2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)信息觀試卷一、選擇題（共14題，8道單選+2道多選，每題5分，共70分）（一）單選題某社交平臺(tái)用戶數(shù)量在2025年呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)，其增長(zhǎng)模型為(N(t)=N_0e^{kt})，其中(t)為月份（(t=0)對(duì)應(yīng)1月），(N_0)為初始用戶數(shù)。若3月用戶數(shù)為1月的2倍，則(k)的值為（）A.(\ln2)B.(\frac{\ln2}{2})C.(\frac{\ln2}{3})D.(2\ln2)在“東數(shù)西算”工程中，某數(shù)據(jù)中心需要將數(shù)據(jù)從東部節(jié)點(diǎn)A傳輸?shù)轿鞑抗?jié)點(diǎn)B，途經(jīng)3個(gè)中轉(zhuǎn)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有2條傳輸路徑，其中至少1條路徑故障則該節(jié)點(diǎn)無(wú)法通行。若每條路徑的故障率為0.1（各路徑獨(dú)立），則數(shù)據(jù)成功傳輸?shù)母怕蕿椋ǎ〢.0.729B.0.59049C.0.970299D.0.999新定義運(yùn)算“?”：對(duì)于非零向量(\vec{a}=(x_1,y_1))，(\vec=(x_2,y_2))，規(guī)定(\vec{a}\otimes\vec=(x_1y_2-x_2y_1,x_1x_2+y_1y_2))。若(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,1))，且(\vec{a}\otimes\vec)與(\vec{a})垂直，則(m=)（）A.-3B.-2C.2D.3某環(huán)保監(jiān)測(cè)站記錄了一周內(nèi)PM2.5濃度數(shù)據(jù)（單位：μg/m3）：52,48,60,55,45,58,62。若用方差衡量數(shù)據(jù)波動(dòng)程度，則該組數(shù)據(jù)的方差為（）A.36B.40C.44D.48函數(shù)(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2+1})的圖像大致為（）A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的奇函數(shù)B.關(guān)于y軸對(duì)稱的偶函數(shù)C.既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)D.無(wú)法確定奇偶性在空間直角坐標(biāo)系中，某幾何體的三視圖如下：正視圖和側(cè)視圖均為腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，俯視圖為邊長(zhǎng)為2的正方形，則該幾何體的體積為（）A.(\frac{4}{3})B.(\frac{8}{3})C.4D.8已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=a_n+\log_2(n+1))，則(a_{10}=)（）A.(\log_210!)B.(\log_29!)C.(1+\log_210!)D.(1+\log_29!)某電商平臺(tái)根據(jù)用戶消費(fèi)數(shù)據(jù)建立推薦模型，規(guī)則如下：若用戶連續(xù)3次購(gòu)買同類商品，則下次推薦該類商品的概率為0.8；否則為0.3。已知某用戶第一次和第二次均購(gòu)買了圖書(shū)，則第三次購(gòu)買圖書(shū)后，第四次被推薦圖書(shū)的概率為（）A.0.3B.0.5C.0.8D.1.0（二）多選題關(guān)于函數(shù)(f(x)=\sinx+\cosx-\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right))，下列說(shuō)法正確的有（）A.最小正周期為(2\pi)B.最大值為(\sqrt{2})C.圖像關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{4})對(duì)稱D.在區(qū)間(\left[-\frac{\pi}{2},0\right])上單調(diào)遞增某城市地鐵線路分為A、B兩條主線，統(tǒng)計(jì)顯示：乘坐A線的乘客中，60%換乘B線；乘坐B(niǎo)線的乘客中，40%換乘A線。若初始時(shí)A線有乘客1000人，B線有乘客800人，且乘客總數(shù)保持不變，則下列說(shuō)法正確的有（）A.經(jīng)過(guò)1次換乘后，A線乘客數(shù)為720人B.經(jīng)過(guò)2次換乘后，B線乘客數(shù)為688人C.該系統(tǒng)存在穩(wěn)定狀態(tài)，且穩(wěn)定時(shí)A線乘客數(shù)為600人D.該系統(tǒng)不存在穩(wěn)定狀態(tài)二、填空題（共4題，每題5分，共20分）若復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（i為虛數(shù)單位），則(|z|=)________。某算法的程序框圖如下：輸入x，若x為偶數(shù)則x=x/2，否則x=3x+1，重復(fù)操作直至x=1。若輸入x=5，則輸出的操作次數(shù)為_(kāi)_______。在(\triangleABC)中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(\angleA=60^\circ)，則(\triangleABC)的面積為_(kāi)_______。已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AF|=3|BF|，則線段AB的長(zhǎng)度為_(kāi)_______。三、解答題（共6題，共60分）15.（本小題滿分8分）某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)與成績(jī)的關(guān)系，隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：成績(jī)優(yōu)秀成績(jī)非優(yōu)秀總計(jì)每日學(xué)習(xí)≥2小時(shí)18725每日學(xué)習(xí)<2小時(shí)81725總計(jì)262450（1）根據(jù)列聯(lián)表判斷：是否有95%的把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀”與“每日學(xué)習(xí)≥2小時(shí)”有關(guān)？（2）從成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人每日學(xué)習(xí)≥2小時(shí)的概率。（參考公式：(K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中n=a+b+c+d；臨界值：(P(K^2\geq3.841)=0.05)）16.（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})的前n項(xiàng)和為(S_n)，且滿足(S_n=2a_n-n)（n∈N*）。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前n項(xiàng)和(T_n)。17.（本小題滿分10分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，D為BC的中點(diǎn)。（1）求證：(A_1D\perp)平面(B_1C_1D)；（2）求二面角(A_1-B_1D-C_1)的余弦值。18.（本小題滿分10分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過(guò)點(diǎn)(P(2,1))。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)Q(1,0)的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，若(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=-2)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程。19.（本小題滿分10分）某工廠生產(chǎn)一種精密零件，其直徑（單位：mm）服從正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))。已知直徑在[9.9,10.1]內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，否則為次品。（1）若(\mu=10)，(\sigma=0.05)，求該零件的合格率（參考數(shù)據(jù)：若X~N(μ,σ2)，則(P(|X-\mu|<2\sigma)\approx0.9545)）；（2）為提高合格率，工廠改進(jìn)生產(chǎn)工藝，使直徑的標(biāo)準(zhǔn)差σ減小。若要求合格率不低于99.74%，求σ