高一數(shù)學(xué)重點(diǎn)復(fù)習(xí)資料匯編親愛(ài)的同學(xué)們，高一數(shù)學(xué)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，其內(nèi)容不僅豐富，而且邏輯性強(qiáng)，對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)有著深遠(yuǎn)的影響。這份復(fù)習(xí)資料匯編旨在幫助大家系統(tǒng)梳理高一數(shù)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)，鞏固基礎(chǔ)，提升解題能力。希望同學(xué)們能結(jié)合自身學(xué)習(xí)情況，合理利用這份資料，查漏補(bǔ)缺，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。一、函數(shù)的概念與基本性質(zhì)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿始終。理解函數(shù)的概念，掌握其基本性質(zhì)，是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。1.1函數(shù)的定義在一個(gè)變化過(guò)程中，設(shè)有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。記作y=f(x)，其中x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與x對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。核心要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域。三者缺一不可，其中定義域和對(duì)應(yīng)法則是確定函數(shù)的關(guān)鍵。定義域的求解：在求解函數(shù)定義域時(shí)，需注意以下幾點(diǎn)：*分式的分母不為零；*偶次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；*對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零；*零次冪的底數(shù)不為零；*實(shí)際問(wèn)題中，需考慮變量的實(shí)際意義。1.2函數(shù)的表示方法函數(shù)的常用表示方法有解析法、列表法和圖像法。*解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，簡(jiǎn)潔明了，便于進(jìn)行理論分析和運(yùn)算。*列表法：通過(guò)列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，直觀清晰，適用于自變量取值較少或有特定對(duì)應(yīng)關(guān)系的情況。*圖像法：用圖像來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，能直觀地反映函數(shù)的變化趨勢(shì)和某些性質(zhì)。1.3函數(shù)的基本性質(zhì)1.3.1單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x?，x?，當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)（或f(x?)>f(x?)），那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。判斷方法：*定義法：取值、作差（或作商）、變形、定號(hào)、下結(jié)論。*圖像法：觀察函數(shù)圖像在某區(qū)間內(nèi)是上升還是下降。*復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：遵循“同增異減”的原則（后續(xù)學(xué)習(xí)）。幾何意義：函數(shù)在單調(diào)遞增區(qū)間上的圖像從左到右是上升的；在單調(diào)遞減區(qū)間上的圖像從左到右是下降的。1.3.2奇偶性定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)；如果對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。判斷步驟：1.首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱，則函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。2.若定義域?qū)ΨQ，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系。幾何意義：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。1.3.3最值定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），且存在x?∈I，使得f(x?)=M，那么稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值（或最小值）。求法：*利用函數(shù)的單調(diào)性：在閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值在區(qū)間端點(diǎn)處取得。*利用函數(shù)的圖像：觀察圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)。*對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，可通過(guò)配方或頂點(diǎn)公式求最值。1.4幾類重要的函數(shù)1.4.1一次函數(shù)與正比例函數(shù)形如y=kx+b(k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)。當(dāng)b=0時(shí)，即y=kx(k≠0)，叫做正比例函數(shù)。其圖像是一條直線，k為斜率，b為y軸上的截距。1.4.2二次函數(shù)形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)。其圖像是一條拋物線。*頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h,k)為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。*圖像與性質(zhì)：開(kāi)口方向（由a的符號(hào)決定）、對(duì)稱軸（x=-b/(2a)或x=h）、頂點(diǎn)坐標(biāo)、單調(diào)性、最值。*二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系：密切相關(guān)，可通過(guò)二次函數(shù)的圖像來(lái)理解和解決方程與不等式的問(wèn)題。1.4.3冪函數(shù)（簡(jiǎn)單介紹）形如y=x^α(α為常數(shù))的函數(shù)叫做冪函數(shù)。我們學(xué)習(xí)過(guò)的如y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=√x等都屬于冪函數(shù)。了解它們的定義域、奇偶性和圖像特征是必要的。二、基本初等函數(shù)（Ⅰ）——指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本初等函數(shù)，它們互為反函數(shù)，在數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中都有廣泛的應(yīng)用。2.1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算*根式：若x?=a，則x叫做a的n次方根。根式的性質(zhì)：(?√a)?=a（n為奇數(shù)時(shí)，a∈R；n為偶數(shù)時(shí)，a≥0）；?√a?=|a|（n為偶數(shù)），?√a?=a（n為奇數(shù)）。*分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a^(m/n)=?√(a?)(a>0,m,n∈N*,n>1)；a^(-m/n)=1/(a^(m/n))(a>0,m,n∈N*,n>1)。*實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：a^r·a^s=a^(r+s)；(a^r)^s=a^(rs)；(ab)^r=a^rb^r(a>0,b>0,r,s∈R)。2.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)定義：形如y=a^x(a>0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。圖像與性質(zhì)：*定義域：R。*值域：(0,+∞)。*過(guò)定點(diǎn)(0,1)。*當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞減。*非奇非偶函數(shù)。