2/30專題2.5有理數(shù)的乘除運(yùn)算（舉一反三講義） 【北師大版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算】 3【題型2多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算】 3【題型3有理數(shù)的乘法的實際應(yīng)用】 4【題型4倒數(shù)】 4【題型5有理數(shù)乘法運(yùn)算律】 5【題型6有理數(shù)的除法運(yùn)算】 5【題型7有理數(shù)除法的應(yīng)用】 5【題型8有理數(shù)乘除混合運(yùn)算】 6【題型9有理數(shù)乘除中的簡便運(yùn)算】 7【題型10有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用】 8知識點1有理數(shù)乘法法則1.正數(shù)乘正數(shù)，積為正數(shù)；正數(shù)乘負(fù)數(shù)，積為負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)乘正數(shù)，積為負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)，積為正數(shù)．積的絕對值等于各乘數(shù)的絕對值的積．2.兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，且積的絕對值等于乘數(shù)的絕對值的積；任何數(shù)與0相乘，都得0．3.有理數(shù)乘法法則也可以表示如下：設(shè)a，b為正有理數(shù)，c為任意有理數(shù)，則(+a)×(+b)=a×b，(?(?a)×(+b)=?(a×b)，(+c×0=0，0×c=0．知識點2倒數(shù)的概念與求法1.倒數(shù)的概念：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)．即若a與b互為倒數(shù)，則a×b=1．2.倒數(shù)的求法類型方法真、假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)將分子分母交換位置非0整數(shù)的倒數(shù)整數(shù)作分母，1作分子小數(shù)的倒數(shù)對于可以除盡的數(shù)的倒數(shù)，可以用1除以這個數(shù)求倒數(shù)對于除不盡的數(shù)，轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)，再按照真、假分?jǐn)?shù)求倒數(shù)的方法來進(jìn)行帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，然后將分子分母調(diào)換位置知識點3有理數(shù)的乘法運(yùn)算律運(yùn)算律文字?jǐn)⑹鲇米帜副硎境朔ń粨Q律兩個數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置,積不變ab=ba乘法結(jié)合律三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變(ab)c=a(bc)乘法分配率一個數(shù)與兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再把積相加a(b+c)=ab+ac知識點4多個有理數(shù)相乘的符號法則1.幾個不為0的數(shù)相乘，負(fù)的乘數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為2.幾個數(shù)相乘，如果其中有乘數(shù)為0，那么積為0．知識點5多個有理數(shù)相乘的符號法則1.有理數(shù)除法法則（1）除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)．即a÷（2）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，且商的絕對值等于被除數(shù)的絕對值除以除數(shù)的絕對值的商．若ab>0，則ab>0；若a（3）0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0．2.有理數(shù)除法的兩個法則要根據(jù)具體情況靈活選用（1）對于除法的兩個法則，在計算時可根據(jù)具體情況選用，一般在不能整除的情況下選用法則（1）比較簡便，在能整除的情況下，選用法則（2）比較簡便．（2）如果被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)，且不能整除，或者如果被除數(shù)和除數(shù)中有小數(shù)或分?jǐn)?shù)，一般選用法則（1)進(jìn)行計算．知識點6多個有理數(shù)相乘的符號法則有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算通常是先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后按照乘法法則，確定積的符號，最后求出結(jié)果．知識點7多個有理數(shù)相乘的符號法則有理數(shù)的四則運(yùn)算：先算乘除，后算加減，有括號先算括號里面的（先小括號，再中括號，最后大括號），同級運(yùn)算，按照從左往右的順序進(jìn)行計算．【題型1兩個有理數(shù)的乘法運(yùn)算】【例1】（2025·浙江杭州·三模）下列結(jié)果中，是負(fù)數(shù)的是（

）A．??3 B．??2 C．3×4 【變式1-1】（2025·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測）計算3×?5的結(jié)果是（

A．?2 B．2 C．?15 D．15【變式1-2】（2025·吉林松原·模擬預(yù)測）若?3×□的運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)，則□A．?1 B．0 C．1 D．2【變式1-3】（24-25七年級上·四川宜賓·期末）在4，?5，6，?7這四個數(shù)中，任意取兩個數(shù)相乘，所得的積最大是．【題型2多個有理數(shù)的乘法運(yùn)算】【例2】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）下面計算正確的是（

