2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)整體與部分試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2或3函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的定義域是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-1,3)D.[-1,3]已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則tan(α+π/4)的值為（）A.-7B.-1/7C.1/7D.7已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=1，a3+a5=14，則公差d=（）A.1B.2C.3D.4若向量a=(1,2)，b=(m,1)，且a⊥b，則m的值為（）A.-2B.-1C.1D.2某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.12B.18C.24D.36已知直線l1:ax+2y+6=0與l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則實數(shù)a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2從1,2,3,4,5這5個數(shù)字中任取2個數(shù)字，則這2個數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值是（）A.0B.2C.4D.6已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，則其漸近線方程為（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±(√2/2)xD.y=±(√3/3)x已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的最小正周期為π，且其圖像關(guān)于直線x=π/3對稱，則φ的值為（）A.-π/6B.π/6C.-π/3D.π/3已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)=x3，則f(2025.5)=（）A.-1/8B.1/8C.-8D.8二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則|z|=______。已知函數(shù)f(x)=2x+1/x-1(x>1)，則f(x)的最小值為______。已知正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為√5，則該正四棱錐的體積為______。已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線交拋物線于A,B兩點，過點A作準線l的垂線，垂足為C，若△ABC的面積為8√2，則直線AB的斜率為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1=2，且a2,a3+2,a4成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知cosA=3/5，b=5，c=7。（1）求a的值；（2）求sinC的值；（3）求△ABC的面積。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，點D,E分別是棱BC,CC1的中點。（1）求證：AD⊥平面BCC1B1；（2）求異面直線A1B與DE所成角的余弦值；（3）求三棱錐A1-BDE的體積。（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)。（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點，O為坐標原點，若kOA·kOB=-1/4，求證：△AOB的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3x+1。（1）若函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）當a=1時，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）為了了解某學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從該校隨機抽取了100名學(xué)生進行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，得到如下頻率分布表：成績分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.150.300.350.15（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若從成績在[50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機抽取2人，求這2人成績在同一分組的概率；（3）以這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的頻率分布估計該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的概率分布，若從該校隨機抽取3名學(xué)生，記X為成績在[80,100]的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。選做題，考生可任選一題作答，若兩題都做，則按第一題計分）已知矩陣A=[[1,2],[3,4]]，B=[[5,6],[7,8]]，求：（1）AB；（2）A?1。在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為{x=2cosθ,y=sinθ}(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為{x=1+t,y=2-t}(t為參數(shù))。（1）求曲線C和直線l的普通方程；（2）設(shè)曲線C與直線l交于A,B兩點，求|AB|。參考答案及評分標準一、選擇題C2.A3.B4.B5.A6.B7.A8.B9.B10.A11.B12.A二、填空題√214.2√2+115.4/316.±1三、解答題（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a2,a3+2,a4成等差數(shù)列，所以2(a3+2)=a2+a4。又a1=2，所以2(2q2+2)=2q+2q3，化簡得q3-2q2+q-2=0，即(q-2)(q2+1)=0，解得q=2。所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2×2^(n-1)=2^n。（2）由（1）知bn=log2an=log22^n=n，所以數(shù)列{bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以Sn=n(n+1)/2。（1）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=52+72-2×5×7×3/5=25+49-42=32，所以a=4√2。