2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)函數(shù)的值域求法試題一、觀察法（直接法）觀察法是通過(guò)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合定義域直接推導(dǎo)值域的方法。適用于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的函數(shù)，如一次函數(shù)、單根式函數(shù)、簡(jiǎn)單分式函數(shù)等。例題1：求函數(shù)(y=\sqrt{x-1}+2)的值域。解：由二次根式的非負(fù)性可知，定義域?yàn)?x\geq1)。當(dāng)(x=1)時(shí)，(\sqrt{x-1}=0)，此時(shí)(y)取得最小值(2)；隨著(x)增大，(\sqrt{x-1})的值無(wú)限增大，故(y)的取值范圍為([2,+\infty))。例題2：求函數(shù)(y=\frac{1}{x^2+1})的值域。解：因?yàn)?x^2\geq0)，所以(x^2+1\geq1)，則(0<\frac{1}{x^2+1}\leq1)，故值域?yàn)?(0,1])。二、配方法配方法適用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式(y=a(x-h)^2+k)，結(jié)合定義域分析最值。例題3：求函數(shù)(y=x^2-2x+3)在(x\in[0,3])上的值域。解：配方得(y=(x-1)^2+2)，拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為((1,2))。當(dāng)(x=1)時(shí)，(y_{\text{min}}=2)；當(dāng)(x=3)時(shí)，(y=(3-1)^2+2=6)；當(dāng)(x=0)時(shí)，(y=(0-1)^2+2=3)。故值域?yàn)?[2,6])。例題4：求函數(shù)(y=-x^2-6x-5)的值域。解：配方得(y=-(x+3)^2+4)，拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為((-3,4))，故(y\leq4)，值域?yàn)?(-\infty,4])。三、換元法換元法通過(guò)引入新變量將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為易分析的形式，分為代數(shù)換元和三角換元。（一）代數(shù)換元例題5：求函數(shù)(y=x+\sqrt{1-x})的值域。解：令(t=\sqrt{1-x})（(t\geq0)），則(x=1-t^2)，代入得：(y=1-t^2+t=-t^2+t+1)（(t\geq0)）。該二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為(t=\frac{1}{2})，當(dāng)(t=\frac{1}{2})時(shí)，(y_{\text{max}}=-\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}+1=\frac{5}{4})；當(dāng)(t\to+\infty)時(shí)，(y\to-\infty)。故值域?yàn)?(-\infty,\frac{5}{4}])。（二）三角換元例題6：求函數(shù)(y=x+\sqrt{1-x^2})（(x\in[-1,1])）的值域。解：令(x=\cos\theta)（(\theta\in[0,\pi])），則(\sqrt{1-x^2}=\sin\theta)，(y=\cos\theta+\sin\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right))。因?yàn)?\theta\in[0,\pi])，所以(\theta+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}])，(\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\in[-\frac{\sqrt{2}}{2},1])，故(y\in[-1,\sqrt{2}])。四、判別式法判別式法適用于分子分母為二次多項(xiàng)式的分式函數(shù)，將函數(shù)整理為關(guān)于(x)的一元二次方程，利用判別式(\Delta\geq0)求值域。例題7：求函數(shù)(y=\frac{x^2+x+1}{x^2+1})的值域。解：等式兩邊同乘(x^2+1)得((y-1)x^2-x+(y-1)=0)。當(dāng)(y=1)時(shí)，方程化為(-x=0)，解得(x=0)，符合題意；當(dāng)(y\neq1)時(shí)，方程為一元二次方程，需滿(mǎn)足(\Delta=(-1)^2-4(y-1)^2\geq0)，即(1-4(y^2-2y+1)\geq0)，化簡(jiǎn)得(4y^2-8y+3\leq0)，解得(\frac{1}{2}\leqy\leq\frac{3}{2})。綜上，值域?yàn)?[\frac{1}{2},\frac{3}{2}])。例題8：求函數(shù)(y=\frac{2x^2-2x+3}{x^2-x+1})的值域。解：整理得((y-2)x^2-(y-2)x+(y-3)=0)。當(dāng)(y=2)時(shí)，方程化為(0x^2+0x-1=0)，無(wú)解；當(dāng)(y\neq2)時(shí)，(\Delta=(y-2)^2-4(y-2)(y-3)\geq0)，即((y-2)[(y-2)-4(y-3)]\geq0)，化簡(jiǎn)得((y-2)(-3y+10)\geq0)，解得(2<y\leq\frac{10}{3})。