2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)向量與復(fù)數(shù)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列關(guān)于向量的說(shuō)法正確的是（）A.若向量$\vec{a}$與$\vec$共線，則$\vec{a}=\lambda\vec$（$\lambda$為實(shí)數(shù)）B.零向量的方向是任意的，且與任意向量平行C.單位向量的模都相等，方向也都相同D.若$|\vec{a}|=|\vec|$，則$\vec{a}=\vec$或$\vec{a}=-\vec$2.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(-1,2)$，則$2\vec{a}-3\vec=$（）A.$(7,0)$B.$(1,0)$C.$(7,12)$D.$(1,12)$3.在$\triangleABC$中，點(diǎn)$D$是$BC$的中點(diǎn)，若$\vec{AB}=\vec{c}$，$\vec{AC}=\vec$，則$\vec{AD}=$（）A.$\frac{1}{2}\vec+\frac{1}{2}\vec{c}$B.$\vec+\vec{c}$C.$\frac{1}{2}\vec-\frac{1}{2}\vec{c}$D.$\vec-\vec{c}$4.已知向量$\vec{a}=(1,\sqrt{3})$，$\vec=(\sqrt{3},1)$，則$\vec{a}$與$\vec$的夾角為（）A.$30^\circ$B.$45^\circ$C.$60^\circ$D.$90^\circ$5.若向量$\vec{a}=(m,2)$，$\vec=(3,-1)$，且$\vec{a}\perp\vec$，則$m=$（）A.$-\frac{2}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.$-6$D.$6$6.復(fù)數(shù)$z=(1+2i)(3-i)$的實(shí)部為（）A.$1$B.$5$C.$7$D.$5+5i$7.已知復(fù)數(shù)$z$滿足$|z|=2$，且$z$的虛部為$1$，則$z=$（）A.$\sqrt{3}+i$或$-\sqrt{3}+i$B.$1+\sqrt{3}i$或$1-\sqrt{3}i$C.$\sqrt{3}-i$或$-\sqrt{3}-i$D.$-1+\sqrt{3}i$或$-1-\sqrt{3}i$8.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)$z=\frac{2-i}{1+i}$對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限9.已知向量$\vec{a}$，$\vec$滿足$|\vec{a}|=2$，$|\vec|=3$，$|\vec{a}+\vec|=\sqrt{19}$，則$|\vec{a}-\vec|=$（）A.$\sqrt{7}$B.$\sqrt{13}$C.$\sqrt{15}$D.$\sqrt{17}$10.若$\vec{a}$，$\vec$是平面內(nèi)的一組基底，且$\vec{c}=2\vec{a}-\vec$，$\vecgckigua=k\vec{a}+\vec$，若$\vec{c}$與$\vecgyemksg$共線，則$k=$（）A.$-2$B.$2$C.$-\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$11.在$\triangleABC$中，$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=|\vec{AB}-\vec{AC}|=2$，則$\triangleABC$的面積為（）A.$\sqrt{3}$B.$2$C.$2\sqrt{3}$D.$4$12.已知復(fù)數(shù)$z$滿足$z+\overline{z}=4$，$z\cdot\overline{z}=13$，則$|z-2|=$（）A.$3$B.$4$C.$5$D.$9$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量$\vec{a}=(2,-1)$，$\vec=(x,3)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則$x=$________。14.復(fù)數(shù)$z=i(1+i)^2$的模為_(kāi)_______。15.在$\triangleABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$\angleBAC=60^\circ$，則$\vec{AB}\cdot\vec{BC}=$________。16.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,n)$，若$\vec{a}$與$\vec$的夾角為銳角，且$|\vec|=\sqrt{5}$，則$m+n$的最大值為_(kāi)_______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知向量$\vec{a}=(3,4)$，$\vec=(-1,2)$。（1）求$\vec{a}$與$\vec$的數(shù)量積；（2）求$\vec{a}$在$\vec$方向上的投影向量。18.（本小題滿分12分）已知復(fù)數(shù)$z_1=2+3i$，$z_2=a-i$（$a\in\mathbb{R}$）。（1）若$z_1+z_2$是純虛數(shù)，求$a$的值；（2）求$|z_1\cdotz_2|$的最小值。19.（本小題滿分12分）在$\triangleABC$中，點(diǎn)$D$，$E$分別是$AB$，$AC$的中點(diǎn)，設(shè)$\vec{AB}=\vec{a}$，$\vec{AC}=\vec$。（1）用$\vec{a}$，$\vec$表示$\vec{DE}$，$\vec{BE}$；（2）若$|\vec{a}|=4$，$|\vec|=6$，$\angleBAC=60^\circ$，求$\vec{BE}\cdot\vec{DE}$。20.（本小題滿分12分）已知向量$\vec{m}=(\sinx,\cosx)$，$\vec{n}=(\cosx,\sqrt{3}\cosx)$，函數(shù)$f(x)=\vec{m}\cdot\vec{n}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。（1）求$f(x)$的最小正周期；（2）當(dāng)$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$時(shí)，求$f(x)$的值域。21.（本小題滿分12分）在四邊形$ABCD$中，$\vec{AB}=(1,2)$，$\vec{BC}=(-4,-1)$，$\vec{CD}=(-5,-3)$。（1）證明：四邊形$ABCD$是梯形；（2）若$M$是$AD$的中點(diǎn)，求$\vec{BM}$的坐標(biāo)及$|\vec{BM}|$。22.（本小題滿分12分）已知復(fù)數(shù)$z$滿足$z=\frac{2i}{1+i}+i^3$（$i$為虛數(shù)單位）。（1）求$z$的共軛復(fù)數(shù)$\overline{z}$；（2）若$w=z+ai$（$a\in\mathbb{R}$），且$|w|=2$，求$a$的值。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（此處省略，實(shí)際試卷需附詳細(xì)解析）試卷設(shè)計(jì)說(shuō)明：內(nèi)容覆蓋：嚴(yán)格依據(jù)2025年高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，涵蓋平面向量的概念、線性運(yùn)算、數(shù)量積、坐標(biāo)表示，以及復(fù)數(shù)的概念、四則運(yùn)算、幾何意義等核心考點(diǎn)，符合“基礎(chǔ)知識(shí)+綜合應(yīng)用”的命題要求。難度梯度：選擇題1-8題為基礎(chǔ)題，側(cè)重概念理解與簡(jiǎn)單運(yùn)算；9-12題為中檔題，涉及模長(zhǎng)、夾角、綜合應(yīng)用；填空題和解答題分層設(shè)計(jì)，既有直接應(yīng)用公式的題目（如17題），也有結(jié)合三角函數(shù)、幾何