2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)智能化技術(shù)試卷一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）在智能教學(xué)平臺(tái)中，某函數(shù)$f(x)$的圖像通過(guò)動(dòng)態(tài)演示系統(tǒng)呈現(xiàn)，其定義域?yàn)?(-\infty,+\infty)$，且滿足$f(-x)=-f(x)$，當(dāng)$x>0$時(shí)，函數(shù)圖像呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)。以下函數(shù)中符合該特征的是（）A.$f(x)=x^2$B.$f(x)=\sinx$C.$f(x)=e^x-e^{-x}$D.$f(x)=\log_2|x|$某虛擬實(shí)驗(yàn)室通過(guò)隨機(jī)模擬擲骰子實(shí)驗(yàn)（每個(gè)骰子有6個(gè)面，點(diǎn)數(shù)分別為1-6），生成了10000組數(shù)據(jù)。若同時(shí)擲3個(gè)骰子，利用平臺(tái)的概率計(jì)算模塊預(yù)測(cè)“三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為10”的概率最接近（）A.0.08B.0.12C.0.15D.0.18在AR幾何教學(xué)系統(tǒng)中，一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被平面$x+y+z=3$截得的截面圖形，通過(guò)三維重建技術(shù)顯示其形狀為（）A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形某學(xué)習(xí)分析平臺(tái)對(duì)高一年級(jí)500名學(xué)生的數(shù)學(xué)周測(cè)成績(jī)進(jìn)行大數(shù)據(jù)分析，得出成績(jī)分布近似服從正態(tài)分布$N(75,10^2)$。以下利用平臺(tái)統(tǒng)計(jì)模塊得出的結(jié)論正確的是（）A.成績(jī)?cè)赱65,85]范圍內(nèi)的學(xué)生約有341人B.成績(jī)超過(guò)95分的學(xué)生約占總數(shù)的2.3%C.若將分?jǐn)?shù)段[55,95]等分為4組，則眾數(shù)所在組為[65,75)D.方差為10，表明數(shù)據(jù)離散程度較小智能解題系統(tǒng)在處理方程$\sqrt{x+2}=x$時(shí)，通過(guò)分步提示功能給出解題步驟。以下步驟正確的是（）A.直接平方得$x+2=x^2$，解得$x=2$或$x=-1$B.先確定定義域$x\geq0$，再平方得$x^2-x-2=0$，解得$x=2$C.移項(xiàng)得$\sqrt{x+2}-x=0$，因式分解得$(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+1)=0$，解得$x=2$D.構(gòu)造函數(shù)$f(x)=\sqrt{x+2}-x$，通過(guò)圖像交點(diǎn)法觀察到僅有一個(gè)正根$x=2$在動(dòng)態(tài)幾何軟件中，點(diǎn)$P(1,2)$在矩陣$\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix}$對(duì)應(yīng)的變換作用下，生成的新坐標(biāo)通過(guò)實(shí)時(shí)計(jì)算功能顯示為（）A.(2,-1)B.(-2,1)C.(1,-2)D.(-1,-2)某AI教學(xué)助手在分析三角函數(shù)題時(shí)，給出函數(shù)$f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0)$的部分圖像數(shù)據(jù)：最高點(diǎn)坐標(biāo)$(\frac{\pi}{6},2)$，相鄰對(duì)稱(chēng)中心距離為$\frac{\pi}{2}$。則以下參數(shù)計(jì)算正確的是（）A.$A=2$，$\omega=2$，$\varphi=\frac{\pi}{6}$B.$A=2$，$\omega=2$，$\varphi=\frac{\pi}{3}$C.$A=2$，$\omega=1$，$\varphi=\frac{\pi}{6}$D.$A=2$，$\omega=1$，$\varphi=\frac{\pi}{3}$虛擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)模擬了一個(gè)密閉容器內(nèi)氣體分子的運(yùn)動(dòng)軌跡，其運(yùn)動(dòng)方程滿足參數(shù)方程$\begin{cases}x=3\cost\y=2\sint\z=t\end{cases}$（$t$為時(shí)間）。則在$t=\pi$時(shí)刻，分子運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度大小為（）A.