2025年上學期高二數(shù)學每日一練（Day17）一、選擇題（共8小題，每小題））小題###）小題】一12024-204分）（此處省略1499字）（此處省略149999字）二、選擇題小題小題小題小題）二、填空題（共4分，每小題5分，共20分）三、解答題（共6小題，共70分）####小題小題小題小題小題小題三、解答題小題小題1.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+1$，求函數(shù)$f(x)$的單調區(qū)間和極值。解析：對函數(shù)$f(x)$求導得$f'(x)=x^2-4x+3$，令$f'(x)=0$，即$x^2-4x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。當$x\in(-\infty,1)$時，$x^2-4x+3>0$，$f'(x)>0$，函數(shù)$f(x)$單調遞增；當$x\in(1,3)$時，$x^2-4x+3<0$，$f'(x)<0$，函數(shù)$f(x)$單調遞減；當$x\in(3,+\infty)$時，$x^2-4x+3>0$，$f'(x)>0$，函數(shù)$f(x)$單調遞增。因此，函數(shù)$f(x)$的單調遞增區(qū)間為$(-\infty,1)$和$(3,+\infty)$，單調遞減區(qū)間為$(1,3)$。極大值為$f(1)=\frac{1}{3}(1)^3-2(1)^2+3(1)+1=\frac{1}{3}-2+3+1=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}$，極小值為$f(3)=\frac{1}{3}(3)^3-2(3)^2+3(3)+1=9-18+9+1=1$。2.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$，求橢圓的標準方程。解析：由離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，又因為$a^2=b^2+c^2$，所以$a^2=b^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2$，即$a^2=b^2+\frac{3}{4}a^2$，化簡得$b^2=\frac{1}{4}a^2$。將點$(2,1)$代入橢圓方程得$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，把$b^2=\frac{1}{4}a^2$代入得$\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1$，即$\frac{8}{a^2}=1$，解得$a^2=8$，則$b^2=2$，所以橢圓標準方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。3.已知向量$\vec{a}=(2,-1)$，$\vec=(m,3)$，且$\vec{a}\perp\vec$，求$m$的值及$|\vec{a}+\vec|$。解析：因為$\vec{a}\perp\vec$，所以$\vec{a}\cdot\vec=0$，即$2m+(-1)\times3=0$，$2m-3=0$，解得$m=\frac{3}{2}$。則$\vec{a}+\vec=(2+\frac{3}{2},-1+3)=(\frac{7}{2},2)$，所以$|\vec{a}+\vec|=\sqrt{(\frac{7}{2})^2}=\sqrt{\frac{49}{4}+4}=\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{16}{4}}=\sqrt{\frac{65}{4}}=\frac{\sqrt{65}}{2}$。4.已知數(shù)列${a_n}$是等差數(shù)列，$a_1=1$，$a_3=5$，求數(shù)列${a_n}$的通項公式及前$n$項和$S_n$。解析：設等差數(shù)列${a_n}$的公差為$d$，則$a_3=a_1+2d=1+2d=5$，解得$d=2$，所以通項公式$a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1$。前$n$項和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=\frac{n\times2n}{2}=n^2$。5.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}+a$，若函數(shù)$f(x)$在$x=1$處取得極值，求$a$的值及函數(shù)$f(x)$的單調區(qū)間。解析：對函數(shù)$f(x)$求導得$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+0=\frac{x-1}{x^2}$。因為函數(shù)在$x=1$處取得極值，所以$f'(1)=0$，即$\frac{1-1}{1^2}=0$，此時方程恒成立，與$a$無關，所以$a$的值不影響極值點位置，題目條件可能存在表述誤差，根據(jù)題目要求，此處假設$a$的值為任意實數(shù)，但根據(jù)題目要求需確定$a$的值，可能題目應為“函數(shù)$f(x)$在$x=1$處取得極值，求$a$的值”，但根據(jù)導數(shù)$f'(x)=\frac{x-1}{x^2}$，無論$a$為何值，$x=1$都是極值點，所以$a$的值無法確定，可能題目有誤，此處假設$a=0$，則$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$，單調遞增區(qū)間為$(1,+\infty)$，單調遞減區(qū)間為$(0,1)$。6.已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，求$f(x)$的最小正周期、最大值及單調遞增區(qū)間。解析：$f(x)=\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，所以最小正周期$T=2\pi$，最大值為$\sqrt{2}$。令$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqx+\frac{\pi}{4}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$，解得$-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\leqx\leq\frac{\pi}{4}+2k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$，所以單調遞增區(qū)間為$[-\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\frac{\pi}{4}+2k\pi]$，$k\in\mathbb{Z}$。7.已知直線$l$過點$(1,2)$且與圓$x^2+y^2=5$相切，求直線$l$的方程。解析：當直線斜率不存在時，直線方程為$x=1$，圓心$(0,0)$到直線距離$d=1\neq\sqrt{5}$，不相切；當直線斜率存在時，設直線方程為$y-2=k(x-1)$，即$kx-y-k+2=0$，圓心到直線距離$d=\frac{|-k+2|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{5}$，即$|-k+2|=\sqrt{5(k^2+1)}$，平方得$(k-2)^2=5(k^2+1)$，$k^2-4k+4=5k^2+5$，$4k^2+4k+1=0$，$(2k+1)^2=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$，所以直線方程為$y-2=-\frac{1}{2}(x-1)$，即$x+2y-5=0$。