第2講平面向量的概念及其運(yùn)算(重點(diǎn)題型方法與技巧)目錄類型一：向量的有關(guān)概念類型二：相等向量與共線向量類型三：向量的加法與減法綜合類型四：向量的數(shù)乘運(yùn)算類型五：利用向量共線定理判斷三點(diǎn)共線類型六：利用向量共線定理求參數(shù)類型七：平面向量的數(shù)量積（定值）類型八：求向量模（定值）類型九：求向量的夾角類型十：向量的投影類型十一：求向量模（最值，范圍）類型十二：求平面向量數(shù)量積（最值，范圍）類型十三：新定義題類型一：向量的有關(guān)概念典型例題例題1．設(shè)是的相反向量，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．與的長(zhǎng)度必相等 B．C．與一定不相等 D．是的相反向量【答案】C【詳解】根據(jù)相反向量的定義可知，與的長(zhǎng)度必相等，相反向量為共線向量，故A，B正確；當(dāng)與都為零向量時(shí)，它們是相反向量，此時(shí)相等，故C錯(cuò)誤，是的相反向量，則是的相反向量，D正確，故選：C.例題2．（多選）下列說法中正確的是（

）A．若為單位向量，則 B．若與共線，則或C．若，則 D．是與非零向量共線的單位向量【答案】CD【詳解】對(duì)于A中，向量的方向不一定相同，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，向量與的長(zhǎng)度不一定相等，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，根據(jù)零向量的定義，可得，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得與向量同向，又由的模等于，所以是與非零向量共線的單位向量，所以D正確.故選：CD.例題3．有下列命題：①單位向量一定相等；②起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；③相等的非零向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；④方向相反的兩個(gè)單位向量互為相反向量；⑤起點(diǎn)相同且模相等的向量的終點(diǎn)的軌跡是圓．其中正確的命題的個(gè)數(shù)為______．【答案】【詳解】對(duì)于①，兩個(gè)單位向量方向不同時(shí)不相等，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，方向相同且模長(zhǎng)相等的向量為相等向量，與起點(diǎn)無關(guān)，②正確；對(duì)于③，相等的非零向量方向相同且模長(zhǎng)相等，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)不同，③正確；對(duì)于④，單位向量模長(zhǎng)相等，又方向相反，則這兩個(gè)向量為相反向量，④正確；對(duì)于⑤，若兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，且模長(zhǎng)相等且不為零，則終點(diǎn)的軌跡為球面，⑤錯(cuò)誤；則正確的命題個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：.同類題型演練1．給出如下命題：①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】對(duì)于①，向量與向量，長(zhǎng)度相等，方向相反，故①正確；對(duì)于②，向量與平行時(shí)，或?yàn)榱阆蛄繒r(shí)，不滿足條件，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)也相同，故③正確；對(duì)于④，兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，不一定是共線向量，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，向量與是共線向量，點(diǎn)，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯(cuò)誤．綜上，正確的命題是①③．故選：B．2．下列命題中，真命題是（

）A．兩個(gè)單位向量一定相等B．共線的單位向量必相等C．若與不共線，則與都是非零向量D．兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度必須都相同【答案】C【詳解】A．單位向量的方向不同時(shí)則不相等，故錯(cuò)誤；B．共線向量的方向、模長(zhǎng)都可能不相等，故錯(cuò)誤；C．因?yàn)榱阆蛄颗c任何向量平行，因此若不共線，則其中沒有零向量，故正確；D．相等向量只需滿足方向相同，長(zhǎng)度相同，故錯(cuò)誤；故選：C.3．（多選）下列結(jié)論中正確的是（

）A．與是否相等與，的方向無關(guān) B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量C．若，都是單位向量，則 D．向量與相等【答案】AB【詳解】對(duì)于C，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個(gè)單位向量不一定相等；對(duì)于D，向量與互為相反向量，由向量模的定義，零向量的定義AB正確．故選：AB．類型二：相等向量與共線向量典型例題例題1．設(shè)，都是非零向量，成立的充分條件是（

）A． B．C． D．且【答案】B【詳解】解：因?yàn)楸硎九c同向的單位向量，表示與同向的單位向量，所以要使成立，即、方向上的單位向量相等，則必需保證、的方向相同，故成立的充分條件可以是；故選：B．例題2．如圖，等腰梯形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在兩腰、上，過點(diǎn)，且，則下列等式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均錯(cuò)；因?yàn)椋瑒t，則，則，即，即，，則，，即為的中點(diǎn)，所以，，C錯(cuò)，D對(duì).故選：D.例題3．如圖，和是在各邊的處相交的兩個(gè)全等的三角形，設(shè)的邊長(zhǎng)為，圖中列出了長(zhǎng)度均為的若干個(gè)向量，則：（1）與相等的向量有______；（2）與共線，且模相等的向量有______．【答案】

