專題4.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（重難點(diǎn)題型精講）1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和公式為

=.2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系(1)當(dāng)q=1時(shí)，=是關(guān)于n的正比例函數(shù)，點(diǎn)(n,)是直線y=x上的一群孤立的點(diǎn).(2)當(dāng)q≠1時(shí)，=.記A=，則=+A是一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和.當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，y=是指數(shù)函數(shù)，此時(shí)，點(diǎn)(n,)是指數(shù)型函數(shù)y=+A圖象上的一群孤立的點(diǎn).3．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)已知等比數(shù)列{}的公比為q，前n項(xiàng)和為，則有如下性質(zhì)：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項(xiàng)，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項(xiàng)，則=q.4．?dāng)?shù)列求和的常用方法(1)公式法求和

①直接用等差、等比數(shù)列的求和公式.

②掌握一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.(2)倒序相加法求和

如果一個(gè)數(shù)列{}中，與首、末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng),的和相等，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.(3)錯(cuò)位相減法求和

錯(cuò)位相減法求和適用于型數(shù)列，其中、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(4)裂項(xiàng)相消法求和

利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面剩兩項(xiàng)，再就是通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂項(xiàng)前后保持相等.【題型1求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給條件，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，求解等比數(shù)列的基本量，即可得解.【例1】已知在等比數(shù)列an中，a3=4，前三項(xiàng)之和S3=12A．a(chǎn)n=16??C．a(chǎn)n=4 D．a(chǎn)【解題思路】設(shè)公比為q，求出首項(xiàng)a1的公比q【解答過程】設(shè)公比為q，則a1q2=4a所以an=4或【變式1-1】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an，其前n項(xiàng)和為Sn.若a2?a5=?78，SA．2n B．2n?1 C．3n【解題思路】設(shè)公比為q的等比數(shù)列an，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列方程，解方程即可得到首項(xiàng)和公比，即可得到數(shù)列a【解答過程】由各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q的等比數(shù)列an，a2?可得a1q?a1q4=?78，a1+故選：D.【變式1-2】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若2S3=3A．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】根據(jù)第一個(gè)等量關(guān)系得到關(guān)于公比的方程，解方程得到公比的值，代入第二個(gè)等量關(guān)系得到關(guān)于首項(xiàng)的方程，解方程得到首項(xiàng)，從而得到a2【解答過程】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q（q>0），則由2S3即6a1+a2?2a3=0由S8=2S7+2得a8=S7則a2【變式1-3】等比數(shù)列{an}中,若公比A．4n?1 B．4n C．3n【解題思路】依題意列方程直接求解a1【解答過程】由條件得a1+a則an【題型2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，即可得解.【例2】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3A．488

