試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湖南省天壹名校聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)M1,A．?1,?2,?3 B．3．國慶8天小長(zhǎng)假過后，某同學(xué)統(tǒng)計(jì)了該年級(jí)3個(gè)班級(jí)的同學(xué)在假期旅游去過的城市個(gè)數(shù)分別為12，15，18，則這三個(gè)數(shù)據(jù)的方差為（）A．3 B．4 C．5 D．64．設(shè)直線l的方程為x?ycosθ+2=A．0,π B．π4,π25．設(shè)空間向量e1=1A．m=4,C．m=4,6．設(shè)cosα2?A．398 B．?34 C．±7．已知圓臺(tái)O1O2的上、下底面圓均在體積為323πA．13π B．22π C．11π8．已知空間向量OA?=1,0,A．1 B．42121 C．17二、多選題9．已知正數(shù)a，b滿足A．a(chǎn)2?bC．1a+110．已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1的各個(gè)面均為含A．a(chǎn)B．AC．AD．11．空間內(nèi)不重合的兩平面α，β的法向量分別為n1→，n2A．當(dāng)α⊥β時(shí)，AB??C．當(dāng)α∥β時(shí)，n1→與AB共線 D．當(dāng)l三、填空題12．設(shè)直線l1：x?2y13．已知集合A=x2?14．空間內(nèi)不共面的三條直線l，m，n滿足l⊥m，l⊥n四、解答題15．已知直線l1(1)求過點(diǎn)A1,4(2)求過l1與l16．如圖，在幾何體ABCDEF中，底面ABCD為平行四邊形，

(1)證明：AC(2)若AF∥DE，且CD17．記△ABC的內(nèi)角A,B(1)求A；(2)若AB=AC=2318．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?EFGH中，點(diǎn)M和N分別為棱FG和GH的中點(diǎn)．平面(1)求點(diǎn)G到平面α的距離；(2)求DP，并證明：PQ//(3)求直線PF與平面E19．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥AB，A

(1)證明：PA⊥平面(2)已知E,A,（i）證明：C,（ii）若直線OF與平面PBD所成角的正弦值為4答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《湖南省天壹名校聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案BCDCBDCBBDACD題號(hào)11答案ACD1．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得.【詳解】設(shè)z=所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為?3故選：B．2．C【分析】根據(jù)關(guān)于誰對(duì)稱誰不變這一結(jié)論直接寫結(jié)論即可.【詳解】點(diǎn)M1,?2,故選：C3．D【分析】由平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可求解.【詳解】易得這三個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)x=12+故選D.4．C【分析】先根據(jù)直線方程的特點(diǎn)，分cosθ=0和cos【詳解】當(dāng)cosθ=0時(shí)，直線l的方程為x=?當(dāng)cosθ≠0時(shí)，直線l因?yàn)閏osθ所以1cosθ∈又因?yàn)棣痢仕越Y(jié)合正切函數(shù)的圖象可得：α∈綜上可得：直線l的傾斜角α的取值范圍是π4故選：C.5．B【分析】可設(shè)e2【詳解】當(dāng)m=4,假設(shè)e2則e1假設(shè)e2則x+當(dāng)m=3,n=故e2=e當(dāng)m=4,故e1當(dāng)m=3,故e1故選：B．6．D【分析】先利用余弦二倍角公式將cosα?π6轉(zhuǎn)化為與【詳解】由余弦二倍角公式可得cosα所以sinα故選：D．7．C【分析】先作軸截面圖，把圓臺(tái)和球的空間組合體轉(zhuǎn)化為平面圖形；然后在軸截面中，利用矩形對(duì)邊相等的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)值判斷三角形形狀，確定球心位置；接著根據(jù)球的體積公式求出球半徑，從而得到圓臺(tái)上下底的半徑；最后代入圓臺(tái)表面積公式計(jì)算出結(jié)果【詳解】根據(jù)題意作圓臺(tái)O1O2的軸截面圖如下，因?yàn)镺2B所以在直角△ACB中cos∠B=B又點(diǎn)A,B都在球面上，且球心O一定在直線O1O2由題意設(shè)圓臺(tái)O1O2的上、下底面圓的半徑O1A,O又知球O的體積為323π，則其半徑為R=2.因此故選：C．8．B【分析】證明出四點(diǎn)共面后，根據(jù)當(dāng)OP⊥平面DEC時(shí)，OP【詳解】設(shè)OD因?yàn)閤4+y2+所以D,E,C,P四點(diǎn)共面，當(dāng)CD?=設(shè)平面DEC的一個(gè)法向量m→取a=1，則b=2,所以O(shè)到平面DEC的距離故選：B．9．BD【分析】舉反例可判斷A；由基本不等式可判斷BC；由基本不等式結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得D.【詳解】當(dāng)a=b=1時(shí)a+b2=a21a+即a=b=log2a+log2所以ab≤1，于是log2a故選：BD.10．ACD【分析】首先計(jì)算出a?【詳解】因?yàn)槠叫辛骟wABCD?A且a,b,c兩兩之間的夾角均為故a+AC故B錯(cuò)誤；AC12cos∠又cosa,b故選：ACD11．ACD【分析】空間內(nèi)取一點(diǎn)C使得n1=B【詳解】不妨取空間內(nèi)一點(diǎn)C使得n1→=由α⊥β可知BC同理AB由α∥β可得n1→//n2→由l∥β可得AB??n2→=故選：ACD．【點(diǎn)睛】12．1【分析】由直線平行得到m+【詳解】因?yàn)閘1//l所以l1與l2的斜率相等，所以直線l2所以m+2m故答案為:1.13．0【分析】通過解不等式和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別求出集合A,【詳解】由2?xx≥0由5x>0可得y=5所以A∩故答案為：0,14．5【分析】由l⊥m，l⊥n得AB?AD=0，AB?BC=0，進(jìn)而得【詳解】由l⊥m，因?yàn)锽C=AC?AB由AB?C由AD?BC=而AB?A由∠Bcos∠BAC=cos∠故由勾股定理得BD=故答案為：5．