、

、、、、【詳解】（1）由圖可知，與相等的向量有、；（2）由圖可知，與共線，且模相等的向量有、、、、，故答案為：、；、、、、.同類題型演練1．下列命題中，正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等D．若，則與方向相同或相反【答案】B【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：平行于任何向量，若，滿足，，但不一定滿足，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)：根據(jù)向量傳遞性，正確；對(duì)于C選項(xiàng)：兩個(gè)單位向量互相平行，這兩個(gè)單位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)：零向量與任何非零向量都平行,且零向量的方向任意.如果中有一個(gè)是零向量,那么方向相同或相反,或者不同，故D錯(cuò).故選：B.2．，，，均為非零向量，且，，，則四邊形ABCD的形狀是______．【答案】矩形【詳解】由已知，，則且共線反向，且共線反向，則四邊形ABCD為平行四邊形，又，對(duì)角線相等，所以四邊形ABCD為矩形.故答案為：矩形.3．如圖所示，已知四邊形ABCD是矩形，O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集，向量的集合不重合且，則集合T有______個(gè)元素．【答案】12【詳解】由已知得，，且不重合，可得向量集合為（不含相等向量）：以為起點(diǎn)：，以為起點(diǎn)：，以為起點(diǎn)：，以為起點(diǎn)：，以為起點(diǎn)：綜上所述，集合T有12個(gè)元素.故答案為：12類型三：向量的加法與減法綜合典型例題例題1．在四邊形中，，則四邊形是（

）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四邊形【答案】D【詳解】因?yàn)樗倪呅沃校?所以四邊形為平行四邊形，故選：D例題2．在正方形中，是的中點(diǎn)．若，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】如圖，，，且在正方形中，，，，，故選：C例題3．如圖，在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：在中，為的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以；故選：C例題4．如圖，在平行四邊形中，設(shè)．試用求表示及．【答案】【詳解】在平行四邊形中,,所以進(jìn)而得同類題型演練1．在平行四邊形中，為上任一點(diǎn)，則等于A． B． C． D．【答案】A【詳解】,又四邊形是平行四邊形，，故選：A2．化簡(jiǎn)后等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，故選：.3．在中，D為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)橹?，D為BC的中點(diǎn),所以，，故選：B4．在矩形ABCD中，，則向量的長(zhǎng)度等于______．【答案】6【詳解】因?yàn)?所以的長(zhǎng)度為長(zhǎng)度的2倍.又,所以向量的長(zhǎng)度為.故答案為：6.類型四：向量的數(shù)乘運(yùn)算典型例題例題1．已知是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，??是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【詳解】因?yàn)闉榉较蛏系膯挝幌蛄?，為方向上的單位向量，則的方向與的角平分線一致，由，可得，即，所以點(diǎn)P的軌跡為的角平分線所在直線，故點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的內(nèi)心.故選：C.例題2．已知是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若，其中，則點(diǎn)一定在（）A．邊所在的直線上 B．邊所在的直線上C．邊所在的直線上 D．的內(nèi)部【答案】A【詳解】∵，∴，則，則∴∴P點(diǎn)在AC邊所在直線上．故選：A．例題3．莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以，，，，為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且＝.下列關(guān)系中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】解：在如圖所示的正五角星中，以，，，，為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且．在A中，，故A正確；在B中，，故B錯(cuò)誤；在C中，，故C錯(cuò)誤；在D中，，，若，則，不合題意，故D錯(cuò)誤．故選：A．例題4．在中，為重心，，，分別是、、邊的中點(diǎn)，則______．【答案】.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)闉橹匦?，所以，所以，故答案為?同類題型演練1．已知G是的重心，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，，，故選：D2已知，若記，則______．【答案】【詳解】，∴，則有，∴.故答案為：3．已知，若記，則的值為______．【答案】【詳解】由得,故答案為：4．化簡(jiǎn)：___________.【答案】【詳解】解：，故答案為：類型五：利用向量共線定理判斷三點(diǎn)共線典型例題例題1．已知，則下列結(jié)論中成立的是（

）A．，，三點(diǎn)共線 B．，，三點(diǎn)共線C．，，三點(diǎn)共線 D．，，三點(diǎn)共線【答案】C【詳解】解：,所以A，D，C三點(diǎn)共線.故選:C.例題2．如圖，在平行四邊形中，，．設(shè)，．(1)用，表示，；(2)用向量的方法證明：，，三點(diǎn)共線．【答案】(1)，；(2)答案見詳解.【詳解】（1）解：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可得..（2）證明：由（1）知，，所以，所以，所以，，共線.又直線，直線有公共點(diǎn)，所以，，，三點(diǎn)共線.例題3．如圖所示，在中，，分別是，的中點(diǎn)，.(1)用表示；(2)求證：，，三點(diǎn)共線．【答案】(1)，，，，(2)證明見解析【詳解】（1）解：在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，則，故，，，；（2）證明：因?yàn)椋?，所以，所以，又因有公共點(diǎn)，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．同類題型演練1．已知，是不共線的向量，，若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)滿足（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】,,因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以,故，所以故選：D2．設(shè)不共線的兩個(gè)向量，，若，，.求證：、、三點(diǎn)共線.【詳解】因?yàn)?，，，而，所以得到所以和共線，又有公共點(diǎn)，所以、、三點(diǎn)共線.3．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為平面上任一點(diǎn)，，，三點(diǎn)滿足．

