2025年上學期高三數(shù)學“數(shù)學與生活”小專題試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）社區(qū)垃圾分類優(yōu)化問題某小區(qū)為提升垃圾分類效率，計劃將現(xiàn)有4個垃圾桶改造為智能分類站。經調研發(fā)現(xiàn)，分類站數(shù)量x（個）與居民日均分類準確率y（%）滿足函數(shù)關系y=15log?(x+1)+40。若要使準確率達到85%，至少需要設置分類站的數(shù)量為（）A.3個B.4個C.5個D.6個新能源汽車續(xù)航優(yōu)化某品牌電動汽車電池容量為60kWh，在勻速行駛時，每公里耗電量P（kWh/km）與速度v（km/h）的關系為P=0.0002v2-0.02v+0.5。當車輛以何種速度行駛時，續(xù)航里程（最大行駛距離）最長（）A.40km/hB.50km/hC.60km/hD.70km/h電商促銷策略分析某網店銷售一款商品，當售價為80元時，每日銷量為100件。市場調研表明，售價每降低1元，銷量增加5件。若該商品成本為50元/件，為獲得最大日利潤，售價應定為（）A.65元B.70元C.75元D.80元疫情期間口罩供應模型某地突發(fā)疫情時，口罩需求量激增。假設初始儲備量為50萬只，每日新增供應量為10萬只，而日消耗量N（萬只）與疫情持續(xù)天數(shù)t的關系為N=2t+5。疫情第幾天開始出現(xiàn)口罩短缺（）A.5天B.6天C.7天D.8天智能家居能耗管理某家庭安裝了智能電表，其日用電量y（kWh）與室外溫度x（℃）的關系近似滿足線性回歸方程y=-0.5x+25。若某天室外平均溫度為10℃，預計日用電量為（）A.15kWhB.20kWhC.25kWhD.30kWh城市共享單車調度某區(qū)域投放了1000輛共享單車，早高峰時段（7:00-9:00）有60%的車輛被使用，且每輛車使用時長X（分鐘）服從參數(shù)λ=0.02的指數(shù)分布。則早高峰期間單車平均使用時長為（）A.30分鐘B.40分鐘C.50分鐘D.60分鐘建筑材料最優(yōu)化某工地需搭建一個無蓋長方體臨時倉庫，體積為1200m3，底面為正方形。若側面材料單價為100元/m2，底面材料單價為200元/m2，當?shù)酌孢呴L為多少時總成本最低（）A.10mB.12mC.15mD.20m健康飲食營養(yǎng)配比營養(yǎng)師建議成年人每日攝入蛋白質70g、脂肪50g、碳水化合物300g。某品牌營養(yǎng)餐每份含蛋白質14g、脂肪10g、碳水化合物60g，單價8元。為滿足營養(yǎng)需求且花費最少，需購買該營養(yǎng)餐（）A.4份B.5份C.6份D.7份二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）快遞網點優(yōu)化某快遞網點每日處理包裹量y（件）與派件員人數(shù)x（人）的關系滿足y=150x-2x2（0≤x≤30）。若每日需處理3600件包裹，至少需要派件員______人。光伏發(fā)電效率計算某家庭安裝的太陽能電池板面積為10m2，在標準光照下日均發(fā)電量E（kWh）與日照時長t（h）的關系為E=1.5t+0.5。若該地區(qū)9月份平均日照時長為5.2h，則9月份總發(fā)電量為______kWh。社區(qū)核酸檢測安排某社區(qū)有居民5000人，設置3個檢測點，每個檢測點的效率為每小時80人。若采用分時段錯峰檢測，假設居民按均勻分布到達，完成全部檢測至少需要______小時。校園網絡覆蓋優(yōu)化某教學樓為長方形，長80m，寬20m。若在天花板安裝無線AP，信號覆蓋范圍為半徑15m的圓形區(qū)域，則至少需要安裝______個AP才能實現(xiàn)全樓覆蓋。三、解答題（本大題共5小題，共90分）農產品電商供應鏈（18分）某農戶種植的有機蔬菜通過電商平臺銷售，固定成本為2000元/月，可變成本包括：采摘包裝費：3元/kg物流費：首重1kg內8元，續(xù)重2元/kg平臺傭金：銷售額的5%設每月銷量為xkg，售價為p元/kg，且銷量與售價滿足關系x=500-10p（p≥10）。（1）寫出月利潤L關于售價p的函數(shù)關系式；（2）求使月利潤最大的售價及最大利潤；（3）若平臺推出“滿100減10”促銷活動，分析該策略對最大利潤的影響。城市綠化工程規(guī)劃（18分）某公園計劃在一塊直角三角形空地上（直角邊分別為60m、80m）修建矩形草坪，草坪一邊在斜邊上，另兩個頂點在直角邊上（如圖）。（1）設草坪與斜邊平行的邊長為xm，寫出草坪面積S關于x的函數(shù)；（2）求草坪面積的最大值及對應的x值；（3）若草坪四周需鋪設1m寬的石板路，重新計算最大草坪面積。疫情傳播模型分析（18分）在無干預情況下，某地區(qū)新冠疫情感染人數(shù)N(t)滿足Logistic增長模型：[N(t)=\frac{K}{1+e^{-r(t-t_0)}}]其中K為環(huán)境容納量（最大感染人數(shù)），r為增長率，t?為感染人數(shù)達到K/2的時間。（1）若K=10000，r=0.2，t?=10，求第5天的感染人數(shù)；（2）當采取防控措施后，增長率r變?yōu)?.1，求新模型下感染人數(shù)達到5000的時間；（3）對比兩種情況下疫情發(fā)展曲線，說明防控措施的效果。智能倉儲機器人調度（18分）某倉庫使用AGV機器人搬運貨物，機器人在A、B兩點間往返運動，速度為1m/s。貨物從A點到B點的運輸時間T由三部分組成：啟動加速時間：0.5s（勻加速運動）勻速運動時間：與距離成正比減速停止時間：0.5s（勻減速運動）（1）若A、B兩點距離為10m，求總運輸時間T；（2）建立T關于距離d的函數(shù)模型；（3）若機器人電池容量限制單次運行時間不超過30s，求最大運輸距離。金融投資組合優(yōu)化（24分）某投資者有10萬元資金，計劃投資A、B兩種理財產品：A產品年化收益率5%，風險系數(shù)0.3（標準差）B產品年化收益率8%，風險系數(shù)0.5允許做空（即投資金額可為負，但總金額不超過10萬元）設投資A產品比例為x，B產品比例為1-x，組合收益率r=0.05x+0.08(1-x)，風險σ=|0.3x-0.5(1-x)|。（1）若要求組合風險σ≤0.4，求最大可能收益率；（2）若投資者為風險厭惡型，希望在收益率不低于6%的前提下最小化風險，求投資比例；（3）繪制風險-收益散點圖，說明分散投資對風險控制的作用。四、數(shù)學建模選做題（20分，不計入總分）校園外賣配送路徑優(yōu)化某高校外賣配送中心接到3個訂單，坐標分別為：學生宿舍A(2,5)教學樓B(6,3)圖書館C(4,8)配送中心位于原點O(0,0)，假設街道為網格狀（沿坐標軸方向），配送員只能沿街道行駛。（1）用曼哈頓距離計算從O→A→B→C→O的總路程；（2）設計更優(yōu)的配送路線，使總路程最短；（3）若引入無人機配送（可直線飛行），重新規(guī)劃路線并計算節(jié)省的距離百分比。（注：曼哈頓距離d=|x?-x?|+|y?-y?|，歐氏距離d=√[(x?-x?)2+(y?-y?)2]