8.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求$f(x)$在區(qū)間$[-1,3]$上的最大值和最小值。解析：對$f(x)$求導得$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$，$3x^2-6x+2=0$，解得$x=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{6}=\frac{6\pm\sqrt{12}}{6}=\frac{6\pm2\sqrt{3}}{6}=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$x_1=1-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.422$，$x_2=1+\frac{\sqrt{3}}{3}\approx1.577$，均在區(qū)間$[-1,3]$內。計算$f(-1)=-1-3-2+1=-5$，$f(0.422)\approx(0.422)^3-3(0.422)^2+2(0.422)+1\approx0.075-3(0.178)+0.844+1\approx0.075-0.534+0.844+1\approx1.385$，$f(1.577)\approx(1.577)^3-3(1.577)^2+2(1.577)+1\approx3.92-3(2.487)+3.154+1\approx3.92-7.461+3.154+1\approx0.613$，$f(3)=27-27+6+1=7$，所以最大值為$7$，最小值為$-5$。9.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的漸近線方程為$y=\pm\frac{1}{2}x$，且過點$(4,\sqrt{3})$，求雙曲線的標準方程。解析：由漸近線方程$y=\pm\frac{a}x=\pm\frac{1}{2}x$，得$\frac{a}=\frac{1}{2}$，即$a=2b$，$a^2=4b^2$。將點$(4,\sqrt{3})$代入雙曲線方程得$\frac{16}{a^2}-\frac{3}{b^2}=1$，把$a^2=4b^2$代入得$\frac{16}{4b^2}-\frac{3}{b^2}=1$，即$\frac{4}{b^2}-\frac{3}{b^2}=1$，$\frac{1}{b^2}=1$，解得$b^2=1$，$a^2=4$，所以雙曲線標準方程為$\frac{x^2}{4}-y^2=1$。10.已知函數(shù)$f(x)=\lnx-ax$，討論函數(shù)$f(x)$的單調性。解析：函數(shù)定義域為$(0,+\infty)$，$f'(x)=\frac{1}{x}-a$。當$a\leq0$時，$f'(x)>0$，函數(shù)在$(0,+\infty)$上單調遞增；當$a>0$時，令$f'(x)=0$，$x=\frac{1}{a}$，當$x\in(0,\frac{1}{a})$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調遞增；當$x\in(\frac{1}{a},+\infty)$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調遞減。11.已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求數(shù)列${a_n}$的通項公式。解析：由$a_{n+1}=2a_n+1$，得$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，所以數(shù)列${a_n+1}$是以$a_1+1=2$為首項，$2$為公比的等比數(shù)列，所以$a_n+1=2\times2^{n-1}=2^n$，則$a_n=2^n-1$。12.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x$13.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x+1$，求$f(x)$的極值。解析：對$f(x)$求導得$f'(x)=3x^2-6x+3=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2$，令$f'(x)=0$，得$x=1$，當$x\neq1$時，$f'(x)>0$，所以$x=1$不是極值點，函數(shù)$f(x)$無極值。14.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，求$f(x)$的單調區(qū)間和極值。解析：函數(shù)定義域為$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$，$f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$，令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。當$x\in(-\infty,0)$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調遞增；當$x\in(0,1)$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調遞減；當$x\in(1,2)$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調遞減；當$x\in(2,+\infty)$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調遞增。所以極大值為$f(0)=0$，極小值為$f(2)=\frac{4}{1}=4$。15.已知函數(shù)$f(x)=\sin2x+\cos2x$，求$f(x)$的最小正周期、最大值及單調遞增區(qū)間。解析：$f(x)=\sin2x+\cos2x=\sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4})$，最小正周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$，最大值為$\sqrt{2}$。令$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x+\frac{\pi}{4}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$，解得$-\frac{3\pi}{8}+k\pi\leqx\leq\frac{\pi}{8}+k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$，所以單調遞增區(qū)間為$[-\frac{3\pi}{8}+k\pi,\frac{\pi}{8}+k\pi]$，$k\in\mathbb{Z}$。16.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的右焦點為$F(1,0)$，離心率$e=\frac{1}{2}$，求橢圓的標準方程。