2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.函數(shù)與極限已知函數(shù)$f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x^2-1}$，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.$(-1,1)\cup(1,+\infty)$B.$(-1,+\infty)$C.$[0,1)\cup(1,+\infty)$D.$(-1,0)\cup(0,+\infty)$考點(diǎn)：函數(shù)定義域的求解，涉及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、分式分母不為零的條件。2.導(dǎo)數(shù)與幾何意義曲線$y=x^3-2x+1$在點(diǎn)$(1,0)$處的切線方程為（）A.$y=x-1$B.$y=-x+1$C.$y=2x-2$D.$y=-2x+2$考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過求導(dǎo)計(jì)算切線斜率，進(jìn)而確定切線方程。3.概率與統(tǒng)計(jì)某學(xué)校為了解學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)間，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖（單位：小時(shí)）：（假設(shè)直方圖中各組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表）則這100名學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)約為（）A.6.5B.7.0C.7.5D.8.0考點(diǎn)：頻率分布直方圖的應(yīng)用，中位數(shù)的計(jì)算方法。4.立體幾何在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$為$BB_1$的中點(diǎn)，則異面直線$AE$與$D_1C$所成角的余弦值為（）A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$C.$\frac{\sqrt{10}}{10}$D.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$考點(diǎn)：異面直線所成角的求解，可通過空間向量或幾何平移法計(jì)算。5.三角函數(shù)函數(shù)$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})+\cos(2x)$的最小正周期和最大值分別為（）A.$\pi$，$\sqrt{2}$B.$\pi$，$\sqrt{3}$C.$2\pi$，$\sqrt{2}$D.$2\pi$，$\sqrt{3}$考點(diǎn)：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)（和角公式、輔助角公式）、周期與最值。6.線性代數(shù)初步若矩陣$\begin{pmatrix}a&2\1&b\end{pmatrix}$的逆矩陣為$\begin{pmatrix}1&-2\-1&3\end{pmatrix}$，則$a+b=$（）A.2B.3C.4D.5考點(diǎn)：矩陣的逆矩陣概念，通過矩陣乘法或伴隨矩陣求解參數(shù)。7.積分與面積曲線$y=x^2$與直線$y=2x$所圍成的封閉圖形的面積為（）A.$\frac{4}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{8}{3}$D.2考點(diǎn)：定積分的幾何意義，通過求解曲線交點(diǎn)確定積分區(qū)間，計(jì)算面積。8.數(shù)列與不等式已知等比數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_1=1$，$S_3=13$，則公比$q$的取值范圍是（）A.$q=3$B.$q=-4$C.$q=3$或$q=-4$D.$q=3$且$q=-4$考點(diǎn)：等比數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式，分類討論$q=1$與$q\neq1$的情況。9.數(shù)學(xué)建模應(yīng)用某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為2000元，每件產(chǎn)品的可變成本為10元，售價(jià)為25元。若要使利潤(rùn)不低于10000元，則至少需要生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為（）A.800件B.850件C.900件D.1000件考點(diǎn)：函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，通過建立利潤(rùn)函數(shù)求解不等式。10.空間向量與立體幾何在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$，則點(diǎn)$P$到直線$BC$的距離為（）A.$\sqrt{13}$B.$\sqrt{14}$C.$\sqrt{15}$D.4考點(diǎn)：空間中點(diǎn)到直線的距離計(jì)算，可通過空間向量或等體積法求解。11.概率與統(tǒng)計(jì)某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊命中10環(huán)的概率為0.8，命中9環(huán)的概率為0.2，且各次射擊相互獨(dú)立。若該運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射擊3次，則恰有2次命中10環(huán)的概率為（）A.0.384B.0.48C.0.512D.0.64考點(diǎn)：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算，二項(xiàng)分布的應(yīng)用。12.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$在區(qū)間$(2,+\infty)$上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$a\leqslant\frac{5}{4}$B.$a<\frac{5}{4}$C.$a\leqslant2$D.$a<2$考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上非負(fù)的恒成立問題。