（2）由cosA=3/5，得sinA=4/5。由正弦定理得a/sinA=c/sinC，所以sinC=csinA/a=7×4/5/(4√2)=7√2/10。（3）△ABC的面積S=1/2bcsinA=1/2×5×7×4/5=14。（1）因為AA1⊥平面ABC，AD?平面ABC，所以AA1⊥AD。又AB=AC，D是BC的中點，所以AD⊥BC。因為BC∩AA1=A，所以AD⊥平面BCC1B1。（2）以A為原點，AB,AC,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系，則A1(0,0,2),B(2,0,0),D(1,1,0),E(0,2,1)。所以A1B=(2,0,-2),DE=(-1,1,1)。設(shè)異面直線A1B與DE所成角為θ，則cosθ=|A1B·DE|/(|A1B||DE|)=|2×(-1)+0×1+(-2)×1|/(√(4+0+4)√(1+1+1))=|-4|/(2√2×√3)=4/(2√6)=√6/3。（3）因為AD⊥平面BCC1B1，所以點A1到平面BDE的距離等于點A到平面BDE的距離，即AD的長。由（2）知AD=(1,1,0)，所以|AD|=√2。又B(2,0,0),D(1,1,0),E(0,2,1)，所以BD=(-1,1,0),BE=(-2,2,1)。所以S△BDE=1/2|BD×BE|=1/2|(-1,1,0)×(-2,2,1)|=1/2|(1×1-0×2,0×(-2)-(-1)×1,(-1)×2-1×(-2))|=1/2|(1,1,0)|=√2/2。所以三棱錐A1-BDE的體積V=1/3S△BDE×|AD|=1/3×√2/2×√2=1/3。（1）由題意得e=c/a=√3/2，a2=b2+c2，4/a2+1/b2=1，解得a2=8，b2=2，所以橢圓C的標準方程為x2/8+y2/2=1。（2）設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，聯(lián)立{x2/8+y2/2=1,y=kx+m}，得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0。所以x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)。因為kOA·kOB=y1y2/(x1x2)=(kx1+m)(kx2+m)/(x1x2)=(k2x1x2+km(x1+x2)+m2)/(x1x2)=-1/4，所以4(k2x1x2+km(x1+x2)+m2)=-x1x2，即(4k2+1)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0。將x1+x2,x1x2代入得(4k2+1)(4m2-8)/(1+4k2)+4km(-8km)/(1+4k2)+4m2=0，化簡得m2=2+8k2。所以|AB|=√(1+k2)|x1-x2|=√(1+k2)√[(x1+x2)2-4x1x2]=√(1+k2)√[64k2m2/(1+4k2)2-4(4m2-8)/(1+4k2)]=√(1+k2)√[64k2(2+8k2)/(1+4k2)2-4(4(2+8k2)-8)/(1+4k2)]=√(1+k2)√[128k2(1+4k2)/(1+4k2)2-4(32k2)/(1+4k2)]=√(1+k2)√[128k2/(1+4k2)-128k2/(1+4k2)]=√(1+k2)×0=0。因為A,B兩點不重合，所以|AB|≠0，所以△AOB的面積S=1/2|m||x1-x2|=1/2|m|√[(x1+x2)2-4x1x2]=1/2|m|√[64k2m2/(1+4k2)2-4(4m2-8)/(1+4k2)]=1/2|m|√[64k2(2+8k2)/(1+4k2)2-4(4(2+8k2)-8)/(1+4k2)]=1/2|m|√[128k2(1+4k2)/(1+4k2)2-4(32k2)/(1+4k2)]=1/2|m|√[128k2/(1+4k2)-128k2/(1+4k2)]=1/2|m|×0=0。因為m2=2+8k2>0，所以m≠0，所以S=0不成立，即假設(shè)錯誤，所以△AOB的面積為定值。（1）因為f(x)在R上是增函數(shù)，所以f'(x)=3x2-6ax+3≥0在R上恒成立，即x2-2ax+1≥0在R上恒成立，所以Δ=4a2-4≤0，解得-1≤a≤1，所以實數(shù)a的取值范圍是[-1,1]。（2）因為f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在極值點，所以f'(x)=3x2-6ax+3=0在區(qū)間(2,3)內(nèi)有解，即x2-2ax+1=0在區(qū)間(2,3)內(nèi)有解，所以2a=x+1/x在區(qū)間(2,3)內(nèi)有解。令g(x)=x+1/x，則g'(x)=1-1/x2>0在區(qū)間(2,3)內(nèi)恒成立，所以g(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)單調(diào)遞增，所以g(2)=5/2，g(3)=10/3，所以5/2<2a<10/3，解得5/4<a<5/3，所以實數(shù)a的取值范圍是(5/4,5/3)。（3）當a=1時，f(x)=x3-3x2+3x+1，f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0，所以f(x)在區(qū)間[0,3]上單調(diào)遞增，所以f(x)的最大值為f(3)=27-27+9+1=10，最小值為f(0)=0-0+0+1=1。（1）這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為55×0.05+65×0.15+75×0.30+85×0.35+95×0.15=2.75+9.75+22.5+29.75+14.25=79。方差為(55-79)2×0.05+(65-79)2×0.15+(75-79)2×0.30+(85-79)2×0.35+(95-79)2×0.15=(-24)2×0.05+(-14)2×0.15+(-4)2×0.30+62×0.35+162×0.15=576×0.05+196×0.15+16×0.30+36×0.35+256×0.15=28.8+29.4+4.8+12.6+38.4=114。（2）成績在[50,60)的學(xué)生有100×0.05=5人，成績在[90,100]的學(xué)生有100×0.15=15人，所以從這20名學(xué)生中隨機抽取2人，基本事件總數(shù)為C202=190。這2人成績在同一分組包含的基本事件個數(shù)為C52+C152=10+105=115，所以這2人成績在同一分組的概率P=115/190=23/38。（3）由頻率分布表知，成績在[80,100]的頻率為0.35+0.15=0.5，所以X~B(3,0.5)。X的可能取值為0,1,2,3，P(X=0)=C3?×0.5?×(1-0.5)3=1×1×1/8=1/8，P(X=1)=C31×0.51×(1-0.5)2=3×1/2×1/4=3/8，P(X=2)=C32×0.52×(1-0.5)1=3×1/4×1/2=3/8，P(X=3)=C33×0.53×(1-0.5)?=1×1/8×1=1/8。所以X的分布列為：X0123P1/83/83/81/8數(shù)學(xué)期望E(X)=0×1/8+1×3/8+2×3/8+3×1/8=0+3/8+6/8+3/8=12/8=3/2。四、附加題（1）AB=[[1×5+2×7,1×6+2×8],[3×5+4×7,3×6+4×8]]=[[5+14,6+16],[1