2025年上學期高二數(shù)學周測（第八周）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))命題“(\forallx>0)，(x^2+x>0)”的否定是（）A.(\existsx>0)，(x^2+x\leq0)B.(\existsx\leq0)，(x^2+x\leq0)C.(\forallx>0)，(x^2+x\leq0)D.(\forallx\leq0)，(x^2+x>0)函數(shù)(f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{2-x}})的定義域是（）A.((-1,2))B.([-1,2))C.((-1,2])D.([-1,2])已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp\vec)，則(m=)（）A.(-4)B.(-1)C.(1)D.(4)若函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的最小正周期為(\pi)，且其圖像關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{3})對稱，則(\varphi=)（）A.(-\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{6})C.(-\frac{\pi}{3})D.(\frac{\pi}{3})已知等比數(shù)列({a_n})中，(a_1=2)，(a_4=16)，則數(shù)列({a_n})的前5項和(S_5=)（）A.(30)B.(62)C.(126)D.(254)若(x)，(y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為（）A.(5)B.(7)C.(8)D.(9)函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.((-\infty,0))B.((0,2))C.((2,+\infty))D.((-\infty,0)\cup(2,+\infty))已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A)，(B)兩點，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)（）A.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\pm\sqrt{3})C.(\pm1)D.(\pm2)已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_2x,&x>0\end{cases})，則(f(f(-1))=)（）A.(-1)B.(\frac{1}{2})C.(1)D.(2)在(\triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所對的邊分別為(a)，(b)，(c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，則(c=)（）A.(\sqrt{7})B.(\sqrt{13})C.(\sqrt{19})D.(\sqrt{37})已知函數(shù)(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)在(x=-1)處取得極大值，在(x=3)處取得極小值，則(a+b=)（）A.(-12)B.(-9)C.(9)D.(12)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）曲線(y=x^2-\lnx)在點((1,1))處的切線方程為__________。已知(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)__________。若雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為__________。已知函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+a)在區(qū)間([0,2])上的最小值為(-2)，則實數(shù)(a=)__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，且(a_2=5)，(S_5=35)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）若(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(T_n)。（本小題滿分12分）在(\triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所對的邊分別為(a)，(b)，(c)，且滿足(\cosA=\frac{3}{5})，(\cosB=\frac{5}{13})。（1）求(\sinC)的值；（2）若(c=14)，求(\triangleABC)的面積。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2x+1)。（1）求函數(shù)(f(x))的導數(shù)(f'(x))；（2）求函數(shù)(f(x))在區(qū)間([-1,2])上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)是矩形，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=AB=2)，(AD=4)，(E)是(PD)的中點。（1）求證：(AE\parallel)平面(PBC)；（2）求三棱錐(E-PBC)的體積。（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的標準方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A)，(B)兩點，(O)為坐標原點，若(OA\perpOB)，求(m^2)的取值范圍。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx-ax+1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若函數(shù)(f(x))有兩個零點，求實數(shù)(a)的取值范圍。參考答案及解析一、選擇題A解析：解不等式(x^2-3x+2<0)得(1<x<2)，即(A=(1,2))；解(2^x>4=2^2)得(x>2)，即(B=(2,+\infty))。故(A\capB=\varnothing)，無正確選項（注：題目可能存在疏漏，若(B)為(2^x<4)，則(B=(-\infty,2))，(A\capB=(1,2))，選A）。A解析：全稱命題的否定為特稱命題，將“(\forall)”改為“(\exists)”，并否定結(jié)論，即(\existsx>0)，(x^2+x\leq0)。A解析：由(x+1>0)且(2-x>0)得(-1<x<2)。C解析：(\vec{a}\perp\vec\Rightarrow\vec{a}\cdot\vec=2\times1+m\times(-2)=0\Rightarrow2-2m=0\Rightarrowm=1)。B解析：由周期(T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi)得(\omega=2)；圖像關(guān)于(x=\frac{\pi}{3})對稱，則(2\times\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi)，(k\in\mathbb{Z})，解得(\varphi=-\frac{\pi}{6}+k\pi)。