B．508

C．511

D．567【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)知S3，S6?【解答過程】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)知S3，S6?S3，S9?故選：C.【變式2-1】已知等比數(shù)列an共有32項(xiàng)，其公比q=3，且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60，則數(shù)列an的所有項(xiàng)之和是（A．30 B．60 C．90 D．120【解題思路】設(shè)等比數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)之和為S1，偶數(shù)項(xiàng)之和為S2,則S2【解答過程】設(shè)等比數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)之和為則S1=又S1+60=S2，則S1+60=3S故選：D.【變式2-2】已知項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列{an}A．5 B．7 C．9 D．11【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)an=a1·【解答過程】根據(jù)題意，數(shù)列{an}又由數(shù)列{an}故Sn=21+10=a【變式2-3】已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若存在m∈N*，滿足S2mA．?2 B．2 C．?3 D．3【解題思路】根據(jù)S2mSm=9,a2ma【解答過程】設(shè)數(shù)列an的公比為q若q=1，則S2mSm【題型3求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)條件，求出等比數(shù)列的基本量，得到首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，進(jìn)行求解即可.【例3】已知等比數(shù)列an中，a1=1，且a5+A．15 B．31 C．63 D．64【解題思路】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)已知求出q的值即得解.【解答過程】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題得q4+q故選：B.【變式3-1】已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an>0，公比q>1，a3+A．31 B．36 C．48 D．63【解題思路】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得a2a6【解答過程】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得a2a6=a3a當(dāng)a3=4a5=16時(shí)，q=2或q=-2（舍），當(dāng)a3=16所以S6【變式3-2】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若8a1=2A．510 B．511 C．1022 D．1023【解題思路】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式代入化簡(jiǎn)可得6+q?2q2=0，即可求出q，進(jìn)而求出【解答過程】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，則由2S3即6a1+a2?2a3=0由S2=a3?2【變式3-3】已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a3＝16，且a2與a4的等差中項(xiàng)為20A．2n?2 C．4n＋1【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的應(yīng)用求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可.【解答過程】設(shè)該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a由題意知a3=16a2+a4故選：B.【題型4等比數(shù)列的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化、實(shí)際問題，讀懂其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)語言，建立合適的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式進(jìn)行求解.【例4】5G是第五代移動(dòng)通信技術(shù)的簡(jiǎn)稱，其意義在于萬物互聯(lián)，即所有人和物都將存在于有機(jī)的數(shù)字生態(tài)系統(tǒng)中，它把以人為中心的通信擴(kuò)展到同時(shí)以人與物為中心的通信，將會(huì)為社會(huì)生活與生產(chǎn)方式帶來巨大的變化．目前我國(guó)最高的5G基站海拔6500米．從全國(guó)范圍看，中國(guó)5G發(fā)展進(jìn)入了全面加速階段，基站建設(shè)進(jìn)度超過預(yù)期．現(xiàn)有8個(gè)工程隊(duì)共承建10萬個(gè)基站，從第二個(gè)工程隊(duì)開始，每個(gè)工程隊(duì)所建的基站數(shù)都比前一個(gè)工程隊(duì)少16，則第一個(gè)工程隊(duì)承建的基站數(shù)（單位：萬）約為（

A．10×686C．80×676【解題思路】8個(gè)工程隊(duì)所建的基站數(shù)依次成等比數(shù)列，比為56，第一個(gè)工程隊(duì)承建的基站數(shù)為a1（萬），由等比數(shù)列前【解答過程】由題意，8個(gè)工程隊(duì)所建的基站數(shù)依次成等比數(shù)列，比為56，記第一個(gè)工程隊(duì)承建的基站數(shù)為a1（萬），則a1【變式4-1】中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔仔細(xì)算相還”.其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”.則下列說法正確的是（

）A．該人第五天走的路程為14里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里【解題思路】由題意可知該人每天走的路程構(gòu)成了公比為q=12的等比數(shù)列{an}【解答過程】由題意可知該人每天走的路程構(gòu)成了公比為q=12的等比數(shù)列設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，則S6=378，故S6=故a5a3S3=192(1?由S6【變式4-2】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．要見每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”意思是：有一個(gè)人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人最后一天走的路程是（

）A．192里 B．96里 C．12里 D．6里【解題思路】根據(jù)題意可知，此人每天走的路程構(gòu)成等比數(shù)列an，公比為12，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可解出a1【解答過程】設(shè)第n天走的路程為an，n∈1,2,3,4,5,6，所以此人每天走的路程可構(gòu)成等比數(shù)列an，依題可知，公比為12，所以378=a【變式4-3】集合論是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾于十九世紀(jì)末創(chuàng)立的，希爾伯特贊譽(yù)其為“數(shù)學(xué)思想的驚人產(chǎn)物，在純粹理性范疇中人類活動(dòng)的最美表現(xiàn)之一”.取一條長(zhǎng)度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留下的兩段分割三等分，各去掉中間一段，留下更短的四段，……，將這樣操作一直繼續(xù)下去，直至無窮.由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段的數(shù)目越來越多，長(zhǎng)度越來越小，在極限情況下，得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱為康托爾三分集.若在前n次操作中共去掉的線段長(zhǎng)度之和不小于2930，則n的最小值為（

