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的圖像時，通過拖動滑塊改變參數(shù)$\omega$的值，觀察函數(shù)周期的變化規(guī)律。若將$\omega$從2調(diào)整為3，則函數(shù)的最小正周期將（）A.增大$\frac{\pi}{3}$B.減小$\frac{\pi}{3}$C.增大$\pi$D.減小$\pi$某學校使用智能測評系統(tǒng)分析學生數(shù)學成績，系統(tǒng)通過大數(shù)據(jù)算法生成個性化錯題集。已知高一（1）班50名學生在三角函數(shù)單元測試中的得分服從正態(tài)分布$N(75,10^2)$，則以下說法正確的是（）A.成績在85分以上的學生約有16人B.系統(tǒng)推薦的錯題集中，三角函數(shù)圖像變換類題目占比最高C.若將分數(shù)轉(zhuǎn)化為標準分$Z=\frac{X-75}{10}$，則$Z$服從$N(0,1)$分布D.學生甲的原始分85分與學生乙的原始分65分在標準分體系中相差2個標準差在虛擬現(xiàn)實（VR）立體幾何實驗課中，學生觀察正四面體的動態(tài)旋轉(zhuǎn)過程。若該正四面體的棱長為2，則其外接球體積與內(nèi)切球體積的比值為（）A.3:1B.9:1C.27:1D.81:1使用Python編程計算定積分$\int_0^1x^2e^xdx$時，下列代碼片段正確的是（）A.importnumpyasnp;egrate.quad(lambdax:x**2*np.exp(x),0,1)B.fromscipyimportintegrate;integrate.quad(lambdax:x**2*np.exp(x),0,1)C.importmath;egrate(lambdax:x**2*math.exp(x),0,1)D.fromsympyimport*;integrate(x**2*exp(x),(x,0,1))某數(shù)學實驗室通過傳感器收集單擺運動數(shù)據(jù)，得到周期$T$與擺長$l$的關(guān)系圖像。若圖像呈現(xiàn)冪函數(shù)$T=kl^b$的特征，通過最小二乘法擬合得到$k=2.01$，$b=0.498$，則該實驗驗證的物理公式應為（）A.$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$B.$T=2\pi\sqrt{\frac{g}{l}}$C.$T=\pi\sqrt{\frac{2l}{g}}$D.$T=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{l}{g}}$在互動式概率實驗中，學生通過模擬擲骰子游戲驗證大數(shù)定律。若連續(xù)擲一枚均勻骰子$n$次，記錄出現(xiàn)點數(shù)為6的頻率$f(n)$，則隨著$n$增大，以下說法錯誤的是（）A.$f(n)$會穩(wěn)定在$\frac{1}{6}$附近B.當$n=10000$時，$f(n)$與$\frac{1}{6}$的偏差小于0.01的概率大于95%C.若同時模擬100組實驗，則95%的實驗曲線會落入置信區(qū)間$[\frac{1}{6}-0.02,\frac{1}{6}+0.02]$D.增加每次實驗的骰子數(shù)量會使頻率收斂速度顯著提升某學校使用AR技術(shù)演示圓錐曲線的形成過程：平面截圓錐面時，改變截面與軸的夾角$\theta$。若圓錐母線與軸的夾角為30°，則當$\theta$為多少度時形成雙曲線（）A.20°B.30°C.45°D.60°在數(shù)學建模平臺中，學生對某城市地鐵客流量進行預測分析，建立線性回歸模型$y=bx+a$。通過平臺計算得到相關(guān)系數(shù)$r=0.85$，則下列結(jié)論正確的是（）A.客流量與時間呈正相關(guān)，且相關(guān)性較強B.回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心$(\bar{x},\bar{y})$C.若時間變量$x$增加1個單位，客流量$y$平均增加$b$個單位D.