又(|\varphi|<\frac{\pi}{2})，故(\varphi=\frac{\pi}{6})（取(k=1)）。B解析：設(shè)公比為(q)，則(a_4=a_1q^3\Rightarrow16=2q^3\Rightarrowq=2)。(S_5=\frac{2(2^5-1)}{2-1}=62)。D解析：畫出可行域，目標函數(shù)(z=2x+y)在點((3,3))處取得最大值(9)。B解析：(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，令(f'(x)<0)得(0<x<2)。C解析：圓(C)的標準方程為((x-1)^2+y^2=4)，圓心((1,0))，半徑(2)。圓心到直線(l)的距離(d=\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}})，由(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{3})得(d=1)，解得(k=0)（注：題目可能存在疏漏，若直線為(y=kx-1)，則(d=\frac{|k-1|}{\sqrt{k^2+1}}=1)，解得(k=0)或(k)不存在）。A解析：(f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2})，(f(f(-1))=f\left(\frac{1}{2}\right)=\log_2\frac{1}{2}=-1)。A解析：由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{2}=7\Rightarrowc=\sqrt{7})。B解析：(f'(x)=3x^2+2ax+b)，由極值點得(f'(-1)=0)，(f'(3)=0)，即(\begin{cases}3-2a+b=0\27+6a+b=0\end{cases})，解得(a=-3)，(b=-9)，故(a+b=-12)（注：題目選項可能存在疏漏，正確答案應(yīng)為(-12)）。二、填空題(y=x)解析：(y'=2x-\frac{1}{x})，在點((1,1))處的切線斜率為(2\times1-1=1)，切線方程為(y-1=1\times(x-1))，即(y=x)。3解析：分子分母同除以(\cos\alpha)得(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3)。(y=\pm\sqrt{2}x)解析：離心率(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}\Rightarrowc=\sqrt{3}a)，又(c^2=a^2+b^2\Rightarrow3a^2=a^2+b^2\Rightarrowb=\sqrt{2}a)，漸近線方程為(y=\pm\frac{a}x=\pm\sqrt{2}x)。(3)或(-2)解析：函數(shù)對稱軸為(x=a)。當(a\leq0)時，(f(x)_{\min}=f(0)=a=-2)；當(0<a<2)時，(f(x)_{\min}=f(a)=a-a^2=-2\Rightarrowa^2-a-2=0\Rightarrowa=2)（舍）或(a=-1)（舍）；當(a\geq2)時，(f(x)_{\min}=f(2)=4-4a+a=-2\Rightarrowa=2)（注：此處計算應(yīng)為(4-3a=-2\Rightarrowa=2)，但(a=2)時對稱軸為(x=2)，最小值為(f(2)=-2)，故(a=2)或(a=-2)）。三、解答題（1）設(shè)等差數(shù)列({a_n})的公差為(d)，則(\begin{cases}a_1+d=5\5a_1+\frac{5\times4}{2}d=35\end{cases})，解得(a_1=3)，(d=2)，故(a_n=3+2(n-1)=2n+1)。（2）(b_n=2^{2n+1}=2\times4^n)，則(T_n=2(4+4^2+\cdots+4^n)=2\times\frac{4(4^n-1)}{4-1}=\frac{8(4^n-1)}{3})。（1）(\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}=\frac{4}{5})，(\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{twelve}{13})，(\sinC=\sin(\pi-A-B)=\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB=\frac{4}{5}\times\frac{5}{13}+\frac{3}{5}\times\frac{12}{13}=\frac{56}{65})。（2）由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R)，得(2R=\frac{14}{\frac{56}{65}}=\frac{65}{4})，(a=2R\sinA=13)，(b=2R\sinB=15)，面積(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times13\times15\times\frac{56}{65}=84)。（1）(f'(x)=3x^2-6x+2)。（2）令(f'(x)=0)，解得(x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3})。在區(qū)間([-1,2])上，計算(f(-1)=-5)，(f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{9}+1)，(f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{2\sqrt{3}}{9}+1)，(f(2)=1)。故最大值為(1)，最小值為(-5)。（1）取(PC)中點(F)，連接(EF)，(BF)。(E)，(F)分別為(PD)，(PC)中點，則(EF\parallelCD)且(EF=\frac{1}{2}CD)。又(AB\parallelCD)且(AB=CD)，故(EF\parallelAB)且(EF=AB)，四邊形(ABFE)為平行四邊形，(AE\parallelBF)。又(BF\subset)平面(PBC)，(AE\not\subset)平面(PBC)，故(AE\parallel)平面(PBC)。（2）(V_{E-PBC}=V_{P-EBC})，(S_{\triangleEBC}=\frac{1}{2}S_{\triangleDBC}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times4\times2=2)，高(PA=2)，體積(V=\frac{1}{3}\times2\times2=\frac{4}{3})。（1）離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(c^2=\frac{3}{4}a^2)，(b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2)。將點((2,1))代入橢圓方程得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1\Rightarrowa^2=8)，(b^2=2)，標準方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，(\Delta>0\Rightarrow8k^2-m^2+2>0)。設(shè)(A(x_1,