初中等差數(shù)列專題講解與習(xí)題在初中數(shù)學(xué)的知識海洋中，數(shù)列是一個非常重要的組成部分，它不僅連接著小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也為高中更復(fù)雜的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)埋下伏筆。而等差數(shù)列，作為數(shù)列中最基礎(chǔ)也最具代表性的一種，更是我們初中階段必須熟練掌握的內(nèi)容。今天，我們就一同深入探討等差數(shù)列的奧秘，從基本概念到常用公式，再到實際應(yīng)用，幫助同學(xué)們構(gòu)建起完整的知識體系，并通過習(xí)題加以鞏固。一、什么是等差數(shù)列？——從“等差”二字說起顧名思義，“等差”指的是“相等的差”。那么，一個數(shù)列滿足什么條件才能被稱為等差數(shù)列呢？定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。例如：1.1，2，3，4，5，...（后一項減前一項都等于1，公差d=1）2.5，10，15，20，25，...（后一項減前一項都等于5，公差d=5）3.10，8，6，4，2，0，-2，...（后一項減前一項都等于-2，公差d=-2）這里需要特別注意的是：*“從第二項起”，也就是說，我們比較的是a?-a?，a?-a?，a?-a?，...而不是其他項的差。*“同一個常數(shù)”，這個“差”必須是恒定不變的。如果差不固定，就不是等差數(shù)列。二、等差數(shù)列的通項公式——找到第n項的“鑰匙”在學(xué)習(xí)數(shù)列時，我們常常需要知道數(shù)列中的某一項具體是多少，比如第10項、第20項，甚至第n項。如果我們能找到一個公式，直接根據(jù)項數(shù)n就能求出該項的值，那將會非常方便。這個公式就是通項公式。如何推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式呢？已知一個等差數(shù)列，首項（第一項）為a?，公差為d。那么：a?=a?a?=a?+da?=a?+d=(a?+d)+d=a?+2da?=a?+d=(a?+2d)+d=a?+3d...以此類推，我們可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：等差數(shù)列的通項公式：a?=a?+(n-1)d其中：*a?表示數(shù)列的第n項（第n項的通項）*a?表示數(shù)列的首項*d表示數(shù)列的公差*n表示項數(shù)（n為正整數(shù)）這個公式非常重要，它揭示了等差數(shù)列中任意一項與首項、公差以及項數(shù)之間的關(guān)系。我們可以利用它：1.已知a?,d,n，求a?；2.已知a?,a?,n，求d；3.已知a?,a?,d，求n；4.已知a?,d,n，求a?。例題1：已知一個等差數(shù)列的首項a?=3，公差d=2，求它的第5項a?和第10項a??。解：根據(jù)通項公式a?=a?+(n-1)da?=3+(5-1)×2=3+4×2=3+8=11a??=3+(10-1)×2=3+9×2=3+18=21答：該數(shù)列的第5項是11，第10項是21。例題2：已知一個等差數(shù)列中，a?=10，a?=16，求該數(shù)列的首項a?和公差d。解：由通項公式可得：a?=a?+(3-1)d=a?+2d=10...(1)a?=a?+(5-1)d=a?+4d=16...(2)用方程(2)減去方程(1)：(a?+4d)-(a?+2d)=16-102d=6d=3將d=3代入方程(1)：a?+2×3=10a?+6=10a?=4答：該數(shù)列的首項a?是4，公差d是3。三、等差數(shù)列的判斷與證明如何判斷一個給定的數(shù)列是不是等差數(shù)列呢？根據(jù)定義，我們只需驗證從第二項起，每一項與它前一項的差是否都等于同一個常數(shù)。方法：對于數(shù)列{a?}，若對于任意的正整數(shù)n≥2，都有a?-a???=d(d為常數(shù))，則數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，d為公差。例題3：判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列，如果是，求出其首項和公差。(1)1，3，5，7，9，...(2)2，4，7，11，16，...(3)5，5，5，5，5，...解：(1)3-1=2，5-3=2，7-5=2，9-7=2，...差值均為2。所以是等差數(shù)列。首項a?=1，公差d=2。(2)4-2=2，7-4=3，11-7=4，16-11=5，...差值不相等。所以不是等差數(shù)列。(3)5-5=0，5-5=0，...差值均為0。所以是等差數(shù)列。首項a?=5，公差d=0。（公差為0的等差數(shù)列是常數(shù)列）四、等差數(shù)列的前n項和公式——快速求和的利器在實際問題中，我們不僅需要知道數(shù)列的某一項，有時還需要求出這個數(shù)列前n項的總和，比如前10項的和，前n項的和。如果一項一項地加，當(dāng)n很大時會非常繁瑣。因此，我們需要一個高效的前n項和公式。等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)：設(shè)等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，即S?