$\sqrt{13}$B.$\sqrt{14}$C.$\sqrt{15}$D.4智能測(cè)評(píng)系統(tǒng)在分析學(xué)生作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)某題的典型錯(cuò)誤解法：“已知直線$l:y=kx+1$與圓$x^2+y^2=1$相切，求$k$的值?！睂W(xué)生解答為“由圓心到直線距離等于半徑，得$\frac{|1|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，解得$k=0$”。系統(tǒng)提示錯(cuò)誤原因是（）A.圓心坐標(biāo)判斷錯(cuò)誤B.距離公式應(yīng)用錯(cuò)誤C.忽略直線過(guò)定點(diǎn)的特殊性D.未考慮$k$不存在的情況在數(shù)據(jù)可視化平臺(tái)中，某城市2025年1-6月的平均氣溫（單位：℃）數(shù)據(jù)為：12,15,20,26,30,33。通過(guò)趨勢(shì)預(yù)測(cè)模塊生成的線性回歸方程為$\hat{y}=bx+a$，則以下說(shuō)法正確的是（）A.回歸系數(shù)$b\approx4.2$，表明每月平均氣溫約增長(zhǎng)4.2℃B.相關(guān)系數(shù)$r>0$，表明氣溫與月份呈負(fù)相關(guān)C.6月份預(yù)測(cè)值為33，與實(shí)際值完全一致D.決定系數(shù)$R^2=1$，表明模型擬合效果極佳某編程教學(xué)平臺(tái)在數(shù)學(xué)建模模塊中，要求學(xué)生設(shè)計(jì)算法計(jì)算$1+3+5+\cdots+99$的值。以下Python代碼段正確的是（）A.sum=0foriinrange(1,100,2):sum+=iprint(sum)B.sum=0i=1whilei<=99:sum+=ii+=1print(sum)C.print(sum(range(1,100,2)))D.defadd(n):ifn==1:return1returnn+add(n-2)print(add(99))在VR空間幾何系統(tǒng)中，棱長(zhǎng)為1的正四面體的外接球通過(guò)動(dòng)態(tài)演示可觀察到其半徑為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{\sqrt{6}}{4}$C.$\frac{\sqrt{6}}{3}$D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）智能作業(yè)批改系統(tǒng)在識(shí)別學(xué)生解答“若復(fù)數(shù)$z$滿足$z(1+i)=2i$，則$|z|=$”時(shí)，通過(guò)OCR識(shí)別技術(shù)發(fā)現(xiàn)典型錯(cuò)誤答案為$\sqrt{2}i$，其錯(cuò)誤原因是。某學(xué)習(xí)平臺(tái)的數(shù)據(jù)分析模塊顯示，學(xué)生在“圓錐曲線”章節(jié)的錯(cuò)題集中，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率計(jì)算錯(cuò)誤率最高。若橢圓兩焦點(diǎn)間距離為4，且過(guò)點(diǎn)$(2,\sqrt{2})$，則正確離心率為_(kāi)__。動(dòng)態(tài)概率模擬器在模擬“拋硬幣”實(shí)驗(yàn)時(shí)，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)增加，正面朝上頻率逐漸穩(wěn)定在0.5附近。若實(shí)驗(yàn)次數(shù)為$n$，方差為$\sigma^2$，則當(dāng)$n$增大時(shí)，$\sigma^2$的變化趨勢(shì)是___（填“增大”“減小”或“不變”）。在三維建模軟件中，由曲線$y=x^2$，直線$y=0$，$x=1$圍成的平面圖形繞$x$軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積，通過(guò)積分計(jì)算功能得出結(jié)果為_(kāi)__。三、解答題（共6小題，共70分）（10分）某智能教學(xué)平臺(tái)的函數(shù)圖像繪制功能可以實(shí)時(shí)生成函數(shù)圖像并標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)。已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$，請(qǐng)完成以下任務(wù)：（1）利用導(dǎo)數(shù)工具求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）在平臺(tái)中輸入函數(shù)表達(dá)式后，觀察到圖像與$x$軸有三個(gè)交點(diǎn)，求出所有交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若將函數(shù)圖像向右平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，寫(xiě)出新函數(shù)的解析式。