2025年下學期高中數(shù)學藝術審美融合試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）敦煌莫高窟第257窟的《鹿王本生圖》是中國現(xiàn)存最古老的連環(huán)畫之一，其畫面布局呈現(xiàn)為中心放射狀的對稱結構。若將壁畫中的鹿王頭部視為坐標原點，鹿角的延伸方向為x軸正方向，鹿身中軸線為y軸建立平面直角坐標系，則壁畫中某朵祥云圖案上一點P（3，4）繞原點順時針旋轉90°后對應的坐標是（）A.（4，-3）B.（-4，3）C.（-3，4）D.（3，-4）達芬奇在《最后的晚餐》中運用了嚴格的透視法原理，使畫面呈現(xiàn)出強烈的空間縱深感。已知畫面中餐桌長度為4.6米，餐桌兩端與觀眾眼睛的連線夾角為60°，若觀眾位于餐桌中垂線上，則觀眾與餐桌的水平距離約為（）（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：√3≈1.732）A.2.7米B.3.2米C.3.9米D.4.6米北京故宮太和殿的屋頂采用重檐廡殿頂形式，其檐角輪廓線近似為一段拋物線。若以檐角底部為原點，水平方向為x軸建立坐標系，測得檐角最高點坐標為（2.5，1.8），則該拋物線的標準方程是（）A.y=0.288x2+1.44xB.y=-0.288x2+1.44xC.x=0.288y2+1.44yD.x=-0.288y2+1.44y荷蘭畫家蒙德里安的《紅黃藍構圖》系列作品以垂直和水平線條分割畫面，形成大小不一的矩形色塊。若某幅作品中，一個邊長為10cm的正方形被兩條互相垂直的直線分割成四個小矩形，其中兩個相鄰矩形的面積分別為12cm2和28cm2，則另外兩個矩形的面積之和為（）A.40cm2B.50cm2C.60cm2D.70cm2中國傳統(tǒng)建筑中的窗欞圖案多由幾何紋樣組合而成，如圖1所示的冰裂紋窗欞中包含多個全等的菱形。若菱形的一個內角為60°，邊長為2cm，則每個菱形的面積為（）A.√3cm2B.2√3cm2C.3√3cm2D.4√3cm2印象派畫家莫奈的《睡蓮》系列作品中，水面波紋的形態(tài)可近似看作正弦曲線。若某段波紋對應的函數(shù)解析式為y=2sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<π/2，已知該波紋在一個周期內有3個波峰和2個波谷，且過點（π/6，1），則φ的值為（）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3古希臘帕特農神廟的正面采用了黃金矩形的設計比例，即矩形的長與寬之比為黃金分割率φ=(1+√5)/2≈1.618。若神廟正面山墻（三角形）的底邊長為10米，高與底邊的比為黃金分割率的倒數(shù)，則山墻的面積為（）A.30.9平方米B.38.2平方米C.42.3平方米D.50.0平方米現(xiàn)代建筑中的玻璃幕墻常采用菱形或三角形玻璃拼接而成。如圖2所示，某建筑幕墻由全等的正六邊形玻璃單元組成，每個正六邊形邊長為50cm，則每個玻璃單元的面積為（）A.3750√3cm2B.4330√3cm2C.5625√3cm2D.6495√3cm2中國書法藝術中的"永字八法"包含了漢字基本筆畫的書寫技巧，其中"捺"畫的形態(tài)近似為一段拋物線。若某書法家寫的"捺"畫起點坐標為（0，0），終點坐標為（6，-3），且在x=4處達到最低點，則該拋物線的解析式為（）A.y=0.125x2-2xB.y=0.125x2-1xC.y=-0.125x2+2xD.y=-0.125x2+1x荷蘭版畫家埃舍爾的《圓極限IV》展現(xiàn)了魚形圖案在圓形邊界內的無限重復排列，這種構圖方式體現(xiàn)了雙曲幾何的視覺效果。在半徑為R的圓內，第n圈魚的數(shù)量為4n，且每圈魚的尺寸是相鄰外圈魚的3/4，則整個畫面中魚的總數(shù)趨近于（）A.4RB.16RC.16D.無窮大故宮角樓的建筑結構包含了"九梁十八柱七十二脊"，其屋頂轉角處的飛檐呈現(xiàn)出復雜的空間幾何形態(tài)。若將飛檐的某段輪廓線視為一段圓弧，測得這段圓弧所在圓的半徑為3米，圓心角為60°，則這段飛檐的長度為（）A.π米B.1.5π米C.2π米D.3π米日本枯山水中的砂紋圖案常由一系列同心圓或螺旋線構成，其中螺旋線的數(shù)學表達式可表示為極坐標方程r=aθ（阿基米德螺線）。若某砂紋圖案的螺線方程為r=0.5θ（θ單位為弧度），則當θ=2π時，螺線上對應點的直角坐標為（）A.