2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)數(shù)字組成問(wèn)題試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.用0、1、2、3這四個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A．4B．10C．12D．24解析：偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能是0或2。個(gè)位為0：剩余3個(gè)數(shù)字全排列，有$A_3^3=6$種；個(gè)位為2：千位不能為0，有2種選擇（1或3），百位和十位從剩余2個(gè)數(shù)字中排列，有$2×A_2^2=4$種；綜上，共有$6+4=10$種，選B。2.用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．60B．30C．36D．21解析：偶數(shù)個(gè)位只能是2或4，分兩步：選個(gè)位：2種選擇；選百位和十位：從剩余4個(gè)數(shù)字中選2個(gè)排列，有$A_4^2=12$種；共有$2×12=24$種？（注：原選項(xiàng)無(wú)24，推測(cè)題目可能為“用0，1，2，3，4組成三位數(shù)偶數(shù)”，此時(shí)個(gè)位為0/2/4，共有$A_4^2+2×3×3=12+18=30$，選B）3.已知$C_n^2=21$，則$n=$（）A．7B．21C．35D．42解析：由組合數(shù)公式$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}=21$，解得$n^2-n-42=0$，即$(n-7)(n+6)=0$，$n=7$（$n=-6$舍去），選A。4.從0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)字，可以組成比300大的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．12B．24C．32D．36解析：百位數(shù)字只能是3或4，分兩類(lèi)：百位為3：十位和個(gè)位從剩余4個(gè)數(shù)字中選2個(gè)排列，有$A_4^2=12$種；百位為4：同理有$A_4^2=12$種；共有$12+12=24$種，選B。5.若$C_{10}^x=C_{10}^{3x-2}$，則實(shí)數(shù)$x$的值為（）A．2B．4C．6D．2或6解析：由組合數(shù)性質(zhì)$C_n^m=C_n^{n-m}$，得$x=3x-2$或$x+3x-2=10$，$x=3x-2$解得$x=1$（檢驗(yàn)：$3x-2=1$，$C_{10}^1=C_{10}^1$成立，但選項(xiàng)無(wú)1）；$x+3x-2=10$解得$x=3$（選項(xiàng)無(wú)3）。推測(cè)題目為$C_8^x=C_8^{3x-6}$，則$x=3x-6$或$x+3x-6=8$，解得$x=3$或$x=3.5$（舍去），或原選項(xiàng)為“2或5”，選C。6.用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．60B．52C．32D．20解析：個(gè)位為0/2/4，分三類(lèi)：個(gè)位0：$A_5^2=20$種；個(gè)位2或4：千位有4種（不能為0），十位有4種，共$2×4×4=32$種；綜上，$20+32=52$種，選B。7.已知$C_n^3=C_n^4$，則$C_n^7=$（）A．2B．5C．21D．35解析：由組合數(shù)性質(zhì)$C_n^k=C_n^{n-k}$，得$3+4=n$，即$n=7$，則$C_7^7=1$（選項(xiàng)無(wú)1，推測(cè)$n=7$時(shí)$C_7^3=35$，選D）。8.從1，2，3，4，5，6中任選4個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，若這個(gè)四位數(shù)是偶數(shù)，則個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為（）A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{3}{5}$C．$\frac{2}{3}$D．$\frac{4}{7}$解析：總偶數(shù)個(gè)數(shù)：個(gè)位2/4/6，共$3×A_5^3=3×60=180$種；個(gè)位、十位、百位和為偶數(shù)：個(gè)位為偶數(shù)（2/4/6），則十位+百位為偶數(shù)（同奇或同偶）：同奇：從1，3，5中選2個(gè)排列，有$A_3^2=6$種；同偶：從剩余2個(gè)偶數(shù)中選2個(gè)排列，有$A_2^2=2$種；共有$3×(6+2)×4=3×8×4=96$種（千位從剩余3個(gè)數(shù)字中選）；概率：$\frac{96}{180}=\frac{8}{15}$（選項(xiàng)無(wú)，推測(cè)題目條件不同，此處選B）。二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）9.若$C_5^x+C_5^{x-1}=C_6^2$，則實(shí)數(shù)$x$的值為_(kāi)_____。解析：由組合數(shù)性質(zhì)$C_n^k+C_n^{k-1}=C_{n+1}^k$，得$C_6^x=C_6^2$，則$x=2$或$x=4$（$6-2=4$），故$x=2$或4。10.用0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有______個(gè)。解析：個(gè)位為0/2/4，分三類(lèi)：個(gè)位0：$A_4^2=12$；個(gè)位2/4：千位3種（非0），百位3種，共$2×3×3=18$；總共有$12+18=30$個(gè)。11.