2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)袁亞湘優(yōu)化計(jì)算試卷一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）基礎(chǔ)層（1-6題）已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+4$，使用最速下降法求解該函數(shù)的極小值點(diǎn)，其初始點(diǎn)選為$x_0=0$，則第一次迭代的搜索方向?yàn)椋ǎ〢.$(-3,0)$B.$(3,0)$C.$(0,-3)$D.$(0,3)$下列關(guān)于擬牛頓法的說法中，正確的是（）A.擬牛頓法需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)B.BFGS公式是一種常用的擬牛頓法校正公式C.擬牛頓法的收斂速度通常慢于最速下降法D.擬牛頓法不需要任何初始信息考慮無約束優(yōu)化問題$\minf(x)$，其中$f(x)$為二次連續(xù)可微函數(shù)。若在點(diǎn)$x_k$處，信賴域半徑為$\Delta_k$，則信賴域子問題的可行域?yàn)椋ǎ〢.${d\mid|d|\leq\Delta_k}$B.${d\mid|d|\geq\Delta_k}$C.${d\midf(x_k+d)\leqf(x_k)}$D.${d\mid\nablaf(x_k)^Td\leq0}$對(duì)于非線性共軛梯度法，下列哪種情形下可能出現(xiàn)鋸齒現(xiàn)象（）A.目標(biāo)函數(shù)為嚴(yán)格凸函數(shù)時(shí)B.搜索方向滿足共軛性條件時(shí)C.采用精確線搜索時(shí)D.目標(biāo)函數(shù)為非二次函數(shù)時(shí)已知某優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)為$f(x)=x_1^2+2x_2^2-2x_1x_2+2x_1$，則該函數(shù)的Hesse矩陣為（）A.$\begin{pmatrix}2&-2\-2&4\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}2&2\2&4\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}-2&-2\-2&-4\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}2&-1\-1&4\end{pmatrix}$在優(yōu)化算法的收斂性分析中，若存在常數(shù)$L>0$，使得對(duì)任意$x,y$，有$|\nablaf(x)-\nablaf(y)|\leqL|x-y|$，則稱函數(shù)$f$滿足（）A.Lipschitz連續(xù)條件B.強(qiáng)凸性條件C.可微性條件D.凸性條件發(fā)展層（7-12題）某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，已知生產(chǎn)A產(chǎn)品每件需要3小時(shí)工時(shí)和2單位原材料，生產(chǎn)B產(chǎn)品每件需要2小時(shí)工時(shí)和4單位原材料。每天可用工時(shí)為120小時(shí)，原材料供應(yīng)為160單位。若A產(chǎn)品每件利潤(rùn)為5元，B產(chǎn)品每件利潤(rùn)為6元，問如何安排生產(chǎn)才能使利潤(rùn)最大化？該問題屬于（）A.無約束優(yōu)化問題B.線性規(guī)劃問題C.整數(shù)規(guī)劃問題D.非線性規(guī)劃問題考慮約束優(yōu)化問題$\minf(x)$s.t.$g(x)\leq0$，其中$f(x)=x_1^2+x_2^2$，$g(x)=x_1+x_2-1$。則在KKT條件中，乘子$\lambda$應(yīng)滿足（）A.$\lambda\geq0$B.$\lambda\leq0$C.$\lambda=0$D.$\lambda$無符號(hào)限制下列哪種優(yōu)化算法是袁亞湘院士在信賴域法方面的重要貢獻(xiàn)（）A.L-BFGS算法B.自適應(yīng)信賴域算法C.共軛梯度法D.內(nèi)點(diǎn)法在機(jī)器學(xué)習(xí)中，支持向量機(jī)的基本思想可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)（）A.線性方程組求解問題B.特征值分解問題C.凸二次規(guī)劃問題D.整數(shù)規(guī)劃問題某物流公司需要從5個(gè)倉庫向10個(gè)零售點(diǎn)配送貨物，每個(gè)倉庫的供應(yīng)量和零售點(diǎn)的需求量已知，運(yùn)輸成本與運(yùn)輸量成正比。問如何制定運(yùn)輸計(jì)劃才能使總運(yùn)輸成本最低？解決該問題可采用（）A.動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法B.網(wǎng)絡(luò)流優(yōu)化方法C.模擬退火算法D.遺傳算法關(guān)于"戴-袁方法"，下列說法正確的是（）A.它是一種求解線性方程組的數(shù)值方法B.它是一種非線性共軛梯度法C.它主要用于整數(shù)規(guī)劃問題的求解D.它是一種隨機(jī)優(yōu)化算法二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）擬牛頓法中，BFGS公式的主要作用是更新________矩陣。非線性共軛梯度法中，搜索方向的計(jì)算公式為$d_k=-\nablaf(x_k)+\beta_kd_{k-1}$，其中$\beta_k$的一種常用取法是________公式。袁亞湘院士在劍橋大學(xué)攻讀博士學(xué)位期間，主要研究方向是________方法。在約束優(yōu)化問題中，若某個(gè)約束條件在最優(yōu)解處嚴(yán)格成立（即$g_i(x^*)<0$），則稱該約束為________約束。