（π，0）B.（0，π）C.（-π，0）D.（0，-π）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）中國傳統(tǒng)園林中的"九曲橋"以其蜿蜒曲折的形態(tài)增加了游覽路徑的長度。若某九曲橋的路徑可近似看作y=sin(x)在[0，5π]上的圖像，某人以每分鐘10米的速度沿橋行走，則走完這座橋大約需要______分鐘。（橋寬忽略不計，π≈3.14，精確到0.1分鐘）文藝復興時期的畫家阿爾布雷特·丟勒在《量度四書》中記載了多種正多邊形的構造方法。若用圓規(guī)和直尺構造一個正五邊形，其外接圓半徑為5cm，則正五邊形的邊長為______cm。（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.5878）現(xiàn)代藝術中的"點彩派"技法通過無數(shù)細小色點的排列產生視覺混合效果。若某幅點彩畫中，紅色點和藍色點按照3:2的比例混合，且紅色點的直徑為0.2mm，藍色點的直徑為0.15mm，當畫面中兩種色點完全覆蓋某區(qū)域時，紅色點與藍色點的數(shù)量比為______。中國傳統(tǒng)紋樣中的"回紋"是由連續(xù)的折線組成的幾何圖案，其基本單元如圖3所示。若回紋單元的外接圓直徑為10cm，則單個回紋單元的周長為______cm。（π≈3.14，精確到0.1cm）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）中國結是中國傳統(tǒng)手工藝品，其中"盤長結"的編織過程可抽象為線段的纏繞與交叉。如圖4所示，某盤長結圖案由兩個全等的正方形交叉而成，正方形邊長為4cm，交叉部分為一個正八邊形。（1）求該正八邊形的邊長；（2）計算該盤長結圖案的總面積。18.（本小題滿分12分）梵高的《星月夜》以旋轉的漩渦狀筆觸描繪了夜空的動感，其中某段星云的輪廓線可近似為阿基米德螺線r=θ/2（θ≥0，單位：rad）。（1）求當θ=π時，螺線的切線斜率；（2）計算θ從0到2π變化過程中，螺線所圍成的區(qū)域面積。19.（本小題滿分12分）蘇州園林中的"花窗"設計融合了幾何美感與自然意趣，如圖5所示為一扇圓形花窗，其直徑為1米，內部由6個全等的花瓣形圖案組成，每個花瓣由一個半圓和一個等腰三角形構成。（1）若三角形底邊長為a，求花瓣的面積S(a)；（2）當a為何值時，花瓣面積最大？求出最大面積。20.（本小題滿分12分）古希臘雕塑《擲鐵餅者》展現(xiàn)了運動員投擲鐵餅時的瞬間動態(tài)，若將鐵餅視為質點，其運動軌跡為拋物線。已知鐵餅出手時離地面高度為1.8米，初速度大小為20m/s，出手角度為45°。（重力加速度g=10m/s2，不計空氣阻力）（1）建立適當?shù)淖鴺讼担瑢懗鲨F餅的運動軌跡方程；（2）求鐵餅的最大飛行高度和水平射程。21.（本小題滿分12分）伊斯蘭藝術中的幾何圖案常由基本圖形經過旋轉、平移、對稱等變換得到。如圖6所示，某清真寺的地面拼花圖案由正六邊形和正三角形組合而成，其中每個正六邊形邊長為20cm。（1）求每個基本圖案單元（一個正六邊形和六個正三角形）的面積；（2）若該清真寺地面長18米，寬12米，忽略圖案邊緣裁剪損耗，計算鋪滿地面所需的基本圖案單元數(shù)量。22.（本小題滿分12分）現(xiàn)代建筑中的旋轉樓梯不僅具有實用功能，還能成為空間中的藝術裝置。如圖7所示，某旋轉樓梯的每級臺階高度為15cm，水平投影為扇形，其半徑為1.2米，圓心角為30°。（1）求每級臺階表面（tread）的面積；（2）若樓梯共旋轉兩周到達頂層，計算樓梯斜面（坡度面）的總面積；（3）若某人沿樓梯勻速上樓，角速度為0.5rad/s，求他在第5級臺階時的線速度大小。四、選做題（本大題共2小題，每小題10分，考生任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分）23.（本小題滿分10分）【坐標系與參數(shù)方程】達芬奇在《畫論》中提出"繪畫是一門科學"，他通過精確的幾何計算來確定人物的比例和姿態(tài)。如圖8所示，某幅肖像畫中人物眼睛的位置可由參數(shù)方程表示：x=3cosθ+5y=2sinθ+3（θ為參數(shù)，單位：cm）（1）將該參數(shù)方程化為普通方程，并指出其軌跡類型；（2）若人物鼻尖位置為（5，1），求鼻尖到眼睛軌跡的最短距離。24.（本小題滿分10