故值域?yàn)?(2,\frac{10}{3}])。五、分離常數(shù)法分離常數(shù)法適用于分式函數(shù)，通過(guò)變形將分子常數(shù)化，簡(jiǎn)化值域分析。例題9：求函數(shù)(y=\frac{x-1}{x+2})（(x\geq-4)）的值域。解：分離常數(shù)得(y=\frac{(x+2)-3}{x+2}=1-\frac{3}{x+2})。當(dāng)(x>-2)時(shí)，(x+2>0)，(\frac{3}{x+2}>0)，則(y<1)；當(dāng)(-4\leqx<-2)時(shí)，(x+2\in[-2,0))，(\frac{3}{x+2}\in(-\infty,-\frac{3}{2}])，則(-\frac{3}{x+2}\geq\frac{3}{2})，(y\geq1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2})。綜上，值域?yàn)?(-\infty,1)\cup[\frac{5}{2},+\infty))。例題10：求函數(shù)(y=\frac{x^2-x+1}{x^2+1})的值域。解：分離常數(shù)得(y=1-\frac{x}{x^2+1})。設(shè)(t=x)，則(\frac{x}{x^2+1}=\frac{t}{t^2+1})，由基本不等式知(-\frac{1}{2}\leq\frac{t}{t^2+1}\leq\frac{1}{2})，故(1-\frac{1}{2}\leqy\leq1+\frac{1}{2})，即值域?yàn)?[\frac{1}{2},\frac{3}{2}])。六、單調(diào)性法單調(diào)性法通過(guò)判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的增減性，結(jié)合端點(diǎn)值或極限值確定值域。例題11：求函數(shù)(y=x-\sqrt{1-2x})的值域。解：定義域?yàn)?x\leq\frac{1}{2})。令(t=\sqrt{1-2x})（(t\geq0)），則(x=\frac{1-t^2}{2})，代入得：(y=\frac{1-t^2}{2}-t=-\frac{1}{2}t^2-t+\frac{1}{2})（(t\geq0)）。該函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為(t=-1)，在(t\geq0)上單調(diào)遞減，當(dāng)(t=0)時(shí)，(y_{\text{max}}=\frac{1}{2})；當(dāng)(t\to+\infty)時(shí)，(y\to-\infty)。故值域?yàn)?(-\infty,\frac{1}{2}])。例題12：求函數(shù)(y=3-2x-x^2)在(x\in[-3,1])上的值域。解：函數(shù)為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸為(x=-1)。當(dāng)(x=-1)時(shí)，(y_{\text{max}}=3-2(-1)-(-1)^2=4)；當(dāng)(x=-3)時(shí)，(y=3-2(-3)-(-3)^2=0)；當(dāng)(x=1)時(shí)，(y=3-2(1)-1^2=0)。故值域?yàn)?[0,4])。七、反函數(shù)法反函數(shù)法利用原函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域關(guān)系，通過(guò)求反函數(shù)的定義域得到原函數(shù)的值域。例題13：求函數(shù)(y=\frac{x+1}{x+2})的值域。解：由(y=\frac{x+1}{x+2})得(x=\frac{1-2y}{y-1})，反函數(shù)的定義域?yàn)?y\neq1)，故原函數(shù)的值域?yàn)?(-\infty,1)\cup(1,+\infty))。例題14：求函數(shù)(y=\frac{10^x+10^{-x}}{10^x-10^{-x}})的值域。解：令(t=10^x)（(t>0)且(t\neq1)），則(y=\frac{t^2+1}{t^2-1})，反解得(t^2=\frac{y+1}{y-1}>0)，即((y+1)(y-1)>0)，解得(y<-1)或(y>1)。故值域?yàn)?(-\infty,-1)\cup(1,+\infty))。八、數(shù)形結(jié)合法（圖象法）數(shù)形結(jié)合法通過(guò)函數(shù)圖象的幾何意義分析值域，適用于含絕對(duì)值、分段函數(shù)等。例題15：求函數(shù)(y=|x+1|-|x-2|)的值域。解：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，該函數(shù)表示數(shù)軸上點(diǎn)(x)到(-1)和(2)的距離之差。當(dāng)(x\leq-1)時(shí)，(y=-(x+1)-(2-x)=-3)；當(dāng)(-1<x<2)時(shí)，(y=(x+1)-(2-x)=2x-1)，此時(shí)(y\in(-3,3))；當(dāng)(x\geq2)時(shí)，(y=(x+1)-(x-2)=3)。綜上，值域?yàn)?[-3,3])。例題16：求函數(shù)(y=|x^2-4x+3|)在(x\in[0,4])上的值域。解：先作出(y=x^2-4x+3)的圖象，再將(x)軸下方部分翻折到上方。函數(shù)零點(diǎn)為(x=1)和(x=3)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為((2,-1))，翻折后頂點(diǎn)變?yōu)?