解析：由離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$c=1$，得$a=2$，$b^2=a^2-c^2=4-1=3$，所以橢圓標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。17.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,m)$，且$\vec{a}$與$\vec$的夾角為銳角，求$m$的取值范圍。解析：因為$\vec{a}$與$\vec$的夾角為銳角，所以$\vec{a}\cdot\vec>0$且$\vec{a}$與$\vec$不共線，即$1\times3+2m>0$且$1\timesm\neq2\times3$，解得$m>-\frac{3}{2}$且$m\neq6$，所以$m$的取值范圍為$(-\frac{3}{2},6)\cup(6,+\infty)$。18.已知函數(shù)$f(x)=\lnx-x^2+ax$，若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(1,2)$上單調遞增，求實數(shù)$a$的取值范圍。解析：$f'(x)=\frac{1}{x}-2x+a$，因為函數(shù)在$(1,2)$上單調遞增，所以$f'(x)\geq0$在$(1,2)$上恒成立，即$a\geq2x-\frac{1}{x}$在$(1,2)$上恒成立，令$g(x)=2x-\frac{1}{x}$，在$(1,2)$上單調遞增，所以$g(x)<g(2)=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$，所以$a\geq\frac{7}{2}$。19.已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項和$S_n=n^2+2n$，求數(shù)列${a_n}$的通項公式。解析：當$n=1$時，$a_1=S_1=1+2=3$；當$n\geq2$時，$a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=n^2+2n-(n^2-2n+1+2n-2)=n^2+2n-n^2+2n-1-2n+2=2n+1$。當$n=1$時，$a_1=3$滿足上式，所以$a_n=2n+1$。20.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$，求$f(x)$在區(qū)間$[-2,2]$上的最大值和最小值。解析：$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$，令$f'(x)=0$，得$x=\pm1$。計算$f(-2)=-8+6+1=-1$，$f(-1)=-1+3+1=3$，$f(1)=1-3+1=-1$，$f(2)=8-6+1=3$，所以最大值為$3$，最小值為$-1$。21.已知拋物線$y^2=4x$的焦點為$F$，過點$F$的直線交拋物線于$A$，$B$兩點，若$|AB|=8$，求直線$AB$的方程。解析：拋物線$y^2=4x$的焦點$F(1,0)$，當直線斜率不存在時，直線方程為$x=1$，代入拋物線得$y^2=4$，$y=\pm2$，$|AB|=4\neq8$，不符合；當直線斜率存在時，設直線方程為$y=k(x-1)$，代入拋物線方程得$k^2(x-1)^2=4x$，即$k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0$，設$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則$x_1+x_2=\frac{2k^2+4}{k^2}$，$|AB|=x_1+x_2+2=\frac{2k^2+4}{k^2}+2=\frac{2k^2+4+2k^2}{k^2}=\frac{4k^2+4}{k^2}=8$，解得$k^2=1$，$k=\pm1$，所以直線方程為$y=x-1$或$y=-x+1$。22.已知函數(shù)$f(x)=\cosx+\sinx$，求$f(x)$的最小正周期、最大值及單調遞增區(qū)間。解析：$f(x)=\cosx+\sinx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，最小正周期$T=2\pi$，最大值為$\sqrt{2}$。令$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqx+\frac{\pi}{4}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$，解得$-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\leqx\leq\frac{\pi}{4}+2k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$，所以單調遞增區(qū)間為$[-\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\frac{\pi}{4}+2k\pi]$，$k\in\mathbb{Z}$。23.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,-3)$，求$\vec{a}\cdot\vec$，$|\vec{a}|$，$|\vec|$，$\vec{a}$與$\vec$的夾角$\theta$。解析：$\vec{a}\cdot\vec=1\times2+2\times(-3)=2-6=-4$，$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$|\vec|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$，$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{-4}{\sqrt{5}\times\sqrt{13}}=\frac{-4}{\sqrt{65}}$，所以$\theta=\arccos(\frac{-4}{\sqrt{65}})$。24.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求$f(x)$的單調區(qū)間和極值。解析：$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=3$。當$x\in(-\infty,1)$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調遞增；當$x\in(1,3)$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調遞減；當$x\in(3,+\infty)$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調遞增。極大值為$f(1)=1-6+9+1=5$，極小值為$f(3)=27-54+27+1=1$。25.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率$e=\frac{1}{2}$，焦距為$2$，求橢圓的標準方程。解析：由焦距$2c=2$，得$c=1$，離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得$a=2$，$b^2=a^2-c^2=4-1=3$，所以橢圓標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。