以上說法均正確使用動態(tài)幾何軟件探究橢圓性質(zhì)時，設定$F_1,F_2$為橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的焦點，$P$為橢圓上動點。拖動點$P$觀察$\trianglePF_1F_2$的面積變化，其最大值為（）A.12B.24C.36D.48在區(qū)塊鏈數(shù)學教學系統(tǒng)中，學生完成作業(yè)的時間記錄形成哈希值。已知某學生連續(xù)5天的作業(yè)耗時（分鐘）為：45,52,48,55,60，系統(tǒng)計算的方差哈希值對應的數(shù)據(jù)特征是（）A.極差15B.標準差$\sqrt{26.8}$C.中位數(shù)52D.平均絕對偏差6.4在數(shù)學實驗室中，通過3D打印技術(shù)制作牟合方蓋模型。該模型由兩個半徑為$a$的圓柱垂直相交而成，則其體積為（）A.$\frac{16}{3}a^3$B.$8a^3-\frac{16}{3}a^3$C.$\frac{32}{3}a^3$D.$2\pia^3-\frac{16}{3}a^3$某智能輔導系統(tǒng)根據(jù)學生答題數(shù)據(jù)生成能力雷達圖，包含"抽象概括""運算求解""空間想象""數(shù)據(jù)處理""創(chuàng)新應用"五個維度。若某學生在"空間想象"維度的標準分為1.2，其他維度均為0.5，則其綜合能力向量在空間想象方向的投影為（）A.1.2B.$\frac{1.2}{\sqrt{5}}$C.$\sqrt{1.2^2+0.5^2+0.5^2+0.5^2+0.5^2}$D.$\frac{1.2+0.5\times4}{5}$二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）使用Excel進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計時，對A1:A100區(qū)域的成績數(shù)據(jù)進行排名，應使用的函數(shù)是_______（填寫函數(shù)名稱）。在數(shù)學實驗課上，學生用傳感器測量彈簧振子的位移數(shù)據(jù)，得到函數(shù)$x(t)=A\sin(\omegat+\varphi)$，若傳感器采樣頻率為100Hz，要完整記錄周期為0.5秒的振動，至少需要采集_______個周期的數(shù)據(jù)。某虛擬現(xiàn)實課堂中，學生在球坐標系下繪制曲面$\rho=2\sin\theta\cos\varphi$，該曲面在直角坐標系下的方程為_______。在編程解決"旅行商問題"時，采用貪心算法得到的路徑總距離與動態(tài)規(guī)劃算法得到的最優(yōu)解的比值，稱為_______，該值越_______（填"大"或"小"）說明近似效果越好。三、解答題（共6小題，共70分）（10分）在幾何畫板中構(gòu)建動態(tài)函數(shù)圖像：（1）繪制函數(shù)$f(x)=x^3-3x$的圖像，并標記極值點坐標；（2）通過構(gòu)造切線工具，在區(qū)間$(-2,2)$內(nèi)任取一點$P(a,f(a))$，繪制曲線在點$P$處的切線；（3）拖動點$P$觀察切線與曲線交點個數(shù)的變化，寫出切線與曲線有三個不同交點時$a$的取值范圍。（12分）某學校使用智能作業(yè)系統(tǒng)布置分層作業(yè)，系統(tǒng)根據(jù)學生歷史數(shù)據(jù)自動推薦A、B、C三個難度層級的題目。已知高一（2）班50名學生中，有30人選擇A層，20人選擇B層，無人選擇C層。系統(tǒng)記錄的完成時間（分鐘）數(shù)據(jù)如下：A層：$\bar{x}_1=25$，$s_1=5$；B層：$\bar{x}_2=40$，$s_2=8$（1）計算該班學生完成作業(yè)的平均時間；（2）若完成時間服從正態(tài)分布，估計A層學生中完成時間超過35分鐘的比例；（3）分析無人選擇C層的可能原因，提出改進系統(tǒng)推薦算法的建議。