求的值；【答案】4【詳解】∵

，∴，∴，∴，∴，，點(diǎn)共線且．類型六：利用向量共線定理求參數(shù)典型例題例題1．已知平行四邊形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，（），若，則（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【詳解】解：依題意設(shè)，則，即，所以，故；故選：B．例題2．設(shè)，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，，若，，三點(diǎn)共線，則的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以向量、共線，所以存在，使得，即，即，因?yàn)?、不共線，所以，消去，得，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.故選：A例題3．設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，（1）若，，，求證：，，三點(diǎn)共線；（2）試確定實(shí)數(shù)，使和共線．【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）證明：，，，，共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．（2）和共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使，即，.，是兩個(gè)不共線的非零向量，，.同類題型演練1．已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，，，A，B，C三點(diǎn)共線，則m＝（

）A．－ B． C．－6 D．6【答案】C【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，共線，又是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，所以可設(shè)，因?yàn)?，，所以，所以，所以，故選：C.2．已知向量，不共線，且向量與平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】與平行，，向量不共線，∴存在實(shí)數(shù)k，使得，，解得，故選：B．3．已知不共線向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)__________.【答案】##【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得，所以，即，因?yàn)椴还簿€，所以，解得故答案為：4．已知向量，不共線，若向量與向量共線，則的值為____________.【答案】【詳解】解：因?yàn)榕c共線，可設(shè)，即，因?yàn)?，不共線，所以，所以.故答案為：類型七：平面向量的數(shù)量積（定值）典型例題例題1．在中，，，，則（

）A． B． C． D．15【答案】C【詳解】．故選：C例題2．已知在等腰中，，點(diǎn)在線段上，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，因?yàn)?，故，可得，則，故選：B.例題3．若向量在向量上的投影向量為，且，則數(shù)量積___________．【答案】16【詳解】設(shè)的夾角為，因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，所以，因?yàn)?，則.故答案為：16例題4．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若＝，則的值是________．【答案】【詳解】∵，，∴，∴，，∴，∵,,，故答案為：.同類題型演練1．在中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（

）A． B．4 C．6 D．【答案】D【詳解】在中，，則，又，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以，故A，B，C錯(cuò)誤.故選：D．2．設(shè)向量，夾角的余弦值為，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)橄蛄浚瑠A角的余弦值為，且，，所以.所以．故選：B.3．已知，向量與的夾角為，則________.【答案】【詳解】由已知可得.故答案為：.4．已知四邊形為菱形，，，且，則__________．【答案】【詳解】，為中點(diǎn)，.故答案為：.5．如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且____.【答案】18【詳解】則，,所以,故答案為：18.類型八：求向量模（定值）典型例題例題1．設(shè)向量，滿足，，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，以上兩式相減可得，，所以，即，故選：D.例題2．已知兩個(gè)非零向量、滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以，化?jiǎn)可得，又、為非零向量，故，故選：B.例題3．已知平面向量、、是兩兩夾角均為的單位向量，則_____________．【答案】【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄俊?、兩兩夾角均為，，所以，，則，故答案為：．例題4．若，，和的夾角為135°，求的值．【答案】【詳解】由條件得，，，同理得，所以同類題型演練1．正方形的邊長(zhǎng)為1，則（

）A．1 B．3 C． D．【答案】D【詳解】在正方形中，如圖所示,，故選：D.2．已知向量，滿足，，，則（

）A．3 B． C． D．4【答案】D【詳解】∵向量滿足，，，，，，，故選：D3．已知向量，滿足，，，則_________.【答案】【詳解】由可得，，即，解得：，所以．故答案為：．4．已知單位向量，，且，則___________.【答案】【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄?，，且，所以，即，因?yàn)?，所以，故答案為?5．已知，，且與的夾角為，，，則______．【答案】【詳解】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?類型九：求向量的夾角典型例題例題1．若向量，滿足，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)椋?，，所以，即，所以，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，所以；故選：B例題2．已知平面向量，的夾角為，且，，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，所以，，則.故選：D.例題3．已知，，若，則與的夾角為______．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以，又，所以向量與的夾角為.故答案為：.例題4．已知非零向量，滿足，，試求，的夾角．【答案】.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，即，所以，，，所以，又，所以，即，的夾角為．同類題型演練1．若向量，滿足，，且，則向量與夾角的余弦值為（