（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010，lgA．9 B．8 C．7 D．6【解題思路】通過歸納法歸納出每次舍棄的線段的長(zhǎng)度，然后由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得前n次舍棄的線段的和，然后列不等式求解．【解答過程】第一次操作去掉的線段長(zhǎng)度為13，第二次操作去掉的線段長(zhǎng)度和為23×13，第三次操作去掉的線段長(zhǎng)度和為2由此得13+23×nlg23≤?lg【題型5等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】根據(jù)具體條件，借助等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)、求和公式等進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】已知等差數(shù)列an?和等比數(shù)列bn?滿足a1=b1(1)求an(2)求和：b1【解題思路】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，利用a1=1，a（2）設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為q2的等比數(shù)列，利用b2b4=b32=9求出b3【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a1=1可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以an的通項(xiàng)公式a（2）設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為q由（1）可得a5=9，等比數(shù)列bn滿足b由于b1=1>0，可得b3所以q2=b3b1=3b1【變式5-1】已知在等比數(shù)列an中，a1+a2=4，且a1,a2+2,a(1)求an(2)設(shè)cn=2bn?a【解題思路】（1）由已知條件求得等比數(shù)列的公比和首項(xiàng)，即可求得其通項(xiàng)公式；（2）求得bn的通項(xiàng)公式，結(jié)合（1）的結(jié)論可得cn=【解答過程】（1）因?yàn)閍1,a2+2,a又因?yàn)樵诘缺葦?shù)列an中，a1+a2=4,所以所以a1+3a1=4（2）由bn>0,b1=1，則bn是等差數(shù)列，因?yàn)閎1=1,所以b則T=(2+23+25【變式5-2】記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q(q>0)，已知a1=(1)求an，b(2)將an，bn中相同的項(xiàng)剔除后，兩個(gè)數(shù)列中余下的項(xiàng)按從小到大的順序排列，構(gòu)成數(shù)列cn【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；（2）由題意，求得等差數(shù)列的第100項(xiàng)，逐項(xiàng)求解等比數(shù)列，利用等差數(shù)列建立方程，找出相同項(xiàng)，分組求和，可得答案.【解答過程】（1）由S9=9b4，得9a結(jié)合q=23d，可得1+32q=q2，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=4+3n?1=3n+1（2）由（1）可知，當(dāng)n=100時(shí)，a100又bn=2n，所以b1=2，b2=4，b3=8，b4令2=3n+1，解得n=13，令4=3n+1，解得n=1，令8=3n+1，解得n=73，令16=3n+1，解得n=5，令32=3n+1，解得n=313，令64=3n+1，解得n=31，令128=3n+1，解得所以數(shù)列an的前100項(xiàng)中與數(shù)列bn中相同的項(xiàng)共有4項(xiàng)，即4，16，64，256，即為將an，bn中相同的項(xiàng)剔除后，兩個(gè)數(shù)列中余下的項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列cn，則cn的前100項(xiàng)為數(shù)列an的前100項(xiàng)中剔除與數(shù)列b所以cn的前100項(xiàng)和為4+301【變式5-3】設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1+a3=6，a(1)求數(shù)列an與b(2)設(shè)cn=3an+54?b【解題思路】（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)列出方程組求解即可；（2）利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和．【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d則a1+a3=2a1+2d=6設(shè)等比數(shù)列bn的公比為qq>0，則b1+b3=∴bn（2）由（1）可知cn=3n+12n兩式相減得：12∴Tn【題型6數(shù)列的求和】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于具體的數(shù)列求和問題，選擇合適的數(shù)列求和方法，進(jìn)行求解.【例6】已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1(1)求證：an(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S【解題思路】（1）由遞推式變形得an+1（2）由（1）求得an=3【解答過程】（1）因?yàn)閿?shù)列an的首項(xiàng)a1=1所以an+1?3又a1?31=?2，故數(shù)列a（2）由（1）可得an?3所以Sn=31+2×?1+【變式6-1】數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn為等差數(shù)列，且b3=a2，b7=【解題思路】（1）根據(jù)an與Sn的關(guān)系，采用相減法求數(shù)列（2）根據(jù)數(shù)列bn為等差數(shù)列，結(jié)合已知求解bn，利用組求和、錯(cuò)位相減法即可求數(shù)列anbn【解答過程】（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，S1=2a1?1，所以所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1=2①-②得an=2a所以an所以an所以an+1=2?2（2）解：由（1）知，a2=3，所以b3=a設(shè)bn的公差為d，則b7=所以bn=b設(shè)數(shù)列n?2n的前n項(xiàng)和為Kn，所以2Kn③-④得?K所以Kn=n?1?2n+1+2所以anbn的前n【變式6-2】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S(1)求數(shù)列an(2)令bn=an2n，求數(shù)列【解題思路】（1）變型可得Snn?Sn?1n?1=1，從而可得{Sn（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求解.【解答過程】（1）因?yàn)閚?1Sn=n兩邊同時(shí)除以n(n?1)得：Snn?所以數(shù)列{Snn故Snn=當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?（2）bn=a12①?②得：1即12Tn【變式6-3】已知數(shù)列an中，a1=1，a2=2(1)證明：數(shù)列bn(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn，求(3)設(shè)cn=an+11+bn?2+【解題思路】（1）由an+1=3an?2（2）由（1）可得bn=an+1?an=2n?1，利用n≥2時(shí)，（3）cn【解答過程】（1）∵an+1=3∵bn=an+1∴數(shù)列bn（2）由（1）可得bn∴n≥2時(shí)，an=an?∵anan?1=∴數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為S（3）∵c∴數(shù)列cn的前n項(xiàng)和T∴Tn專題4.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）一．選擇題1．已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的前5項(xiàng)和為3，前15項(xiàng)和為39，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（

