2025年下學期高中數(shù)學有限與無限思想試卷一、理論闡述題（共20分）1.有限與無限思想的內(nèi)涵（10分）有限與無限思想揭示了變量與常量、有限與無限的對立統(tǒng)一關系，是高中數(shù)學中的重要思想方法。其核心在于通過有限認識無限，從不變認識變化，從量變認識質(zhì)變，從近似認識精確。在高中數(shù)學中，有限與無限思想主要體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）極限概念：通過數(shù)列極限和函數(shù)極限，將無限變化的過程轉(zhuǎn)化為有限的極限值進行研究。例如，數(shù)列${a_n}$的極限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，表示當$n$無限增大時，$a_n$無限趨近于常數(shù)$A$，這體現(xiàn)了從有限項的變化趨勢認識無限過程的思想。（2）數(shù)學歸納法：通過證明有限個步驟（基礎步驟和歸納步驟），推導出命題對所有自然數(shù)成立，實現(xiàn)了從有限到無限的跨越。這種方法將無限個命題的證明轉(zhuǎn)化為有限個步驟的驗證，是有限與無限思想的典型應用。（3）微積分初步：導數(shù)的定義通過函數(shù)值的差商在自變量增量無限趨近于0時的極限來定義，定積分則通過對區(qū)間的無限分割、近似求和、取極限得到精確值。兩者均體現(xiàn)了以有限逼近無限、以近似逼近精確的思想。（4）幾何中的無限問題：如球的表面積和體積公式的推導，通過將球體分割為有限個近似棱錐，再求和取極限得到結果；雙曲線的漸近線則體現(xiàn)了曲線無限趨近于直線但永不相交的無限過程。2.有限與無限的辯證關系（10分）有限與無限既對立又統(tǒng)一，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化：（1）無限化有限：將無限問題轉(zhuǎn)化為有限問題求解，是解決無限問題的基本思路。例如，求無窮遞縮等比數(shù)列的和$S=\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac{a_1}{1-q}$（$|q|<1$），通過先求有限項和$S_n$，再取極限得到無限項和，體現(xiàn)了無限化有限的思想。（2）有限化無限：利用無限的性質(zhì)解決有限問題。例如，利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)在某點的局部性質(zhì)，通過無限小增量的極限來刻畫函數(shù)的瞬時變化率，進而解決函數(shù)的單調(diào)性、極值等有限范圍內(nèi)的問題。（3）有限與無限的對立統(tǒng)一：有限是無限的基礎，無限是有限的延伸。例如，數(shù)列的通項公式是對無限項規(guī)律的有限描述，通過有限的表達式可以把握數(shù)列的無限項特征；而數(shù)學歸納法通過有限步驟的證明，保證了命題對無限個自然數(shù)成立。（4）量變與質(zhì)變：在有限到無限的過程中，往往伴隨著量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化。例如，當$n$無限增大時，數(shù)列${1+\frac{1}{n}}^n$的極限為$e$，有限項的變化趨勢最終導致質(zhì)的飛躍，得到一個新的常數(shù)。二、典型例題分析（共80分）題型一：數(shù)列極限與數(shù)學歸納法（25分）例1已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項公式；（2）求$\lim\limits_{n\to\infty}(a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_na_{n+1})$。解析：（1）對遞推式取倒數(shù)，得$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+2}{2a_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{a_n}$，即$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}$。因此，${\frac{1}{a_n}}$是首項為$1$，公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，所以$\frac{1}{a_n}=1+\frac{1}{2}(n-1)=\frac{n+1}{2}$，故$a_n=\frac{2}{n+1}$。（2）由$a_n=\frac{2}{n+1}$，得$a_na_{n+1}=\frac{4}{(n+1)(n+2)}=4(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$。因此，$a_1a_2+\cdots+a_na_{n+1}=4[(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})]=4(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2})$。故$\lim\limits_{n\to\infty}(a_1a_2+\cdots+a_na_{n+1})=4\times\frac{1}{2}=2$。思想方法提煉：本題通過對遞推式的變形，將無限項的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為有限項的裂項相消，再通過取極限得到結果，體現(xiàn)了“無限化有限”的思想。同時，數(shù)列的通項公式作為有限表達式，刻畫了無限項的規(guī)律，是有限與無限辯證關系的具體體現(xiàn)。例2用數(shù)學歸納法證明：對任意$n\in\mathbb{N}^*$，$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n}$。證明：（1）當$n=1$時，左邊$=1$，右邊$=2-1=1$，不等式成立（注：嚴格來說，$n=1$時等號成立，可從$n=2$開始嚴格小于）。（2）假設當$n=k$（$k\geq1$，$k\in\mathbb{N}^$）時，不等式成立，即$1+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{k}$。當$n=k+1$時，左邊$=1+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}<2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}$。要證左邊$<2-\frac{1}{k+1}$，只需證$2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}<2-\frac{1}{k+1}$，即證$\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{1}{k+1}<\frac{1}{k}$，化簡得$\frac{1+k+1}{(k+1)^2}<\frac{1}{k}\Rightarrow\frac{k+2}{(k+1)^2}<\frac{1}{k}\Rightarrowk(k+2)<(k+1)^2\Rightarrowk^2+2k<k^2+2k+1$，顯然成立。因此，當$n=k+1$時，不等式也成立。由（1）（2）可知，對任意$n\in\mathbb{N}^$，不等式成立。思想方法提煉：數(shù)學歸納法通過有限的兩步（基礎步和歸納步），證明了命題對無限個自然數(shù)成立，是“有限證明無限”的典范。其核心在于利用歸納假設，將$n=k$的結論傳遞到$n=k+1$，實現(xiàn)了從有限到無限的跨越。