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.復(fù)數(shù)運(yùn)算若復(fù)數(shù)$z$滿足$(1+i)z=2-i$（$i$為虛數(shù)單位），則$|z|=$________。考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及模的計(jì)算。14.數(shù)列已知等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_3+a_7=10$，則$S_9=$________?？键c(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)及前$n$項(xiàng)和公式。15.解析幾何雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的離心率為$\sqrt{3}$，且過點(diǎn)$(2,\sqrt{6})$，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)（離心率、標(biāo)準(zhǔn)方程），通過已知條件求解參數(shù)。16.數(shù)學(xué)文化與創(chuàng)新《九章算術(shù)》中記載“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意為：在直角三角形中，兩條直角邊分別為8步和15步，求其內(nèi)切圓的直徑。則該內(nèi)切圓的直徑為________步。考點(diǎn)：三角形內(nèi)切圓半徑的計(jì)算，結(jié)合數(shù)學(xué)文化背景考查幾何知識(shí)。三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）證明：數(shù)列${a_n+1}$是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$?？键c(diǎn)：等比數(shù)列的定義與證明、遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式求解、分組求和法。18.（本小題滿分14分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所對(duì)的邊分別為$a$，$b$，$c$，且滿足$b\cosC=(2a-c)\cosB$。（1）求角$B$的大小；（2）若$b=2\sqrt{3}$，$\triangleABC$的面積為$2\sqrt{3}$，求$a+c$的值?？键c(diǎn)：正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式，三角恒等變換。19.（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$為矩形，$PA\perp$底面$ABCD$，$AB=2$，$AD=4$，$PA=4$，$E$為$PD$的中點(diǎn)。（1）證明：$AE\parallel$平面$PBC$；（2）求二面角$A-PC-D$的余弦值?？键c(diǎn)：線面平行的判定定理，二面角的計(jì)算（空間向量法或幾何法）。20.（本小題滿分14分）為了研究某地區(qū)居民的收入水平與消費(fèi)支出的關(guān)系，隨機(jī)抽取10戶家庭，得到如下數(shù)據(jù)：|收入$x$（千元）|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11||----------------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----||消費(fèi)$y$（千元）|1.5|2.0|2.5|3.0|3.5|4.0|4.5|5.0|5.5|6.0|（1）求$y$關(guān)于$x$的線性回歸方程$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$；（2）若該地區(qū)某家庭的收入為12千元，預(yù)測(cè)其消費(fèi)支出（結(jié)果保留兩位小數(shù)）。（參考公式：$\hat=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat\bar{x}$）考點(diǎn)：線性回歸方程的求解與應(yīng)用，數(shù)據(jù)處理能力。21.（本小題滿分16分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2$（$a\in\mathbb{R}$）。（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，求函數(shù)$f(x)$在$x=0$處的切線方程；（2）若函數(shù)$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，求$a$的取值范圍；（3）當(dāng)$a>0$時(shí)，討論函數(shù)$f(x)$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?？键c(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)問題，分類討論思想。四、選考題（本大題共1小題，共10分。請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答，若多做，則按所做的第一題計(jì)分）22.[選修4-1：幾何證明選講]（10分）如圖，$AB$是$\odotO$的直徑，$C$為$\odotO$上一點(diǎn)，$PA$切$\odotO$于點(diǎn)$A$，$PB$交$\odotO$于點(diǎn)$D$，連接$AC$，$AD$。（1）證明：$\anglePAC=\anglePDA$；（2）若$PA=6$，$PB=10$，求$AB$的長(zhǎng)。23.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系$xOy$中，曲線$C$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=2\cos\theta\y=\sin\theta\end{cases}$（$\theta$為參數(shù)），直線$l$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=1+t\cos\alpha\y=t\sin\alpha\end{cases}$（$t$為參數(shù)，$\alpha$為直線$l$的傾斜角）。（1