26.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+x^2-ax$，若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(1,2)$上有極值，求實數(shù)$a$的取值范圍。解析：$f'(x)=\frac{1}{x}+2x-a$，函數(shù)在區(qū)間$(1,2)$上有極值，則$f'(x)=0$在$(1,2)$上有解，即$a=2x+\frac{1}{x}$在$(1,2)$上有解，令$g(x)=2x+\frac{1}{x}$，在$(1,2)$上單調遞增，$g(1)=3$，$g(2)=\frac{9}{2}$，所以$a$的取值范圍為$(3,\frac{9}{2})$。27.已知數(shù)列${a_n}$是等比數(shù)列，$a_1=2$，$a_3=8$，求數(shù)列${a_n}$的通項公式及前$n$項和$S_n$。解析：設公比為$q$，則$a_3=a_1q^2=2q^2=8$，$q^2=4$，$q=\pm2$，當$q=2$時，$a_n=2\times2^{n-1}=2^n$，$S_n=\frac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2$；當$q=-2$時，$a_n=2\times(-2)^{n-1}$，$S_n=\frac{2[1-(-2)^n]}{1-(-2)}=\frac{2[1-(-2)^n]}{3}$。28.已知函數(shù)$f(x)=\sinx\cosx-\cos^2x$，求$f(x)$的最小正周期、最大值及單調遞增區(qū)間。解析：$f(x)=\frac{1}{2}\sin2x-\frac{1+\cos2x}{2}=\frac{1}{2}\sin2x-\frac{1}{2}\cos2x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x-\frac{\pi}{4})-\frac{1}{2}$，最小正周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$，最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}$，單調遞增區(qū)間為$[-\frac{\pi}{8}+k\pi,\frac{3\pi}{8}+k\pi]$，$k\in\mathbb{Z}$。29.已知直線$l$過點$(2,1)$且與直線$2x-y+3=0$垂直，求直線$l$的方程。解析：直線$2x-y+3=0$的斜率為$2$，所以與之垂直的直線斜率為$-\frac{1}{2}$，直線方程為$y-1=-\frac{1}{2}(x-2)$，即$x+y-3=0$。30.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x+1$，求$f(x)$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值和最小值。解析：$f'(x)=3x^2-\frac{6x+3}{1}=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2$，在$[0,2]$上，$f'(x)\geq0$，函數(shù)單調遞增，所以最大值為$f(2)=8-12+6+1=3$，最小值為$f(0)=0-0+0+1=1$。31.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的右焦點為$F(1,0)$，且過點$(2,\sqrt{3})$，求橢圓的標準方程。解析：由焦點$F(1,0)$得$c=1$，$a^2=b^2+1$，將點$(2,\sqrt{3})$代入橢圓方程得$\frac{4}{a^2}+\frac{3}{b^2}=1$，把$a^2=b^2+1$代入得$\frac{4}{b^2+1}+\frac{3}{b^2}=1$，解得$b^2=3$，$a^2=4$，所以橢圓標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。32.已知函數(shù)$f(x)=\lnx-\frac{1}{x}$，求$f(x)$的單調區(qū)間和極值。解析：函數(shù)定義域為$(0,+\infty)$，$f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}>0$，所以函數(shù)在$(0,+\infty)$上單調遞增，無極值。33.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,m)$，若$\vec{a}$與$\vec$平行，求$m$的值及$|\vec{a}-\vec|$。解析：因為$\vec{a}\parallel\vec$，所以$1\timesm-2\times2=0$，$m-4=0$，$m=4$，$\vec{a}-\vec=(-1,-2)$，$|\vec{a}-\vec|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$。34.已知函數(shù)$f(x)=\sin^2x+\sinx\cosx$，求$f(x)$的最小正周期、最大值及單調遞增區(qū)間。解析：$f(x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{1}{2}\sin2x=\frac{1}{2}\sin2x-\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x-\frac{\pi}{4})+\frac{1}{2}$，最小正周期$T=\pi$，最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}$，單調遞增區(qū)間為$[-\frac{\pi}{8}+k\pi,\frac{3\pi}{8}+k\pi]$，$k\in\mathbb{Z}$。35.已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，求數(shù)列${a_n}$的通項公式。解析：由$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，得$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1+a_n}{a_n}=\frac{1}{a_n}+1$，所以數(shù)列${\frac{1}{a_n}}$是以$1$為首項，$1$為公差的等差數(shù)列，$\frac{1}{a_n}=1+(n-1)\times1=n$，所以$a_n=\frac{1}{n}$。36.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，求$f(x)$在區(qū)間$[-2,2]$上的最大值和最小值。解析：$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$，令$f'(x)=0$，得$x=\pm1$，$f(-2)=-8+6=-2$，$f(-1)=-1+3=2$，$f(1)=1-3=-2$，$f(2)=8-6=2$，所以最大值為$2$，最小值為$-2$。37.已知拋物線$y^2=8x$的焦點為$F$，點$P$在拋物線上，且$|PF|=5$，求點$P$的坐標。解析：拋物線$y^2=8x$的焦點$F(2,0)$，準線$x=-2$，設$P(x,y)$，則$|PF|=x+2=5$，$x=3$，代入拋物線得$y^2=24$，$y=\pm2\sqrt{6}$，所以點$P$的坐標為$(3,2\sqrt{6})$或$(3,-2\sqrt{6})$。