題型二：函數(shù)極限與導數(shù)的應用（25分）例3已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，回答下列問題：（1）求$\lim\limits_{x\to1}f(x)$的值；（2）函數(shù)$f(x)$在$x=1$處是否連續(xù)？若不連續(xù)，能否補充定義使其連續(xù)？解析：（1）當$x\neq1$時，$f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$，因此，$\lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2$。（2）函數(shù)$f(x)$在$x=1$處無定義，故不連續(xù)。若補充定義$f(1)=2$，則函數(shù)在$x=1$處連續(xù)，此時$f(x)=\begin{cases}x+1,&x\neq1\2,&x=1\end{cases}$，即$f(x)=x+1$（$x\in\mathbb{R}$）。思想方法提煉：本題通過對函數(shù)表達式的化簡，將$x=1$處的未定義點轉(zhuǎn)化為可求極限的形式，體現(xiàn)了以有限表達式（$x+1$）刻畫函數(shù)在無限趨近于$1$時的趨勢。補充定義后函數(shù)的連續(xù)性，反映了通過極限值（無限過程的結果）來定義有限點的函數(shù)值，實現(xiàn)了無限與有限的統(tǒng)一。例4設函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)在區(qū)間$[-2,2]$上的最大值和最小值。解析：（1）求導數(shù)：$f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。令$f'(x)=0$，得$x=-1$或$x=1$。（2）分析單調(diào)性：當$x\in(-\infty,-1)$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當$x\in(-1,1)$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減；當$x\in(1,+\infty)$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增。（3）求最值：在區(qū)間$[-2,2]$上，計算端點和極值點的函數(shù)值：$f(-2)=(-8)-3(-2)+1=-8+6+1=-1$，$f(-1)=(-1)-3(-1)+1=-1+3+1=3$，$f(1)=1-3+1=-1$，$f(2)=8-6+1=3$。因此，函數(shù)在區(qū)間$[-2,2]$上的最大值為$3$，最小值為$-1$。思想方法提煉：導數(shù)的本質(zhì)是函數(shù)值差商的極限，即$f'(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$，通過無限小增量的極限來刻畫函數(shù)的瞬時變化率（有限點的性質(zhì)）。本題利用導數(shù)研究函數(shù)在有限區(qū)間$[-2,2]$上的單調(diào)性和最值，體現(xiàn)了以無限（極限）研究有限（區(qū)間上的性質(zhì)）的思想。題型三：幾何中的有限與無限問題（15分）例5如圖，在半徑為$R$的球$O$中，用一個平面截球得到半徑為$r$的截面圓，記球心到截面的距離為$d$。（1）證明：$d=\sqrt{R^2-r^2}$；（2）利用極限思想推導球的體積公式$V=\frac{4}{3}\piR^3$。解析：（1）設截面圓的圓心為$O'$，則$OO'=d$，$O'A=r$（$A$為截面圓上一點），在$Rt\triangleOO'A$中，由勾股定理得$OA^2=OO'^2+O'A^2$，即$R^2=d^2+r^2$，故$d=\sqrt{R^2-r^2}$。（2）將球體分割為$n$個厚度為$\Deltah=\frac{2R}{n}$的同心薄球殼，第$i$個球殼的半徑近似為$r_i=R-\frac{(i-1)2R}{n}$（$i=1,2,\cdots,n$），則球殼的體積近似為$\DeltaV_i\approx4\pir_i^2\Deltah$（將球殼展開為近似圓柱，側(cè)面積為$4\pir_i^2$，厚度為$\Deltah$）。球體體積$V=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n\DeltaV_i=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n4\pir_i^2\Deltah$。代入$r_i=R-\frac{2R(i-1)}{n}$，$\Deltah=\frac{2R}{n}$，得$V=\lim\limits_{n\to\infty}4\pi\cdot\frac{2R}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left[R-\frac{2R(i-1)}{n}\right]^2$$=8\piR^3\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left[1-\frac{2(i-1)}{n}\right]^2$令$x_i=\frac{2(i-1)}{n}$，則當$n\to\infty$時，$\Deltax=\frac{2}{n}\to0$，求和轉(zhuǎn)化為積分：$V=8\piR^3\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n(1-x_i)^2\Deltax=4\piR^3\int_0^2(1-x)^2dx$計算積分：$\int_0^2(1-x)^2dx=\int_{-1}^1t^2dt=2\int_0^1t^2dt=2\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$（令$t=1-x$）因此，$V=4\piR^3\times\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\piR^3$。思想方法提煉：球體積公式的推導通過“分割—近似—求和—取極限”的過程，將球體分割為有限個薄球殼（近似為圓柱），再通過無限細分（$n\to\infty$）使近似值無限趨近于精確值，體現(xiàn)了以有限逼近無限、以直代曲的思想。這種方法是微積分中定積分的雛形，是有限與無限思想在幾何中的重要應用。題型四：綜合應用與拓展（15分）例6已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$，定義數(shù)列${a_n}$：$a_1=1$，$a_{n+1}=f(a_n)$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）判斷數(shù)列${a_n}$的類型（有窮或無窮），并說明理由；（2）若將遞推式改為$a_{n+1}=\frac{1}{2-a_n}$，且$a_1=2$，判斷數(shù)列${a_n}$是否為有窮數(shù)列，并證明你的結論。解析：（1）由$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{1}{a_n}$，得$a_2=1$，$a_3=1$，$\cdots$，故數(shù)列${a_n}$為常數(shù)列，是無窮數(shù)列（各項均為1，無限項）。（2）數(shù)列${a_n}$為有窮數(shù)列。證明如下：由$a_1=2$，$a_{n+1}=\frac{1}{2-a_n}$，計算前幾項：$a_2=\frac{1}{2-2}$，分母為0，無意義。因此，數(shù)列在