）A．12×B．?15C．?9D．?5×【變式2-1】（24-25七年級下·全國·假期作業(yè)）計算．(1)?24(2)?4×(3)497【變式2-2】（24-25八年級上·云南昭通·期末）已知A41=4，A42=4×3=12，A．42 B．120 C．210 D．840【變式2-3】（24-25七年級上·河南南陽·期中）已知x，y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“※”及“△”如下：x※y=2x+3y,x△y=3xy，則(?3※4)△?13【題型3有理數(shù)的乘法的實際應(yīng)用】【例3】（2025·江蘇南京·模擬預(yù)測）在我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中，有這樣一道題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二．問物幾何？其最小正整數(shù)解記為a．又知b=23，則ab（填“>”“<”或“=”）．【變式3-1】（24-25六年級下·江蘇南京·期末）實驗小學(xué)要給報告廳的小舞臺鋪上地墊，舞臺的面積是40.8平方米，地墊的單價為19.9元/平方米，一共要準(zhǔn)備多少元？下面符合實際需要的估算方法是（

）A． B．C． D．【變式3-2】（2025八年級下·全國·專題練習(xí)）賓館有100間相同的客房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營，發(fā)現(xiàn)客房定價與客房的入住率之間有下表所示的關(guān)系，按照這個關(guān)系，要使客房的收入最高，每間客房的定價應(yīng)為（）每間房價（元）300280260220入住率65758595A．300元 B．280元 C．260元 D．220元【變式3-3】（24-25七年級下·黑龍江綏化·開學(xué)考試）某商場優(yōu)惠活動宣傳：兩個品牌分別標(biāo)有“滿100減50元”和“打6折”．請你比較以上兩種優(yōu)惠方案的異同（可舉例說明）．【題型4倒數(shù)】【例4】（24-25九年級下·甘肅張掖·期中）2025的相反數(shù)的倒數(shù)是（）A．2025 B．?12025 C．-2025 【變式4-1】（2024·山東菏澤·二模）??34A．34 B．?34 C．4【變式4-2】（24-25七年級上·陜西渭南·期中）請根據(jù)對話，解答下列問題．我不小心把老師留的作業(yè)題弄丟了，只記得式子是3?a+b?c．我告訴你：“a的相反數(shù)是2，b<4，且b的絕對值是5，c的倒數(shù)是12求式子3?a+b?c的值．【變式4-3】（24-25七年級上·甘肅蘭州·期中）若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值為2．(1)直接寫出a+b,cd,m的值；(2)求m+cd+a+b【題型5有理數(shù)乘法運(yùn)算律】【例5】（24-25七年級下·全國·假期作業(yè)）張麗用計算器計算“45.7×9.9”時，發(fā)現(xiàn)鍵“9”壞了，下面輸入不能得到正確結(jié)果的是（）．A．45.7×3.3×3 B．45.7×10?0.1 C．45.7×8.8+45.7×1.1【變式5-1】（24-25八年級下·遼寧丹東·期中）計算：4.3×202.5+7.6×202.5?1.9×202.5=．【變式5-2】（24-25六年級下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）計算：953【變式5-3】（24-25七年級下·全國·假期作業(yè)）脫式計算，能簡算的要簡算．①0.25×5.32×4②9③4【題型6有理數(shù)的除法運(yùn)算】【例6】（24-25七年級下·全國·假期作業(yè)）如果“A÷B=C”，那么“B÷A=()”．計算2016÷201620162017的結(jié)果是【變式6-1】（24-25七年級上·湖南婁底·期末）計算：4÷?8÷【變式6-2】（24-25七年級上·廣東廣州·期中）如果a+b<0，ab>0，那么下列成立的是（A．a(chǎn)>0，b>0 B．a(chǎn)>0，b<0 C．a(chǎn)<0，b<0 D．a(chǎn)<0，b>0【變式6-3】（24-25七年級上·福建福州·期末）將十進(jìn)制數(shù)36化為七進(jìn)制數(shù)為．【題型7有理數(shù)除法的應(yīng)用】【例7】（24-25七年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生平時喜歡玩洞洞樂，于是設(shè)計了一個洞洞樂游戲，游戲道具：每張A4紙上畫滿24個相同的圓圈，游戲規(guī)則：兩人一組輪流用鉛筆將圓圈戳洞，每個圓圈只戳一個洞，每人一次可戳一個或兩個圓圈（不能多戳或不戳），誰將最后一個圓圈戳洞，誰就獲勝．(1)先開始的人勝，還是后開始的人勝？你有必勝的方法嗎？請你寫出你的方法．(2)如果游戲規(guī)則改為一次只能戳一個或兩個或三個或四個圓圈（最多四個），怎樣才能必勝？請寫出你的方法．【變式7-1】（24-25七年級上·湖南株洲·開學(xué)考試）據(jù)有關(guān)資料統(tǒng)計，株洲市2023年地方財政收入約124.8億元，在湖南省的財政收入增速排名中排第六位，株洲市2023年地方財政收入相比2022年地方財政收入約增長了4%，請你計算一下株洲市2022【變式7-2】（24-25七年級上·山西長治·開學(xué)考試）中國鐵路的發(fā)展見證了新中國的滄桑巨變，高鐵已成為中國的一張名片．由我國自主研發(fā)的“復(fù)興號”高鐵的速度比“和諧號”動車組的速度快40%【變式7-3】（24-25七年級上·四川眉山·期中）中國高鐵設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)高，行駛穩(wěn)定，是中國發(fā)展的一張獨(dú)特而亮麗的“名片”．至2022年底，中國高鐵運(yùn)營里程超過4.3萬千米，位居世界第一，高鐵的票價是按“票價=每千米乘車價錢×乘車路程”的方法計算的，已知A站至G站的里程為2000千米，全程票價為800元，沿途各站的路程如圖．李老師從C站上車，購買了一張80元的票，他可能會在哪一站下車？請列式說明．