38.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+x^2-3x$，求$f(x)$的單調區(qū)間和極值。解析：$f'(x)=\frac{1}{x}+2x-3$，令$f'(x)=0$，$2x^2-3x+1=0$，解得$x=1$或$x=\frac{1}{2}$，當$x\in(0,\frac{1}{2})$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調遞增；當$x\in(\frac{1}{2},1)$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調遞減；當$x\in(1,+\infty)$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調遞增。極大值為$f(\frac{1}{2})=\ln\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{3}{2}=-\ln2-\frac{5}{4}$，極小值為$f(1)=0+1-3=-2$。39.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過點$(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$，求橢圓的標準方程。解析：由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$c=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，$a^2=b^2+c^2$，所以$a^2=b^2+\frac{1}{2}a^2$，$b^2=\frac{1}{2}a^2$，代入點$(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$得$\frac{1}{a^2}+\frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{b^2}=1$，即$\frac{1}{a^2}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}a^2}=1$，$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=1$，$a^2=2$，$b^2=1$，橢圓標準方程為$\frac{x^2}{2}+y^2=1$。40.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求$f(x)$在區(qū)間$[0,4]$上的最大值和最小值。解析：$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=3$，$f(0)=1$，$f(1)=1-6+9+1=5$，$f(3)=27-54+27+1=1$，$f(4)=64-96+36+1=5$，所以最大值為$5$，最小值為$1$。41.已知向量$\vec{a}=(3,-4)$，$\vec=(k,12)$，且$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$180^\circ$，求$k$的值。解析：因為$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$180^\circ$，所以$\vec{a}\parallel\vec$且方向相反，即$3\times12-(-4)k=0$，$36+4k=0$，$k=-9$。42.已知函數(shù)$f(x)=\cos2x+\sinx$，求$f(x)$的最大值和最小值。解析：$f(x)=1-2\sin^2x+\sinx=-2\sin^2x+\sinx+1$，令$t=\sinx$，$t\in[-1,1]$，則$f(t)=-2t^2+t+1$，對稱軸$t=\frac{1}{4}$，$f(\frac{1}{4})=-2\times\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+1=-\frac{1}{8}+\frac{2}{8}+\frac{8}{8}=\frac{9}{8}$，$f(-1)=-2-1+1=-2$，所以最大值為$\frac{9}{8}$，最小值為$-2$。43.已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n+2^n$，求數(shù)列${a_n}$的通項公式。解析：由$a_{n+1}=3a_n+2^n$，兩邊同除以$3^{n+1}$得$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{a_n}{3^n}+\frac{2^n}{3^{n+1}}$，令$b_n=\frac{a_n}{3^n}$，則$b_{n+1}=b_n+\frac{1}{3}(\frac{2}{3})^n$，$b_1=\frac{1}{3}$，$b_n=b_1+\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n-1}(\frac{2}{3})^k=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{\frac{2}{3}[1-(\frac{2}{3})^{n-1}]}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times2[1-(\frac{2}{3})^{n-1}]=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-\frac{2}{3^n}=1-\frac{2}{3^n}$，所以$a_n=3^nb_n=3^n-2^n$。44.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，求$f(x)$的單調區(qū)間和極值。解析：函數(shù)定義域為$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$，$f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$，令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=2$，當$x\in(-\infty,0)$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調遞增；當$x\in(0,1)$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調遞減；當$x\in(1,2)$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調遞減；當$x\in(2,+\infty)$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調遞增。極大值為$f(0)=0$，極小值為$f(2)=4$。45.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$與雙曲線$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1}=1$有相同的焦點且離心率$e=\frac{1}{2}$，求橢圓的標準方程。解析：雙曲線