）.A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以向量與夾角的余弦值為，故選：D2．已知，，當(dāng)時(shí)，向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，設(shè)向量與的夾角為，若，則，變形可得：，又由，則，故選：B．3．已知平面向量，滿足，，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，所以，，而，所以．故選：C．4．已知，，，則______．【答案】【詳解】因?yàn)?，，，所以，因?yàn)椋?故答案為：.類型十：向量的投影典型例題例題1．已知，，當(dāng)時(shí)，在方向上的投影數(shù)量為______；當(dāng)時(shí)，在方向上的數(shù)量投影為______；當(dāng)時(shí)，在方向上的數(shù)量投影為______．【答案】

0

【詳解】在方向上的投影數(shù)量為：當(dāng)時(shí)或者，所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，所以故答案為：例題2．已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量與投影數(shù)量分別是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【詳解】設(shè)在方向上的投影向量為，則，故，故在方向上的投影向量為，在方向上的投影數(shù)量為.故選：D.例題3．已知，，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，則在上的投影向量為（

）A． B． C．－ D．－【答案】C【詳解】由題意得，,，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，則在上的投影向量為，故選：C同類題型演練1．已知，，、的夾角為，則在方向上的數(shù)量投影為________．【答案】【詳解】由已知得，在方向上的數(shù)量投影為因?yàn)?，，、的夾角為，所以所以在方向上的數(shù)量投影為故答案為：22．已知，則向量在向量上的投影向量為__________．【答案】##【詳解】解：因?yàn)樗裕獾茫?，向量在向量上的投影向量為故答案為：類型十一：求向量模（最值，范圍）典型例題例題1．設(shè)單位向量與非零向量的夾角是，且，則的最小值為（

）A． B．C． D．1【答案】B【詳解】由可得，，且，代入上式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選:B.例題2．若向量，互相垂直，且滿足，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【詳解】由題設(shè)，且，∴，而，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴.故選：B．例題3．已知平面向量，，，若，，，，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．7【答案】C【詳解】因，，，則，又，于是有，當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線時(shí)取“=”，所以的最大值為4.故選：C例題4．已知兩個(gè)不共線的向量，的夾角為，且，.(1)若與垂直，求；(2)若，求的最小值及對(duì)應(yīng)的的值，并指出此時(shí)向量與的位置關(guān)系.【答案】(1)(2)時(shí)，的最小值為，與垂直(1)解：∵與垂直，∴，∴，即.∵，，∴，∴.∵，∴，∴.(2)解：當(dāng)時(shí)，，所以，∴時(shí)，的最小值為，此時(shí)，∴與垂直.同類題型演練1．已知，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且，，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【詳解】因，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則所以當(dāng)時(shí)，的最小值是.故選：B2．已知單位向量，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，兩邊平方，得，即，整理得，所以或因?yàn)椋?，所以，所?故選:B.3．已知向量，滿足，，若且（，），則的最小值為A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，4．已知向量，，滿足：|+|=3，且，則|－|的取值范圍是______．【答案】【詳解】而，故，故答案為：類型十二：求平面向量數(shù)量積（最值，范圍）典型例題例題1．在中，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則，由余弦定理得：，；，，，即的取值范圍為.故選：D.例題2．如圖所示，半圓的直徑，為圓心，是半圓上不同于，的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則(＋)·的最小值是（

）A． B． C．－ D．【答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以向量，所以，又因?yàn)橄蛄浚较蛳喾?，所以．故選：C．例題3．已知圓的半徑為3，，為該圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則的最小值為___________.【答案】【詳解】如圖所示，設(shè)（），，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值是.故答案為：．同類題型演練1．邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF，點(diǎn)M滿足，若點(diǎn)P是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則的最大值是_________．【答案】1【詳解】由題，作圖如下因?yàn)椋詾榫€段中點(diǎn)，由邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF，知，因?yàn)辄c(diǎn)P是正六邊形ABCDEF內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），顯然，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，在方向上的投影最大，且兩者同向共線，又因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋?.2．）如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長(zhǎng)程序：正方形上連著等腰直角三角形，等腰直角三角形上再連接正方形，…，如此繼續(xù)，正方形的邊長(zhǎng)為1，為正方形上的任一點(diǎn)，則的最大值為______.【答案】【詳解】設(shè)，由圖形得到：，展開得到向量和向量夾角等于和的夾角等于，向量和向量夾角等于和的夾角等于，，當(dāng)時(shí)取得最大值為：.故答案為：.3．已知正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)．的最大值為______．【答案】1【詳解】設(shè)，所以，所以，