15．(1)y(2)x【分析】（1）求出直線l2的斜率，根據(jù)斜率存在的情況下，互為垂直的直線的斜率乘積為?1，可設(shè)所求直線方程為y=（2）聯(lián)立方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線方程為xa【詳解】（1）由直線l2：2所以根據(jù)垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為y=則依題意有4=32所以所求直線的斜截式方程為y=（2）聯(lián)立x?2y設(shè)直線方程為xa依題意a=解得a=所以所求直線的一般式方程為x?16．(1)證明見解析(2)2【分析】（1）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，過D向OE作垂線，垂足為H，先證DH（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE【詳解】（1）設(shè)AC∩BD=O，連接OE因?yàn)槠矫鍮DE⊥平面EAC，平面BDE∩平面

因?yàn)锳C?平面EA因?yàn)镈E⊥平面ABCD因?yàn)镈H∩DE=D，因?yàn)锽D?平面BD（2）因?yàn)锳D以D為原點(diǎn)，DA，D則A2AC設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量為則n?AC=?設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為則m?BF=?

設(shè)平面BEF與平面EAC的夾角為即平面BEF與平面EA17．(1)A=(2)最小值為2.【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求值即可；（2）設(shè)∠ADE=α，則∠AED=2π【詳解】（1）根據(jù)正弦定理，可得2sin所以2sin因?yàn)锽∈0,又因?yàn)锳∈0,（2）由（1）可知，A=因?yàn)锳B=A設(shè)∠ADE在△ABD中，由正弦定理得A在△ADE所以DE由α>π62π所以當(dāng)2α?π6=所以，DE18．(1)2(2)43(3)2【分析】（1）根據(jù)等體積法，構(gòu)造三棱錐，求出點(diǎn)到平面的距離.（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間中證明線面平行的向量方法，證明線面平行即可.（3）根據(jù)空間向量的數(shù)量積，求線面角的正弦值即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)G到平面α的距離為d，等價(jià)于到平面AMN的距離為三棱錐G?AM其中S△AMN表示△A則有13?S則S△又S△所以d=21717，即點(diǎn)G到平面（2）如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,D則A2因?yàn)镸，N分別為棱FG和G點(diǎn)P在棱DH上，設(shè)P由P在平面AMN上，則AP與AM,所以?2,0,zP=故P0同理，設(shè)Q2,2,zQ，令則zQ=4平面ABCD的一個(gè)法向量為k=0又直線PQ不在平面ABCD內(nèi)，所以（3）由（2）得PF設(shè)平面EBC的法向量為n=x,令y=1，解得z=1,設(shè)直線PF與平面EBC則sinφ即直線PF與平面EBC19．(1)證明見解析(2)（i）證明見解析；（ii）2【分析】（1）利用勾股定理可證明BE⊥B（2）（i）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)表示以及共線定理可證明出C,方法二：不妨記M為EC中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，可得MN⊥AC，再由線面垂直判定定理可證明（ii）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，不妨設(shè)F2,λ,【詳解】（1）顯然EB2=EA由BC⊥AB,所以BC⊥平面

由PA?平面PA又PA⊥AB,可得PA⊥平面（2）（i）方法一：建系法：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC的方向?yàn)閤軸正方向，AB的方向?yàn)閥軸正方向，AP的方向?yàn)閦

則A0,0則由OE即x02解得x0于是O1故由EO∩E方法二：幾何法：不妨記