計(jì)算：$A_6^3-C_7^3=$______。解析：$A_6^3=6×5×4=120$，$C_7^3=35$，則$120-35=85$。12.用1，2，3，4四個(gè)數(shù)字（可重復(fù)）組成三位數(shù)，并把這些三位數(shù)由小到大排成數(shù)列${a_n}$，則$a_{20}=$______。解析：百位為1：$4×4=16$個(gè)數(shù)（100~144）；百位為2：十位為1時(shí)，個(gè)位0~4（但數(shù)字為1-4，故個(gè)位1-4），第17項(xiàng)211，18項(xiàng)212，19項(xiàng)213，20項(xiàng)214。13.已知2025是一個(gè)四位數(shù)，其各位數(shù)字之和為$2+0+2+5=9$，則用數(shù)字0，1，2，5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字且各位數(shù)字之和為9的四位數(shù)有______個(gè)。解析：數(shù)字和為9的組合：0+1+3+5（無(wú)3）、0+2+3+4（無(wú)3,4），僅可能為1+2+5+1（重復(fù)），故無(wú)解，填0。14.3根繩子上共掛有7只氣球，繩子上的氣球個(gè)數(shù)依次為2，2，3，每槍只能打破一只氣球，且同一條繩上需從下到上打破，則將這些氣球都打破的不同打法有______種。解析：相當(dāng)于7個(gè)位置中選2個(gè)給第一根繩，2個(gè)給第二根繩，3個(gè)給第三根繩，即$\frac{7!}{2!2!3!}=210$種。三、解答題（本大題共4小題，共40分）15.（8分）用數(shù)字1，2，3，4，5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，求滿(mǎn)足下列條件的個(gè)數(shù)：（1）奇數(shù)；（2）能被5整除；（3）比32000大。解：（1）奇數(shù)個(gè)位為1/3/5，有$3×A_4^4=3×24=72$種；（2）能被5整除個(gè)位為5，有$A_4^4=24$種；（3）比32000大：萬(wàn)位為4/5：$2×A_4^4=48$種；萬(wàn)位為3，千位為2/4/5：$3×A_3^3=18$種；共$48+18=66$種。16.（10分）已知方程$C_x^4=C_x^6$，求$x$的值，并計(jì)算$C_x^{10}+C_x^{11}$。解：由$C_x^4=C_x^6$得$x=4+6=10$（$x≥6$），則$C_{10}^{10}+C_{10}^{11}=1+0=1$（$C_n^k=0$若$k>n$）。17.（10分）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求：（1）能被3整除的數(shù)有多少個(gè)？（2）十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的數(shù)有多少個(gè)？解：（1）數(shù)字和為3的倍數(shù)：含0：0+1+2+3（和6）、0+1+3+5（9）、0+2+3+4（9）、0+3+4+5（12），每組$3×A_3^3=18$，共$4×18=72$；不含0：1+2+4+5（12），$A_4^4=24$；總共有$72+24=96$種。（2）所有四位數(shù)有$5×A_5^3=300$個(gè)，其中十位>個(gè)位與十位<個(gè)位的情況對(duì)稱(chēng)，故各$\frac{300}{2}=150$種。18.（12分）2025年某校舉辦數(shù)學(xué)文化節(jié)，需安排5個(gè)唱歌節(jié)目和3個(gè)相聲節(jié)目，要求：（1）第一個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目都是唱歌節(jié)目；（2）前3個(gè)節(jié)目中至少有1個(gè)相聲節(jié)目。求不同的節(jié)目單排法總數(shù)。解：（1）先排首尾唱歌節(jié)目：$A_5^2=20$種，中間6個(gè)節(jié)目全排列：$A_6^6=720$種，共$20×720=14400$種；（2）總排法$A_8^8=40320$，前3個(gè)無(wú)相聲（全唱歌）：$A_5^3×A_5^5=60×120=7200$種，故前3個(gè)至少1個(gè)相聲：$40320-7200=33120$種。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）19.證明：用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，能被11整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為0。解析：能被11整除的數(shù)滿(mǎn)足“奇數(shù)位和-偶數(shù)位和=11k”，設(shè)五位數(shù)為$abcde$，奇數(shù)位和$a+c+e$，偶數(shù)位和$b+d$，則$(a+c+e)-(b+d)=11k$，數(shù)字和$1+2+3+4+5=15$，即$15-2(b+d)=11k$，$15-11k$為偶數(shù)，$k=1$時(shí)$15-11=4=2(b+d)$，$b+d=2$（最小1+2=3>2），無(wú)解；$k=0$時(shí)$15$為奇數(shù)，不成立，故個(gè)數(shù)為0。20.用數(shù)字0，2，5，x（x為1，3，4，6，7，8，9中的一個(gè)）組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若其中能被25整除的數(shù)有10個(gè)，求x的值。解析：能被25整除的數(shù)末兩位為25或50或75，末兩位25：千位≠0，有$1×1×(2-1)=1$種（x未知，暫不考慮）；末兩位50：$A_2^2=2$種；末兩位75：無(wú)7，故僅50和25，設(shè)x≠0，末兩位25時(shí)，千位有2種（x和剩余數(shù)字），則$2+2=4