（12分）虛擬實(shí)驗(yàn)室的統(tǒng)計(jì)分析模塊收集了某高中100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分），數(shù)據(jù)如下表所示：分?jǐn)?shù)段[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]人數(shù)510203020105（1）計(jì)算該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；（2）通過(guò)平臺(tái)的直方圖繪制功能，判斷數(shù)據(jù)分布類(lèi)型（正態(tài)分布/偏態(tài)分布），并說(shuō)明理由；（3）若規(guī)定成績(jī)≥120分為“優(yōu)秀”，利用頻率估計(jì)概率，從該校隨機(jī)抽取3名學(xué)生，求至少有1人成績(jī)優(yōu)秀的概率。（12分）在動(dòng)態(tài)幾何軟件中，已知三棱錐$P-ABC$，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$。（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求異面直線$PB$與$AC$所成角的余弦值；（3）利用向量法求點(diǎn)$A$到平面$PBC$的距離。（12分）某電商平臺(tái)的銷(xiāo)售數(shù)據(jù)通過(guò)大數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)處理后，得到某商品的日銷(xiāo)量$y$（單位：件）與銷(xiāo)售單價(jià)$x$（單位：元）的關(guān)系近似滿足函數(shù)$y=-x^2+200x-8000(40\leqx\leq120)$。（1）求銷(xiāo)售單價(jià)為多少時(shí)，日銷(xiāo)量最大？最大日銷(xiāo)量是多少？（2）若該商品成本為40元/件，求日利潤(rùn)$L(x)$的函數(shù)解析式（利潤(rùn)=銷(xiāo)量×(單價(jià)-成本)）；（3）利用導(dǎo)數(shù)工具求日利潤(rùn)最大時(shí)的銷(xiāo)售單價(jià)，并計(jì)算最大日利潤(rùn)。（12分）智能解題系統(tǒng)在處理圓錐曲線問(wèn)題時(shí)，會(huì)自動(dòng)生成輔助線和解題思路。已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線$l:y=kx+m$與橢圓$C$交于$A,B$兩點(diǎn)，且以$AB$為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)$O$，求證：$a^2m^2=b^2(1+k^2)(a^2k^2+b^2)$；（3）在平臺(tái)中調(diào)整直線$l$的斜率$k$，觀察到當(dāng)$k=1$時(shí)，弦$AB$長(zhǎng)度取得最大值，求此時(shí)$m$的值。（12分）某數(shù)學(xué)建模平臺(tái)要求學(xué)生解決以下問(wèn)題：為響應(yīng)“綠色出行”號(hào)召，某城市計(jì)劃新增共享單車(chē)投放點(diǎn)。已知該城市區(qū)域可簡(jiǎn)化為邊長(zhǎng)為10km的正方形，現(xiàn)有兩個(gè)投放點(diǎn)$A(0,0)$和$B(10,10)$，新投放點(diǎn)$C(x,y)$需滿足到$A,B$兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)16km。（1）建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)$C$的軌跡方程；（2）利用橢圓的幾何性質(zhì)，求新投放點(diǎn)$C$的橫坐標(biāo)$x$的取值范圍；（3）若在軌跡上隨機(jī)選取一點(diǎn)$C$，求其到原點(diǎn)$O$距離小于8km的概率（結(jié)果保留兩位小數(shù)）。四、技術(shù)應(yīng)用題（共2小題，共30分）（15分）某AI數(shù)學(xué)助手具有代碼生成和運(yùn)行功能，要求完成以下任務(wù)：（1）編寫(xiě)一個(gè)Python函數(shù)，實(shí)現(xiàn)“輸入一個(gè)正整數(shù)$n$，輸出斐波那契數(shù)列的前$n$項(xiàng)”；（2）利用該函數(shù)生成前20項(xiàng)斐波那契數(shù)列，通過(guò)平臺(tái)的數(shù)據(jù)分析功能計(jì)算數(shù)列前20項(xiàng)的和；（3）觀察數(shù)列規(guī)律，猜想$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}$的值（$F_n$為第$n$項(xiàng)斐波那