）A．32 B．313 C．12【解題思路】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得S10【解答過程】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得S5又S5=3,S15=39解得S10=12或S102．已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a4=81，a1A．364 B．1094 C．368 D．1092【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列可求公比q，再按照等比數(shù)列求和公式即可得S6【解答過程】解：等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a4=81則q3=a4a3．已知在等比數(shù)列an中，a3=4，前三項(xiàng)之和S3=12A．a(chǎn)n=16??C．a(chǎn)n=4 D．a(chǎn)【解題思路】設(shè)公比為q，求出首項(xiàng)a1的公比q【解答過程】設(shè)公比為q，則a1q2=4a所以an=4或4．已知Sn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a2?a4=81A．2 B．3 C．6 D．9【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】因?yàn)榈缺葦?shù)列an所以由a2當(dāng)q=1時(shí)，a1=9，所以當(dāng)q≠1時(shí)，由S3?9q2(1+q+q2)=13?q=35．已知等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=210?n，n∈N?，記an的前n項(xiàng)和為Sn，前nA．17 B．18 C．19 D．20【解題思路】根據(jù)題意求得Sn=210?210?n，Tn=2n(19?n)【解答過程】由題意，等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=210?n，可得數(shù)列an是首項(xiàng)為29由Tn>Sn，得2n(19?n)結(jié)合n∈N?，可得2≤n≤17，n∈N?.當(dāng)當(dāng)n≥18時(shí)，n(19?n)2≤9，Tn≤2綜上，使得Tn>S6．為響應(yīng)國(guó)家加快芯片生產(chǎn)制造進(jìn)程的號(hào)召，某芯片生產(chǎn)公司于2020年初購(gòu)買了一套芯片制造設(shè)備，該設(shè)備第1年的維修費(fèi)用為20萬元，從第2年到第6年每年維修費(fèi)用增加4萬元，從第7年開始每年維修費(fèi)用較上一年上漲25%．設(shè)an為第n年的維修費(fèi)用，An為前n年的平均維修費(fèi)用，若An<40萬元，則該設(shè)備繼續(xù)使用，否則從第A．2026 B．2027 C．2028 D．2029【解題思路】前6年的維修費(fèi)用構(gòu)成等差數(shù)列，第6年及之后每年的維修費(fèi)用構(gòu)成等比數(shù)列，分成兩部分單獨(dú)求和，最后逐一計(jì)算第n年的前n年平均維修費(fèi)用，與40作比較即可.【解答過程】設(shè)前n年的總維修費(fèi)用為Sn，a1=20則S6=6(a1+a6所以a7=54a則An=Snn=故從第9年起需對(duì)設(shè)備進(jìn)行更新，更新的年份為2020+9?1=2028.故選：C.7．已知數(shù)列an滿足an+1an=?3,a1=1，若bn=1an+3，數(shù)列A．?53,1 B．?53,1【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列求an=?3n?1，進(jìn)而得【解答過程】an+1an=?3,a1=1，可知an為等比數(shù)列，所以故Sn?3n?3<4t+2，即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則對(duì)任意的奇數(shù)n，滿足t>?1716+當(dāng)n=1時(shí)，gn=?1716+當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，滿足t>?1716?31613同理t?4≤Sn?3n?3?t≤74?3綜上：1<t≤58．設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并滿足條件a1>1，aA．S2021>SC．T2022是數(shù)列Tn中的最大值 【解題思路】首先由條件分析出等比數(shù)列an的等比取值，即可得到a【解答過程】∵數(shù)列an∴a2021a2022=a1q2020?a又a2021?1a2022?1<0，∴當(dāng)a2021?1<0a2022?1>0此時(shí)：a2021=a1q當(dāng)a2021?1>0a2022?1<0時(shí)，a∴數(shù)列an是a1>1，0<q<1的正項(xiàng)遞減數(shù)列，S2021∵a1>1，a2021>1，則有S2021S20212+STn為前n項(xiàng)的積，a2021>1，a∵T又：a1a4042二．