(2,1))；當(dāng)(x=0)或(x=4)時(shí)，(y=3)；當(dāng)(x=1)或(x=3)時(shí)，(y=0)。故值域?yàn)?[0,3])。九、判別式與換元法綜合應(yīng)用例題17：求函數(shù)(y=2x-3+\sqrt{4x-13})的值域。解：令(t=\sqrt{4x-13})（(t\geq0)），則(x=\frac{t^2+13}{4})，代入得：(y=2\cdot\frac{t^2+13}{4}-3+t=\frac{1}{2}t^2+t+\frac{13}{2}-3=\frac{1}{2}t^2+t+\frac{7}{2})。該函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為(t=-1)，在(t\geq0)上單調(diào)遞增，當(dāng)(t=0)時(shí)，(y_{\text{min}}=\frac{7}{2})，故值域?yàn)?[\frac{7}{2},+\infty))。例題18：求函數(shù)(y=\frac{x^4+(x^2+1)^2}{x^2+5})的值域。解：令(t=x^2+5)（(t\geq5)），則(x^2=t-5)，代入得：(y=\frac{(t-5)^2+(t-5+1)^2}{t}=\frac{(t^2-10t+25)+(t-4)^2}{t}=\frac{2t^2-18t+41}{t}=2t+\frac{41}{t}-18)。由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，(y=2t+\frac{41}{t})在(t\geq5)上單調(diào)遞增，當(dāng)(t=5)時(shí)，(y=10+\frac{41}{5}-18=\frac{41}{5}-8=\frac{1}{5})，故值域?yàn)?[\frac{1}{5},+\infty))。十、復(fù)合函數(shù)值域綜合題例題19：已知函數(shù)(f(x)=x^2-2x-3)，求(y=\frac{f(x)}{2x^2+2x+1})的值域。解：將(f(x))代入得(y=\frac{x^2-2x-3}{2x^2+2x+1})，整理為((2y-1)x^2+(2y+2)x+(y+3)=0)。當(dāng)(2y-1=0)即(y=\frac{1}{2})時(shí)，方程化為(3x+\frac{7}{2}=0)，解得(x=-\frac{7}{6})，有效；當(dāng)(2y-1\neq0)時(shí)，(\Delta=(2y+2)^2-4(2y-1)(y+3)\geq0)，化簡(jiǎn)得(4y^2+8y+4-4(2y^2+5y-3)\geq0)，即(-4y^2-12y+16\geq0)，解得(-4\leqy\leq1)。綜上，值域?yàn)?[-4,1])。例題20：求函數(shù)(y=\sqrt{-x^2+2x+3})的值域。解：先求定義域，由(-x^2+2x+3\geq0)得(x\in[-1,3])。令(t=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4)，則(t\in[0,4])，故(y=\sqrt{t}\in[0,2])，值域?yàn)?[0,2])。十一、含參數(shù)的函數(shù)值域問(wèn)題例題21：已知函數(shù)(y=t^2-2t-7)在區(qū)間((t-1,t))上的值域，求其取值范圍。解：函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為(t=1)，需分類(lèi)討論區(qū)間位置：當(dāng)(t\leq1)時(shí)，區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞減，值域?yàn)?(t^2-2t-7,t^2-4t-4))；當(dāng)(1<t\leq1.5)時(shí)，最小值在頂點(diǎn)處取得(y_{\text{min}}=-8)，最大值為左端點(diǎn)(t^2-2t-7)，值域?yàn)?(-8,t^2-2t-7))；當(dāng)(1.5<t\leq2)時(shí)，最小值為(-8)，最大值為右端點(diǎn)(t^2-4t-4)，值域?yàn)?(-8,t^2-4t-4))；當(dāng)(t>2)時(shí)，區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞增，值域?yàn)?(t^2-4t-4,t^2-2t-7))。例題22：設(shè)(f(x+1)=x^2-2x-7)，(x\in(t-1,t))，求函數(shù)(f(x))的最小值(\varphi(t))的解析式。解：令(u=x+1)，則(x=u-1)，(f(u)=(u-1)^2-2(u-1)-7=u^2-4u-4)，即(f(x)=(x-2)^2-8)。當(dāng)(t\leq2)時(shí)，區(qū)間((t-1,t))在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，最小值為(f(t)=t^2-4t-4)；當(dāng)(t-1<2<t)即(1<t<3)時(shí)，最小值為頂點(diǎn)(-8)；當(dāng)(t-1\geq2)即(t\geq3)時(shí)，區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，最小值為(f(t-1)=(t-3)^2-8=t^2-6t+1)。綜上，(\varphi(t)=\begin{cases}t^2-4t-4&(t\leq2)\-8&(1<t<3)\t^2-6t+1&