2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)空間角計(jì)算練習(xí)題一、異面直線所成的角在長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?中，若AB=2AA?=2BC=2，E是CD的中點(diǎn)，則異面直線EB?與D?C所成角的余弦值為（）A.√3/3B.√15/15C.1/3D.1/5在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=2，Q為PC上一點(diǎn)，且PQ=3QC，則異面直線AC與BQ所成的角為（）A.π/3B.π/2C.π/6D.π/4在直三棱柱ABC-A?B?C?中，∠BCA=90°，AC=CC?=4，M是A?B?的中點(diǎn)，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。若CB?⊥C?M，則異面直線CM與A?B所成角的余弦值為（）A.√2/2B.√33/3C.√2/3D.√7/11在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E、F、G、H分別為AA?、AB、BB?、B?C?的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角等于（）正棱柱ABCD-A?B?C?D?中，AA?=2AB，則異面直線AB?與AD?所成角的余弦值為___在直三棱柱ABC-A?B?C?中，∠BCA=90°，點(diǎn)D?、F?分別是A?B?和A?C?的中點(diǎn)，若BC=CA=CC?，求BD?與AF?所成的角的余弦值_________。在正四面體A-BCD中，異面直線AB與CD所成角的大小是_______.在空間四邊形ABCD中，AB=AC=AD=BD=BC=CD=1，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，則向量EF與向量AC的夾角的余弦值為（）A.1/2B.√3/2C.1/3D.√3/3在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)P是棱CC?的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱DD?的中點(diǎn)，則向量AP與向量BQ的夾角的余弦值為（）A.1/2B.√2/2C.1/3D.√3/3在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)P是棱CC?的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱DD?的中點(diǎn)，點(diǎn)R是棱BB?的中點(diǎn)，則向量AR與向量PQ的夾角的余弦值為（）A.1/2B.√2/2C.1/3D.√3/3二、直線與平面所成的角《九章算術(shù)》中描述的幾何體“陽(yáng)馬”實(shí)為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”。在“陽(yáng)馬”P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD=2AB=PA，則直線PC與平面PBD所成角的正弦值為（）在三棱錐O-ABC中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成角的大小是______________（用反三角函數(shù)表示）。在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AB=AC=1，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則向量PD與向量PC的夾角的余弦值為（）A.1/2B.√2/2C.1/3D.√3/3在直三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)棱AA?=3，點(diǎn)D是棱CC?的中點(diǎn)，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，則向量DE與向量A?B?的夾角的取值范圍是（）A.[0，π/6]B.[π/6，π/3]C.[π/3，π/2]D.[π/2，5π/6]在正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD的邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱PA=√3，點(diǎn)E是棱PC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是棱PD上的一點(diǎn)，且EF⊥PC，EF⊥PD，則向量PE與向量PF的夾角的余弦值為（）A.1/3B.√2/3C.2/3D.√3/3在長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?中，AB=2，BC=1，AA?=3，點(diǎn)E是棱CC?的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱BB?上的一點(diǎn)，且AF⊥BE，AF⊥BF，則向量AE與向量DF的夾角的余弦值為（）A.1/3B.√2/3C.2/3D.√3/3在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=1，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是PC上的一點(diǎn)，且DE⊥BC，則向量AD與向量AE的夾角的余弦值為（）A.1/2B.√2/2C.1/3D.√3/3在直三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)棱AA?=2√3，點(diǎn)D是棱CC?的中點(diǎn)，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，則向量DE與向量A?C?的夾角的取值范圍是（）A.[0，π/6]B.[π/6，π/3]C.[π/3，π/2]D.[π/2，5π/6]三、二面角在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=2，求二面角P-AC-D的大小。在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=BC=2，PA=3，求二面角P-BC-A的余弦值。在直三棱柱ABC-A?B?C?中，∠ABC=90°，AB=BC=AA?=2，求二面角B?-AC-B的正切值。在正方體ABCD-A?B?C?D?中，棱長(zhǎng)為2，E為CC?的中點(diǎn)，求二面角A?-BD-E的余弦值。在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，求二面角P-BD-A的大小。在三棱柱ABC-A?B?C?