多選題9．已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比為q，若S2A．S8=729 B．S8=820 C．【解題思路】因?yàn)閍n為等比數(shù)列，所以S2,【解答過程】因?yàn)閍n為等比數(shù)列，所以S因?yàn)镾2=1,S6=91因?yàn)閍n>0，所以Sn>0，解得所以S8?S因?yàn)閝2=S4?10．在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列an中，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1aA．q=2 B．?dāng)?shù)列Sn+2C．S8=254 D．?dāng)?shù)列【解題思路】根據(jù)給定條件結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列an的公比和通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，再逐一分析【解答過程】在等比數(shù)列an中，a2a3=a1而公比q為整數(shù)，于是得a2=4a3=8q=2，Sn+2=2log2an+111．設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件a1>1，aA．0<q<1 B．a(chǎn)C．Sn的最大值為S9 D．T【解題思路】根據(jù)題意a7>1，【解答過程】因?yàn)閍1>1，a7?a8>1，aa7因?yàn)閍1>1，0<q<1，所以數(shù)列an又a7>1，a8<1，所以12．已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S2=4a1，a2是a1+1與12a3的等差中項(xiàng)，數(shù)列A．?dāng)?shù)列an的通項(xiàng)公式為B．SC．?dāng)?shù)列bn的通項(xiàng)公式為D．Tn的取值范圍是【解題思路】根據(jù)已知條件可求出等比數(shù)列an的公比和首項(xiàng)，進(jìn)而可以求得an和Sn，從而可求bn，利用裂項(xiàng)相消法可求Tn【解答過程】A：由S2=4a1可得a2=3a1，∴由a2是a1+1與1即2a1×3=a1+1+12B：Sn=aC：bn=aD：Tn∴數(shù)列Tn是遞增數(shù)列，得T1≤Tn<三．填空題13．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若S10=10，S20【解題思路】利用等比數(shù)列的求和公式的基本量運(yùn)算即得，或利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解.【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由題可知q≠±1方法一：由已知條件可列出方程組10=a11?q101?q∴S30方法二：由性質(zhì)Sm+n=Sn+∴q10=2，∴方法三：運(yùn)用性質(zhì)Sm1?qm=Sn∴S101?q10=S201?q20方法四：運(yùn)用性質(zhì)Sk，S2k?Sk∵S10，S20?S10，S30?S即30?102=10×S3014．已知等比數(shù)列an中，a3=4，S3=12，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為【解題思路】分q=1，q≠1，由a3=4，S3【解答過程】當(dāng)q=1時(shí)，a1=a∴q=1符合題意，此時(shí)an=4．當(dāng)q≠1時(shí)，a3=a1∴an=a3qn?3=故答案為：an=4或15．已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n?1，保持?jǐn)?shù)列an中各項(xiàng)先后順序不變，在ak與ak+1k=1,2,?之間插入2k個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列bn，記b【解題思路】根據(jù)插入數(shù)的規(guī)則，先分析ak在bn中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，根據(jù)所得可驗(yàn)證a6,a7在bn中的項(xiàng)數(shù)，據(jù)此【解答過程】因?yàn)閍k與ak+1k=1,2,???所以ak在bn中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)為當(dāng)k＝6時(shí)，2k+k?2=68，當(dāng)k＝7時(shí)，所以a6=b68，a7=b因此T100故答案為：130.16．“康托爾塵?！