【題型8有理數(shù)乘除混合運(yùn)算】【例8】（24-25七年級上·山東威?！て谀┤鐖D，按程序框圖中的順序計算，當(dāng)輸入的初始值x為32時，則輸出的最后結(jié)果為．【變式8-1】（24-25七年級上·浙江杭州·期中）高斯被認(rèn)為是歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家之一，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱．現(xiàn)有一種高斯定義的計算式，已知a是有理數(shù)，[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[3.2]=3，[?1.5]=?2，[0.8]=0，[2]=2等，那么3.14÷A．?92 B．?6 C．?8 【變式8-2】（24-25七年級上·山東濟(jì)寧·期中）小麗同學(xué)做一道計算題的解題過程如下：12×解：原式=12×23=8?9+6÷12?6÷=?1+12?18

…………第三步=?7

…………第四步根據(jù)小麗的計算過程，回答下列問題：(1)小麗在進(jìn)行第一步時，運(yùn)用了乘法的______律；(2)她在計算中出現(xiàn)了錯誤，其中你認(rèn)為在第______步開始出錯了；(3)請你給出正確的解答過程．【變式8-3】（24-25七年級上·四川成都·期中）在一個遙遠(yuǎn)的魔法世界里，有一個神秘的圓環(huán)，它被稱為“五二○圓環(huán)”．圓環(huán)被九條線段均勻分成了的九個部分，每個部分里會隱藏著一個數(shù)字，如果你找出了全部的數(shù)字，那么你將被授予“五二○大王”的稱號．如圖所示，這九個數(shù)字中相鄰的連續(xù)三個數(shù)之積均為520，則x的值為．【題型9有理數(shù)乘除中的簡便運(yùn)算】【例9】（24-25七年級上·山西臨汾·期中）閱讀下列材料，完成后面任務(wù)．計算：?解法①：原式==?解法②：原式==解法③：原式的倒數(shù)為2=故原式=?任務(wù)：(1)上述三種解法得出的結(jié)果不同，肯定有解法是錯誤的，你認(rèn)為解法是錯誤的．（填序號）(2)在正確的解法中，你認(rèn)為解法比較簡便．（填序號）(3)請你進(jìn)行簡便計算：?1【變式9-1】（24-25六年級上·黑龍江綏化·期中）計算下面各題，能用簡便算法的就用簡便算法．(1)20(2)12(3)11(4)3?【變式9-2】（23-24七年級上·山東菏澤·開學(xué)考試）簡便計算(1)1(2)4.44÷4(3)7(4)2015×(5)1【變式9-3】（24-25七年級下·重慶·自主招生）計算：3.85÷5【題型10有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用】【例10】（24-25七年級上·廣東廣州·期中）張家口市懷來縣種植葡萄已有800多年的歷史，其中最知名的品種之一是龍眼葡萄，它被郭沫若譽(yù)為“北國明珠”．該縣質(zhì)監(jiān)局對某企業(yè)出售的葡萄進(jìn)行了抽檢，從庫中任意抽出20箱樣品進(jìn)行檢測，每箱的質(zhì)量超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量（標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為10千克）的部分記為正數(shù)，不足的部分記為負(fù)數(shù)，記錄如下表：與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差（單位：千克）?0.10?0.2+0.3+0.1+0.4箱數(shù)251462(1)若每箱與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差的絕對值小于或等于0.2千克的記為合格產(chǎn)品，則這20箱樣品的合格率是多少？(2)這批樣品總質(zhì)量是多少千克？【變式10-1】（24-25七年級上·湖北黃岡·期中）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，……，這一列數(shù)滿足：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它的前兩個數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)有多少個？【變式10-2】（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）甲、乙兩輛汽車同時分別從A、B兩站相對開出，第一次相遇時離A站有90千米，然后各自按原來速度繼續(xù)行駛，分別到達(dá)對方