（12分）在數(shù)學建模課上，學生研究"共享單車調(diào)度問題"：（1）建立數(shù)學模型描述某區(qū)域內(nèi)共享單車的時空分布規(guī)律，需包含哪些核心變量？（2）使用Python繪制工作日早高峰（7:00-9:00）的單車流動熱力圖，應調(diào)用哪個可視化庫？（3）若某區(qū)域投放單車總數(shù)為1000輛，早高峰時段的周轉(zhuǎn)率為1.5次/輛，計算該時段的總騎行次數(shù)。（12分）在VR立體幾何實驗室中，存在一個棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$：（1）使用空間向量法求直線$AC_1$與平面$A_1BD$所成角的正弦值；（2）通過動態(tài)切割功能，過棱$AB$、$AD$、$AA_1$的中點作截面，求截面將正方體分成的兩部分體積之比；（3）若在正方體內(nèi)部隨機放置一個半徑為0.1的小球，求小球與正方體表面無交點的概率。（12分）某數(shù)學實驗室開展"拋硬幣實驗"的數(shù)字化探究：（1）使用Python編寫程序模擬10000次拋硬幣實驗，記錄正面朝上的次數(shù)，寫出核心代碼片段；（2）若同時運行100組上述實驗，得到100個正面朝上次數(shù)的數(shù)據(jù)，繪制頻率分布直方圖，估計該直方圖的形狀；（3）分析實驗次數(shù)從10000增加到100000時，頻率分布直方圖的變化趨勢。（14分）在人工智能數(shù)學課程中，學生學習神經(jīng)網(wǎng)絡的數(shù)學原理：（1）某簡單神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出函數(shù)為$y=\sigma(w_1x_1+w_2x_2+b)$，其中$\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$為激活函數(shù)，若$w_1=2$，$w_2=-1$，$b=0$，輸入$x_1=0.5$，$x_2=0.3$，計算輸出$y$的值（精確到0.001）；（2）使用梯度下降法更新權(quán)重時，權(quán)重的更新公式為$w_i=w_i-\eta\frac{\partialL}{\partialw_i}$，其中$\eta$表示什么參數(shù)？該參數(shù)過大可能導致什么問題？（3）結(jié)合數(shù)學知識解釋為什么深層神經(jīng)網(wǎng)絡需要使用"激活函數(shù)"，列舉兩種常用的激活函數(shù)。四、技術(shù)應用題（共2小題，共30分）（15分）數(shù)學建模與數(shù)據(jù)分析：某電商平臺收集了1000名用戶的消費數(shù)據(jù)（單位：元），包含"年齡""性別""月消費額""瀏覽時長"四個字段。（1）使用Excel對數(shù)據(jù)進行預處理，寫出刪除重復值的操作步驟；（2）繪制月消費額與瀏覽時長的散點圖，并計算相關(guān)系數(shù)，判斷兩者相關(guān)性強弱；（3）建立月消費額對年齡的線性回歸模型，寫出回歸方程的一般形式，并解釋回歸系數(shù)的經(jīng)濟意義。（15分）編程與數(shù)學實驗：（1）使用Scratch軟件設計一個"分數(shù)運算"教學小游戲，描述游戲規(guī)則和核心算法；（2）使用Python的turtle庫繪制分形幾何圖形（如科赫曲線），寫出遞歸函數(shù)的定義；（3）對比傳統(tǒng)教學與技術(shù)輔助教學在培養(yǎng)學生數(shù)學思維方面的優(yōu)勢差異。五、開放創(chuàng)新題（共1小題，共10分）（10分）隨著AI技術(shù)的發(fā)展，有人預測"未來數(shù)學教師將被智能系統(tǒng)取代"。結(jié)合本試卷涉及的技術(shù)應用案例，從數(shù)學學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的角度，談談你對這一觀點的看法（要求：至少包含3個技術(shù)應用場景的具體分析，字數(shù)不少于200字）。本試卷通過12類技術(shù)應用場景，全面考查學生在"技