笔菙?shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：在一個(gè)單位正方形中，首先，將正方形等分成9個(gè)邊長(zhǎng)為13的小正方形，保留靠角的4個(gè)小正方形，記4個(gè)小正方形的面積和為S1；然后，將剩余的4個(gè)小正方形分別繼續(xù)9等分，分別保留靠角的4個(gè)小正方形，記所得的16個(gè)小正方形的面積和為S2；……；操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，保留的圖形稱為康托爾塵埃．若S1+【解題思路】分別求出S1，S2進(jìn)而可得Sn，可得S【解答過程】S1是4個(gè)邊長(zhǎng)為13的小正方形面積之和，所以S2是42個(gè)邊長(zhǎng)為13S3是43個(gè)邊長(zhǎng)為13所以Sn=132×4n所以S1所以S1+S2+??????+因?yàn)閒x=49xf4=494=256故答案為：4.四．解答題17．在等比數(shù)列an中，q=12，S【解題思路】利用等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系,即可求解.【解答過程】解：設(shè)T1=a所以T2T1所以T218．已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比q=2，(1)求數(shù)列an(2)若bn=2n?1an，求數(shù)列b【解題思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式及等比數(shù)列前n和公式，即可得到方程a11?2（2）首先得到bn=(2n?1)?2【解答過程】（1）因?yàn)閿?shù)列an為等比數(shù)列，且公比q=2，S所以a11?231?2（2）由(1)得bn=(2n?1)?22T①?②得?=?2+2=?2+2?2Tn19．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足3Sn=2an(1)求數(shù)列an(2)令cn=anbn，求數(shù)列【解題思路】（1）根據(jù)an=S1,n=1Sn?Sn?1,n≥2，求出a【解答過程】（1）由3Sn=2an?1，取所以3a1=2當(dāng)n≥2時(shí)，由條件可得3Sn=2an所以anan?1=?2，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為?2因?yàn)閎1=a1=?2，設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，則b2=?2+d,b3=?2+2d,（2）cnTn?2T相減得3T所以3Tn所以Tn20．科學(xué)數(shù)據(jù)證明，當(dāng)前嚴(yán)重威脅人類生存與發(fā)展的氣候變化主要是工業(yè)革命以來人類活動(dòng)造成的二氧化碳排放所致．應(yīng)對(duì)氣候變化的關(guān)鍵在于“控碳”，其必由之路是先實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，而后實(shí)現(xiàn)碳中和．2020年第七十五屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)上，我國(guó)向世界鄭重承諾力爭(zhēng)在2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，努力爭(zhēng)取在2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．2021年全國(guó)兩會(huì)的政府工作報(bào)告明確提出要扎實(shí)做好碳達(dá)峰和碳中和的各項(xiàng)工作，某地為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，大力發(fā)展清潔電能，根據(jù)規(guī)劃，2021年度火電發(fā)電量為8億千瓦時(shí)，以后每年比上一年減少20%，2021年度清潔電能發(fā)電量為4億千瓦時(shí)，以后每年比上一年增長(zhǎng)25%．(1)設(shè)從2021年開始的nn∈N?年內(nèi)火電發(fā)電總量為Sn億千瓦時(shí)，清潔電能總發(fā)電量為Tn億千瓦時(shí)，求S(2)從哪一年開始，清潔電能總發(fā)電量將會(huì)超過火電發(fā)電總量？【解題思路】（1）設(shè)2021年起，每年的火力發(fā)電量構(gòu)成數(shù)列an，每年的清潔電能發(fā)電量構(gòu)成數(shù)列bn，則根據(jù)題意得數(shù)列an是等比數(shù)列，公比為45，首項(xiàng)為a1=8，數(shù)列（2）根據(jù)題意解Tn【解答過程】（1）解：設(shè)2021年度火電發(fā)電量為a1=8億千瓦時(shí)，以后每年度的火力發(fā)電量為因?yàn)楦鶕?jù)規(guī)劃，2021年度以后，火電發(fā)電量每年比上一年減少20%，所以2021年起，每年的火力發(fā)電量構(gòu)成數(shù)