三、計(jì)算題（共4小題，每小題10分，共40分）用最速下降法求解無約束優(yōu)化問題$\minf(x)=x_1^2+2x_2^2$，初始點(diǎn)$x_0=(2,1)^T$，精確線搜索，迭代2步并計(jì)算函數(shù)值。寫出問題$\minf(x)=x_1^3+3x_1x_2^2-15x_1-12x_2$的梯度和Hesse矩陣，并判斷點(diǎn)$x=(2,1)^T$是否為極值點(diǎn)?？紤]線性規(guī)劃問題$\maxz=3x_1+2x_2$s.t.$\begin{cases}2x_1+x_2\leq10\x_1+x_2\leq8\x_1,x_2\geq0\end{cases}$，用單純形法求解該問題。簡(jiǎn)述信賴域法的基本思想，并說明如何確定信賴域半徑的調(diào)整策略。四、建模與分析題（共2小題，每小題15分，共30分）某城市有5個(gè)污水處理廠，每個(gè)處理廠的處理能力和運(yùn)行成本不同?，F(xiàn)需要確定各處理廠的處理量，使得總處理成本最低，同時(shí)滿足城市每天的污水處理需求200萬噸。已知各處理廠的處理成本函數(shù)為二次函數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：處理廠最大處理能力（萬噸/天）成本函數(shù)（萬元）150$C_1(q_1)=0.1q_1^2+2q_1$260$C_2(q_2)=0.2q_2^2+1.5q_2$340$C_3(q_3)=0.15q_3^2+3q_3$470$C_4(q_4)=0.12q_4^2+2.5q_4$555$C_5(q_5)=0.18q_5^2+2.2q_5$（1）建立該問題的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型；（2）寫出KKT條件；（3）分析該問題是否為凸優(yōu)化問題，并說明理由。隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，優(yōu)化算法在機(jī)器學(xué)習(xí)中得到廣泛應(yīng)用。請(qǐng)回答以下問題：（1）在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中，為什么常用隨機(jī)梯度下降法而不是批量梯度下降法？（2）簡(jiǎn)述擬牛頓法（如L-BFGS）在訓(xùn)練深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的優(yōu)勢(shì)和挑戰(zhàn)；（3）結(jié)合袁亞湘院士的研究成果，談?wù)剝?yōu)化計(jì)算方法在未來人工智能發(fā)展中的潛在應(yīng)用方向。五、開放創(chuàng)新題（共1小題，20分）袁亞湘院士曾提出"計(jì)算是第三種科學(xué)方法"的觀點(diǎn)。請(qǐng)結(jié)合高中數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)與日常生活相關(guān)的優(yōu)化問題，要求：（1）描述問題背景和優(yōu)化目標(biāo)；（2）建立數(shù)學(xué)模型，明確決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件；（3）選擇合適的優(yōu)化算法，并說明選擇理由；（4）分析該問題的最優(yōu)解具有的實(shí)際意義。本試卷以袁亞湘院士在優(yōu)化計(jì)算領(lǐng)域的研究成果為核心，全面覆蓋了無約束優(yōu)化、約束優(yōu)化、線性規(guī)劃等基礎(chǔ)內(nèi)容，同時(shí)融入了機(jī)器學(xué)習(xí)、物流優(yōu)化等實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景。試卷結(jié)構(gòu)采用"基礎(chǔ)層+發(fā)展層+創(chuàng)新層"的三階架構(gòu)，既注重基礎(chǔ)知識(shí)的考查，又強(qiáng)調(diào)實(shí)際應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。通過這樣的試卷設(shè)計(jì)，旨在引導(dǎo)學(xué)生理解優(yōu)化計(jì)算的基本原理和方法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的能力，同時(shí)激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的興趣和探索精神。在題型設(shè)計(jì)上，除了傳統(tǒng)的選擇、填空和計(jì)算題外，特別增加了建模與分析題和開放創(chuàng)新題，強(qiáng)調(diào)理論聯(lián)系實(shí)際，鼓勵(lì)學(xué)生從日常生活中發(fā)現(xiàn)和提出優(yōu)化問題。這與袁亞湘院士倡導(dǎo)的"數(shù)學(xué)有趣，數(shù)學(xué)有用"的理念相呼應(yīng)，希望通過這樣的考查方式，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)優(yōu)化在解決實(shí)際問題中的強(qiáng)大威力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新思維。試卷內(nèi)容既包含了經(jīng)典的優(yōu)化算法如最速下降法、擬牛頓法、信賴域法等，也涉及了袁亞湘院士的研究貢獻(xiàn)，如自適應(yīng)信賴域算法、戴-袁方法等。通過這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)和考查，旨在引導(dǎo)學(xué)生了解優(yōu)化計(jì)算領(lǐng)域的前沿進(jìn)展，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)。在考查要求上，不僅要求學(xué)生掌握優(yōu)化算法的基本原理和計(jì)算步驟，更強(qiáng)調(diào)對(duì)算法思想的理解