2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)正弦定理應(yīng)用試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$R$為△ABC內(nèi)切圓半徑B.$a=2R\sinA$C.$\sinA=\frac{2R}$D.$\frac{a}{\sinB}=\frac{\sinA}$在△ABC中，已知$A=30^\circ$，$a=2$，$b=2\sqrt{3}$，則角B的大小為（）A.$60^\circ$B.$120^\circ$C.$60^\circ$或$120^\circ$D.無解在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若$a=2$，$b=3$，$A=30^\circ$，則滿足條件的三角形個數(shù)為（）A.0個B.1個C.2個D.無法確定在△ABC中，若$\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5$，則△ABC的形狀為（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形已知△ABC的外接圓半徑為2，$a=2\sqrt{3}$，則角A的大小為（）A.$60^\circ$或$120^\circ$B.$30^\circ$或$150^\circ$C.$60^\circ$D.$30^\circ$在△ABC中，$A=60^\circ$，$b=1$，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，則$\frac{a+b+c}{\sinA+\sinB+\sinC}$的值為（）A.$\frac{2\sqrt{39}}{3}$B.$\frac{\sqrt{39}}{3}$C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若$a\cosB=b\cosA$，則△ABC的形狀為（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形文壁巽塔位于桐鄉(xiāng)市崇福鎮(zhèn)中山公園，為測量塔的高度AB，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得∠BCD=60°，∠BDC=45°，CD=20米，在點C測得塔頂A的仰角為30°，則塔高AB為（）A.$10\sqrt{6}$米B.$10\sqrt{3}$米C.$10\sqrt{2}$米D.10米二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）在△ABC中，已知$A=45^\circ$，$B=60^\circ$，$a=2$，則$b=$_________。在△ABC中，$a=3$，$b=4$，$C=60^\circ$，則△ABC外接圓的面積為_________。在△ABC中，若$\frac{\sinA}{a}=\frac{\cosB}=\frac{\cosC}{c}$，則角A的大小為_________。在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若滿足條件的三角形有且只有一個，已知$A=30^\circ$，$a=2$，則b的取值范圍為_________。三、解答題（本大題共6小題，共90分）（本小題滿分14分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$A=60^\circ$，$c=3b$。（1）求$\sinC$的值；（2）若a=7，求△ABC的面積。（本小題滿分14分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$\frac{\sinA+\sinB}{\sinC}=\frac{a+c}{a+b}$。（1）求角B的大??；（2）若$b=2\sqrt{3}$，△ABC的面積為$2\sqrt{3}$，求a+c的值。（本小題滿分15分）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足$2\sinB\cosC+\sinC=2\sinA$。（1）求角B的大小；（2）若$b=2\sqrt{3}$，求$a+c$的取值范圍。（本小題滿分15分）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，AD=3。（1）求BC和CD的長；（2）求四邊形ABCD的面積。（本小題滿分16分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$a\cosC+\sqrt{3}a\sinC-b-c=0$。（1）求角A的大??；（2）若$a=2$，求△ABC的周長的取值范圍；（3）若$a=2$，求△ABC面積的最大值。（本小題滿分16分）某觀測站C在目標(biāo)A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測得與C相距31km的公路上的B處有一人正沿公路向A走去，走20km到達D處，此時測得CD距離為21km。（1）求∠BDC的大??；（2）求此人所在D處距離目標(biāo)A還有多少km？參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.C3.C4.B5.A6.A7.A8.A二、填空題$\sqrt{6}$10.$\frac{25\pi}{3}$11.$90^\circ$12.$b=4$或$0<b\leq2$三、解答題解：（1）由正弦定理得$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$，因為$c=3b$，所以$\sinC=3\sinB$。又因為$A=60^\circ$，所以$B+C=120^\circ$，即$C=120^\circ-B$。所以$\sin(120^\circ-B)=3\sinB$，展開得$\sin120^\circ\cosB-\cos120^\circ\sinB=3\sinB$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}\cosB+\frac{1}{2}\sinB=3\sinB$，整理得$\frac{\sqrt{3}}{2}\cosB=\frac{5}{2}\sinB$，所以$\tanB=\frac{\sqrt{3}}{5}$，則$\sinB=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{28}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$，所以$\sinC=3\sinB=\frac{3\sqrt{21}}{14}$。（7分）（2）由余弦定理得$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，因為$a=7$，$c=3b$，$A=60^\circ$，所以$49=b^2+9b^2-2b\cdot3b\cdot\frac{1}{2}=7b^2$，解得$b^2=7$，即$b=\sqrt{7}$，則$c=3\sqrt{7}$。所以△ABC的面積$S=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}\times\sqrt{7}\times3\sqrt{7}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{21\sqrt{3}}{4}$。（14分）解：（1）由正弦定理得$\frac{a+b}{c}=\frac{a+c}{a+b}$，整理得$(a+b)^2=c(a+c)$，即$a^2+2ab+b^2=ac+c^2$，所以$a^2+c^2-b^2=ac$。由余弦定理得$\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，因為$0^\circ<B<180^\circ$，所以$B=60^\circ$。