2.3對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算*對(duì)數(shù)的定義：如果a^b=N(a>0且a≠1)，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作b=log?N。其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。*常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記作lgN；以無(wú)理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記作lnN。*對(duì)數(shù)的性質(zhì)：*負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)。*log?1=0，log?a=1。*a^(log?N)=N(對(duì)數(shù)恒等式)。*對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么：*log?(MN)=log?M+log?N。*log?(M/N)=log?M-log?N。*log?M?=nlog?M(n∈R)。*換底公式：log_bN=log?N/log?b(a>0且a≠1,b>0且b≠1,N>0)。2.4對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)定義：形如y=log?x(a>0且a≠1)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)。圖像與性質(zhì)：*定義域：(0,+∞)。*值域：R。*過(guò)定點(diǎn)(1,0)。*當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。*非奇非偶函數(shù)。2.5指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)y=a^x(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log?x(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。三、數(shù)列數(shù)列是按照一定順序排列著的一列數(shù)，它是一種特殊的函數(shù)。等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最基本、最重要的數(shù)列。3.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法*定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。*數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{a?}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。*數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列{a?}的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)a?與它的前一項(xiàng)a???（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。*數(shù)列的前n項(xiàng)和：S?=a?+a?+...+a?。并且有a?=S?-S???(n≥2)，a?=S?。3.2等差數(shù)列定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。通項(xiàng)公式：a?=a?+(n-1)d。等差中項(xiàng)：若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且A=(a+b)/2。前n項(xiàng)和公式：S?=n(a?+a?)/2或S?=na?+n(n-1)d/2。性質(zhì)：*在等差數(shù)列{a?}中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，則a?+a?=a?+a_q。*等差數(shù)列的公差d不變，數(shù)列的單調(diào)性由d決定。3.3等比數(shù)列定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)。通項(xiàng)公式：a?=a?q^(n-1)(a?≠0,q≠0)。等比中項(xiàng)：若a，G，b成等比數(shù)列，則G叫做a與b的等比中項(xiàng)，且G2=ab(ab>0)。前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，S?=na?；當(dāng)q≠1時(shí)，S?=a?(1-q?)/(1-q)=a?(q?-1)/(q-1)。性質(zhì)：*在等比數(shù)列{a?}中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，則a?·a?=a?·a_q。*等比數(shù)列的公比q≠0，奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，偶數(shù)項(xiàng)同號(hào)。3.4數(shù)列求和的常用方法*公式法：直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和。*倒序相加法：適用于與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等的數(shù)列求和（如等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)）。*錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的新數(shù)列求和（如等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)）。*裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和。常見(jiàn)的裂項(xiàng)形式有：1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)。四、三角函數(shù)三角函數(shù)是研究周期性現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)工具，其概念源于對(duì)三角形邊角關(guān)系的研究，后推廣到任意角。4.1任意角和弧度制*任意角：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角。*象限角：在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角。*終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}。*弧度制：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示。*角度與弧度的換算：180°=πrad，1°=π/180rad，1rad=(180/π)°。*扇形的弧長(zhǎng)與面積公式：弧長(zhǎng)l=|α|r(α為圓心角的弧度數(shù))；面積S=1/2lr=1/2|α|r2。4.2任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)重合）的坐標(biāo)為(x,y)，它與原點(diǎn)的距離為r(r=√(x2+y2)>0)，那么：*正弦函數(shù)：sinα=y/r*余弦函數(shù)：cosα=x/r*正切函數(shù)：tanα=y/x(x≠0)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)：*sinα：一、二象限正，三、四象限負(fù)。*cosα：一、四象限正，二、三象限負(fù)。*tanα：一、三象限正，二、四象限負(fù)。特殊角的三角函數(shù)值：需熟記0°、30°、45°、60°、90°、180°、270°、360°等對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：*平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1*商數(shù)關(guān)系：tanα=sinα/cosα(cosα≠0)4.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式的作用是將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。記憶口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”（“奇”、“偶”指的是k·π/2+α中k的奇偶性；“變”與“不變”指的是三角函數(shù)名稱的變化；“符號(hào)看象限”指的是把α看作銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)）。4.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)4.4.1正弦函數(shù)y=sinx*定義域：R*值域：[-1,1]*周期性：最小正周期為2π*奇偶性：奇函數(shù)*單調(diào)性：在[