中，側(cè)棱垂直于底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA?=1，求二面角A?-BC-A的大小。四、綜合解答題在五面體ABCDEF中，已知AB⊥平面BCD，AC⊥平面BCD，AD⊥平面BCD，且AB=AC=AD=1，BC=BD=CD=2，AE=AF=2，求三棱錐E-BCD的體積。在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD⊥CD，PA=AB=BC=AD=CD=1，求二面角A-PBC的余弦值。在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點(diǎn)P是棱CC?的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱DD?的中點(diǎn)，點(diǎn)R是棱BB?上的一點(diǎn)，且BR=1/3BB?，求平面PQR與平面ABB?A?所成銳二面角的正切值。如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=2，Q為PC上一點(diǎn)，且PQ=3QC。（1）求證：BQ⊥平面PAC；（2）求二面角Q-BD-C的余弦值。在直三棱柱ABC-A?B?C?中，∠BCA=90°，AC=CC?=4，M是A?B?的中點(diǎn)。（1）求證：CB?⊥C?M；（2）求直線CM與平面A?BC所成角的正弦值。如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?中，AB=2AA?=2BC=2，E是CD的中點(diǎn)。（1）求異面直線EB?與D?C所成角的余弦值；（2）求直線EB?與平面A?BD所成角的正弦值；（3）求二面角E-A?B-D的余弦值。在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=2，D是BC的中點(diǎn)，E是PC上一點(diǎn)，且PE=2EC。（1）求證：DE∥平面PAB；（2）求二面角A-DE-C的余弦值。在正方體ABCD-A?B?C?D?中，棱長(zhǎng)為a，E、F分別是棱BC、C?D?的中點(diǎn)。（1）求證：EF∥平面BB?D?D；（2）求異面直線EF與A?D所成角的余弦值；（3）求直線EF與平面A?BD所成角的正弦值。如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=AA?=2，D是A?B?的中點(diǎn)。（1）求證：C?D⊥平面AA?B?B；（2）求二面角A-C?D-B的正切值；（3）求點(diǎn)A到平面C?DB的距離。在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PD的中點(diǎn)。（1）求證：AE⊥平面PCD；（2）求二面角E-AC-D的余弦值；（3）求點(diǎn)B到平面AEC的距離。如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，PA=3，D為BC的中點(diǎn)，E為PC上一點(diǎn)，且PE=1/3PC。（1）求證：DE⊥BC；（2）求異面直線AE與BD所成角的余弦值；（3）求二面角A-DE-B的正弦值。在正方體ABCD-A?B?C?D?中，棱長(zhǎng)為2，E、F分別是A?B?、CD的中點(diǎn)。（1）求證：平面A?ED⊥平面B?FC；（2）求二面角E-A?D-F的余弦值；（3）求點(diǎn)B到平面A?ED的距離。在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AC=AA?=3，BC=2，D是BC的中點(diǎn)。（1）求證：AD⊥平面B?BCC?；（2）求異面直線A?B與C?D所成角的余弦值；（3）求二面角C?-AD-C的正切值。在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是PC的中點(diǎn)。（1）求證：BE∥平面PAD；（2）求二面角E-BD-C的正切值；（3）求點(diǎn)C到平面EBD的距離。在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC=2√2，O是△ABC的中心。（1）求證：PO⊥平面ABC；（2）求二面角P-AB-C的余弦值；（3）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值。如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?中，AB=2，BC=BB?=1，E是D?C?的中點(diǎn)。（1）求證：平面A?BE⊥平面BB?C?C；（2）求二面角A?-BE-A的余弦值；（3）求點(diǎn)D到平面A?BE的距離。在三棱柱ABC-A?B?C?中，側(cè)棱AA?⊥底面ABC，AB=AC=AA?=4，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AA?上一點(diǎn)，且AE=1。（1）求證：B?D⊥CE；（2）求二面角B?-CE-A的余弦值；（3）求點(diǎn)A到平面B?CE的距離。在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=1，AD=2。（1）求證：PC⊥CD；（2）求二面角P-CD-A的正切值；（3）求點(diǎn)B到平面PCD的距離。在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，PA=3，D是BC的中點(diǎn)。（1）求證：AD⊥平面PBC；（2）求二面角B-PA-C的大??；（3）求直線PB與平面PAD所成角的正弦值。在正方體ABCD-A?B?C?D?中，棱長(zhǎng)為a，M、N分別是A?B和AC上的點(diǎn)，且A?M=AN=a/3。（1）求證：MN∥平面BB?C?C；（2）求MN與平面ABCD所成角的正切值；（3）求二面角C-MN-B的余弦值。在直三棱柱ABC-A?B?C?中，∠ACB=90°，AC=BC=CC?=2，E、F分別是A?B?、AB的中點(diǎn)。（1）求證：EF⊥平面A?BC；（2）求二面角C?-EF-C的大?。唬?）求點(diǎn)A到平面A?EC的距離。在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是PD的中點(diǎn)。（1）求證：PB∥平面AEC；（2）求二面角E-AC-D的正切值；（3）求點(diǎn)D到平面AEC的距離。在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=√2，AB=AC=BC=2，O是△ABC的中心。（1）求證：PO⊥平面ABC；（2）求異面直線AO與PB所成角的余弦值；（3）求二面角O-PC-B的正弦值。在長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?中，AB=3，BC=2，AA?=4，E是CC?的中點(diǎn)。（1）求證：平面A?BD⊥平面BDE；（2）求二面角A?-BD-E的余弦值；（3）