（7分）（2）因為△ABC的面積為$2\sqrt{3}$，所以$\frac{1}{2}ac\sinB=2\sqrt{3}$，即$\frac{1}{2}ac\sin60^\circ=2\sqrt{3}$，解得$ac=8$。由余弦定理得$b^2=a^2+c^2-2ac\cosB$，即$(2\sqrt{3})^2=a^2+c^2-2\times8\times\frac{1}{2}$，所以$12=a^2+c^2-8$，即$a^2+c^2=20$。所以$(a+c)^2=a^2+c^2+2ac=20+16=36$，則$a+c=6$。（14分）解：（1）因為$2\sinB\cosC+\sinC=2\sinA$，又因為$\sinA=\sin(B+C)=\sinB\cosC+\cosB\sinC$，所以$2\sinB\cosC+\sinC=2(\sinB\cosC+\cosB\sinC)$，整理得$\sinC=2\cosB\sinC$。因為$0^\circ<C<180^\circ$，所以$\sinC\neq0$，所以$2\cosB=1$，即$\cosB=\frac{1}{2}$，因為$0^\circ<B<90^\circ$，所以$B=60^\circ$。（5分）（2）由正弦定理得$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=\frac{2\sqrt{3}}{\sin60^\circ}=4$，所以$a=4\sinA$，$c=4\sinC$。因為$A+B+C=180^\circ$，$B=60^\circ$，所以$C=120^\circ-A$，所以$a+c=4\sinA+4\sin(120^\circ-A)=4[\sinA+\sin120^\circ\cosA-\cos120^\circ\sinA]$$=4[\sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}\cosA+\frac{1}{2}\sinA]=4[\frac{3}{2}\sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}\cosA]$$=4\sqrt{3}[\frac{\sqrt{3}}{2}\sinA+\frac{1}{2}\cosA]=4\sqrt{3}\sin(A+30^\circ)$。（10分）因為△ABC是銳角三角形，所以$\begin{cases}0^\circ<A<90^\circ\0^\circ<C<90^\circ\end{cases}$，即$\begin{cases}0^\circ<A<90^\circ\0^\circ<120^\circ-A<90^\circ\end{cases}$，解得$30^\circ<A<90^\circ$，所以$60^\circ<A+30^\circ<120^\circ$，則$\frac{\sqrt{3}}{2}<\sin(A+30^\circ)\leq1$，所以$4\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}<a+c\leq4\sqrt{3}\times1$，即$6<a+c\leq4\sqrt{3}$，所以$a+c$的取值范圍是$(6,4\sqrt{3}]$。（15分）解：（1）延長AD，BC交于點E，因為∠A=60°，∠B=90°，所以∠E=30°。在Rt△ABE中，AE=2AB=4，所以DE=AE-AD=4-3=1。在Rt△CDE中，設(shè)CD=x，則CE=2x，在Rt△CBE中，BC=CE\sin30°=x，BE=CE\cos30°=\sqrt{3}x。又因為BE=AB\tan60°=2\sqrt{3}，所以$\sqrt{3}x=2\sqrt{3}$，解得$x=2$，所以BC=x=2，CD=x=2。（10分）（2）四邊形ABCD的面積$S=S_{\triangleABE}-S_{\triangleCDE}$$=\frac{1}{2}AB\cdotBE-\frac{1}{2}CD\cdotDE$$=\frac{1}{2}\times2\times2\sqrt{3}-\frac{1}{2}\times2\times1=\2\sqrt{3}-1$。（15分）解：（1）由正弦定理得$\sinA\cosC+\sqrt{3}\sinA\sinC-\sinB-\sinC=0$，因為$\sinB=\sin(A+C)=\sinA\cosC+\cosA\sinC$，所以$\sinA\cosC+\sqrt{3}\sinA\sinC-(\sinA\cosC+\cosA\sinC)-\sinC=0$，整理得$\sqrt{3}\sinA\sinC-\cosA\sinC-\sinC=0$。因為$0^\circ<C<180^\circ$，所以$\sinC\neq0$，所以$\sqrt{3}\sinA-\cosA-1=0$，即$\sqrt{3}\sinA-\cosA=1$，所以$2\sin(A-30^\circ)=1$，即$\sin(A-30^\circ)=\frac{1}{2}$。因為$0^\circ<A<180^\circ$，所以$-30^\circ<A-30^\circ<150^\circ$，所以$A-30^\circ=30^\circ$，即$A=60^\circ$。（5分）（2）由正弦定理得$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=\frac{2}{\sin60^\circ}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，所以$b=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sinB$，$c=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sinC$。因為$A=60^\circ$，所以$B+C=120^\circ$，即$C=120^\circ-B$，所以$b+c=\frac{4\sqrt{3}}{3}[\sinB+\sin(120^\circ-B)]=\frac{4\sqrt{3}}{3}[\sinB+\sin120^\circ\cosB-\cos120^\circ\sinB]$$=\frac{4\sqrt{3}}{3}[\sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}\cosB+\frac{1}{2}\sinB]=\frac{4\sqrt{3}}{3}[\frac{3}{2}\sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}\cosB]$$=\frac{4\sqrt{3}}{3}\times\sqrt{3}[\frac{\sqrt{3}}{2}\sinB+\frac{1}{2}\cosB]=4\sin(B+30^\circ)$。（8分）因為$0^\circ<B<120^\circ$，所以$30^\circ<B+30^\circ<150^\circ$，則$\frac{1}{2}<\sin(B+30^\circ)\leq1$，所以$4\times\frac{1}{2}<b+c\leq4\times1$，即$2<b+c\leq4$，所以$a+b+c=2+b+c\in(4,6]$，即△ABC周長的取值范圍是$(4,6]$。（10分）（3）由余弦定理得$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，即$4=b^2+c^2-bc$，因為$b^2+c^2\geq2bc$，所以$4=b^2+c^2-bc\geq2bc-bc=bc$，即$bc\leq4$，當(dāng)且僅當(dāng)$b=c=2$時等號成立。所以△ABC的面積$S=\frac{1}{2}bc\sinA\leq\frac{1}{2}\times4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，即△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$。（16