=a?+a?+a?+...+a???+a?。我們可以將這個和式倒過來寫：S?=a?+a???+...+a?+a?+a?。將這兩個式子相加：2S?=(a?+a?)+(a?+a???)+(a?+a???)+...+(a???+a?)+(a?+a?)在等差數(shù)列中，a?+a???=(a?+d)+(a?-d)=a?+a?同理，a?+a???=a?+a?...這樣的組合一共有n組。因此，2S?=n(a?+a?)所以，S?=n(a?+a?)/2這就是等差數(shù)列前n項和的第一個公式，它表示前n項和等于項數(shù)乘以首項與末項之和的一半。這個公式形式優(yōu)美，也容易記憶。如果我們將通項公式a?=a?+(n-1)d代入上式，還可以得到另一個常用的前n項和公式：S?=n(a?+a?+(n-1)d)/2=n(2a?+(n-1)d)/2即：S?=na?+n(n-1)d/2這兩個公式在不同的已知條件下各有方便之處，同學(xué)們要靈活運用。例題4：求等差數(shù)列1，3，5，7，9，...的前10項和。解法一：已知a?=1，d=2，n=10。先求a??：a??=1+(10-1)×2=1+18=19再用S?=n(a?+a?)/2：S??=10×(1+19)/2=10×20/2=100。解法二：直接用S?=na?+n(n-1)d/2：S??=10×1+10×(10-1)×2/2=10+10×9×2/2=10+90=100。答：該數(shù)列的前10項和為100。例題5：一個等差數(shù)列的首項a?=5，公差d=3，求它的前8項和。解：已知a?=5，d=3，n=8。使用公式S?=na?+n(n-1)d/2S?=8×5+8×(8-1)×3/2=40+8×7×3/2=40+(8×21)/2=40+84=124。答：該數(shù)列的前8項和為124。五、例題解析與方法總結(jié)例題6：在等差數(shù)列{a?}中，已知a?=20，a?=54，S?=999，求公差d和項數(shù)n。分析：已知a?，a?，S?，求n和d?？梢韵壤们蠛凸絊?=n(a?+a?)/2求出n，再用通項公式求d。解：由S?=n(a?+a?)/2可得：999=n(20+54)/2999=n×74/2999=37nn=999/37=27(這里可以簡單計算37×27：37×20=740，37×7=259，740+259=999)所以項數(shù)n=27。再由通項公式a?=a?+(n-1)d可得：54=20+(27-1)d54-20=26d34=26dd=34/26=17/13≈1.307...(這里除不盡，保留分數(shù)形式即可)答：項數(shù)n為27，公差d為17/13。例題7：已知一個等差數(shù)列的前5項和為35，前10項和為120，求這個數(shù)列的首項a?和公差d。分析：這是已知S?和S??，求a?和d的問題。我們可以利用前n項和公式S?=na?+n(n-1)d/2列出方程組求解。解：由題意可得：S?=5a?+5×(5-1)d/2=5a?+10d=35...(1)S??=10a?+10×(10-1)d/2=10a?+45d=120...(2)化簡方程(1)：兩邊同時除以5，得a?+2d=7...(1')化簡方程(2)：兩邊同時除以5，得2a?+9d=24...(2')由方程(1')得：a?=7-2d...(1'')將(1'')代入(2')：2×(7-2d)+9d=2414-4d+9d=245d=10d=2將d=2代入(1'')：a?=7-2×2=3答：該數(shù)列的首項a?是3，公差d是2。方法總結(jié)：1.理解定義是基礎(chǔ)：深刻理解等差數(shù)列“從第二項起，每一項與前一項的差為常數(shù)”這一核心定義。2.熟記公式是關(guān)鍵：通項公式a?=a?+(n-1)d和前n項和公式S?=n(a?+a?)/2及S?=na?+n(n-1)d/2必須熟練掌握。3.靈活選用公式：根據(jù)題目所給條件，選擇最合適的公式進行計算。比如已知首項、公差、項數(shù)，求末項用通項公式；已知首項、末項、項數(shù)，求和用第一個求和公式；已知首項、公差、項數(shù)，求和用第二個求和公式。4.方程思想很重要：當(dāng)遇到未知量較多時，要敢于設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題意列出方程或方程組求解（如例題2、例題6、例題7）。5.細心計算是保障：數(shù)列計算涉及到數(shù)字和字母，要仔細運算，避免粗心出錯。六、習(xí)題鞏固基礎(chǔ)過關(guān)1.填空題：(1)等差數(shù)列5，8，11，14，...的公差d=______，第5項a?=______。(2)等差數(shù)列-3，-1，1，3，...的首項a?=______，第6項a?=______。(3)在等差數(shù)列中，a?=2，d=3，則a?=______。(4)在等差數(shù)列中，a?=10，a?=2，那么公差d=______。(5)等差數(shù)列1，2，3，4，...，前100項的和S???=______。2.選擇題：(1)下列數(shù)列中，是等差數(shù)列的為（）A.1，2，4，8，...B.3，-3，3，-3，...C.5，5，5，5，...D.1，3，6，10，...(2)等差數(shù)列{a?}中，a?=2，a?=6，則公差d=（）A.2B.3C.4D.8(3)等差數(shù)列{a?}的前n項和公式不可能是（）A.S?=3n2+2nB.S?=3n+2C.S?=3nD.S?=33.