專(zhuān)題4.6數(shù)學(xué)歸納法（重難點(diǎn)題型精講）1．歸納法由一系列有限的特殊事件得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法，它是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，產(chǎn)生猜想的一種方法.

歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法.2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：

第一步(歸納莫基)，證明當(dāng)n取第一個(gè)值()時(shí)命題成立；

第二步(歸納遞推)，以當(dāng)n=k(k≥,k)時(shí)命題成立為條件，推出當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.

上述證明方法稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法.3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的重要結(jié)論及適用范圍【題型1數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合所給條件，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，進(jìn)行求解即可.【例1】已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1?12+13?1A．n=k+1時(shí)不等式成立 B．n=k+2時(shí)不等式成立C．n=2k+2時(shí)不等式成立 D．n=2k+2【解題思路】利用已知及其數(shù)學(xué)歸納法的定義即可得出．【解答過(guò)程】若已假設(shè)n=k（k>2，k為偶數(shù)）時(shí)命題為真，因?yàn)閚只能取偶數(shù)，所以還需要證明n=k+2成立．故選：B．【變式1-1】用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+?+A．1=1?a31?a B．1+a=1?a【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟要求，第一步歸納奠基時(shí)，驗(yàn)證n=1時(shí)的等式，結(jié)合所要證明的等式，即可得答案.【解答過(guò)程】將n=1代入等式1+a+a2+?+則第一步歸納奠基時(shí)，要驗(yàn)證的等式即為1+a+a【變式1-2】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n+1)(n+2)???(n+n)=2n?1?3???(2n?1)n∈N?，從kA．2k+1 B．2C．2k+1k+1 D．【解題思路】按照數(shù)學(xué)歸納法類(lèi)比題干條件逐項(xiàng)展開(kāi)即可.【解答過(guò)程】當(dāng)n=k時(shí),左邊等于(k+1)(k+2)???(k+k);當(dāng)n=k+k+1+即左邊等于(k+2)(k+3)???(k+k)(2k+1)(2k+2)；所以左邊增乘的項(xiàng)為2k+12k+2【變式1-3】在用數(shù)學(xué)歸納法求證：n+1n+2?n+n=2n?1?3?A．2k+2 B．2k+1C．2k+22k+1 D．【解題思路】根據(jù)題意，分別得到n=k和n=k+1時(shí)，左邊對(duì)應(yīng)的式子，兩式作商，即可得出結(jié)果.【解答過(guò)程】當(dāng)n=k時(shí)，左邊A=(k+1)(k+2)?(k+k)=(k+1)(k+2)?(2k)，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊B=(k+1)(k+2)?(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)?(2k+2)，則BA【題型2用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式】【方法點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式問(wèn)題，其關(guān)鍵在于第二步，它有一個(gè)基本格式，我們不妨設(shè)命題為P(n)：f(n)=g(n).其第二步相當(dāng)于做一道條件等式的證明題.【例2】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×2+2×5+???+n3n?1=n2n+1【解題思路】先驗(yàn)證n=1時(shí)，等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)，1×2+2×5+???+k3k?1=k【解答過(guò)程】證明：①當(dāng)n=1時(shí)，1×2+2×5+???+n3n?1=1×2，②假設(shè)n=k時(shí)，1×2+2×5+???+k3k?1則n=k+1時(shí)，1×2+2×5+???+k=(k+1)(k2+3k+2)=綜合①②可知，1×2+2×5+???+n3n?1=n2n+1【變式2-1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：12+1+【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可完成證明【解答過(guò)程】證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=2，右邊=1②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N?)那么當(dāng)n=k+1時(shí)，12+1+故當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．綜上可知等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立．【變式2-2】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可.【解答過(guò)程】證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2(2－3)＋3＝1，左邊＝右邊，所以等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2(k＋1)[2(k＋1)－3]＋3，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立.由（1）（2）知，等式對(duì)任何n∈N*都成立.【變式2-3】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×22+2×【解題思路】首先假設(shè)首項(xiàng)成立，再假設(shè)n=kk≥1,k∈N?【解答過(guò)程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1×2右邊=1×所以左邊=右邊，等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=kk≥1,k∈即1×2那么當(dāng)n=k+1時(shí)，1×====k+1綜上，對(duì)任何n∈N【題型3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式】【方法點(diǎn)撥】1.用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式，一般有三種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是比較兩個(gè)式子的大小，先利用n的幾個(gè)特殊值猜想大小再給出證明；三是已知不等式成立，尋求變量的取值范圍.2.在證明由n=k到n=k+1成立時(shí)，一定要用歸納假設(shè)n=k時(shí)得到的中間過(guò)渡式，由過(guò)渡式到目標(biāo)式的證明可以用放縮法、基本不等式法、分析法等.【例3】用數(shù)學(xué)歸納法證明1+12+13+…+12n≤12+n(【解題思路】按數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟直接證明即可.【解答過(guò)程】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊=1+1即當(dāng)n＝1時(shí)，原不等式成立，(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)，原不等式成立，即1+12+13+…+12k≤12+k1+12+13+…+12k+12k+1+12k+2+…+12k+2k綜合(1)和(2)得，原不等式對(duì)所有的n∈N*都成立.【變式3-1】求證：(1+1【解題思路】根據(jù)給定條件借助數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟直接證明即可.【解答過(guò)程】(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+13=(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2，k∈N*)時(shí)，原不等式成立，即(1+1則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=(1+=2k+1因此，當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立，綜合(1)和(2)知，對(duì)一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立.【變式3-2】證明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法可證明，先假設(shè)n＝k時(shí)成立，再證明n＝k＋1時(shí)成立即可.【解答過(guò)程】當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2，左邊<右邊，不等式成立．假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即1+1當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1+12+13綜上，原不等式對(duì)任意n∈N*都成立．【變式3-3】證明：不等式1+1【解題思路】用數(shù)學(xué)歸納法證明，由n=1時(shí)成立，再假設(shè)n=k時(shí)，不等式1+12+【解答過(guò)程】當(dāng)n=1時(shí)，1>1假設(shè)n=k時(shí)，不等式1+1那么n=k+1時(shí)，1+1∵12k?1+1>12∴1+1即n=k+1時(shí)，該不等式也成立，綜上：不等式1+1【題型4用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是找出從n=k到n=k+1時(shí)圖形的變化.【例4】求證：n棱柱中過(guò)側(cè)棱的對(duì)角面(即過(guò)棱柱的兩條不相鄰的側(cè)棱的截面)的個(gè)數(shù)是f(n)＝12n(n－3)，其中n≥4，n∈N*【解題思路】用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【解答過(guò)程】證明:（1）當(dāng)n＝4時(shí)，四棱柱有2個(gè)對(duì)角面，此時(shí)f(4)＝12（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥4，k∈N*)時(shí)，命題成立.即k棱柱中過(guò)側(cè)棱的對(duì)角面有f(k)＝12k(k現(xiàn)在考慮n＝k＋1時(shí)的情形.對(duì)于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1與其余和它不相鄰的(k－2)條棱共增加了(k－2)個(gè)對(duì)角面，而面A1B1BkAk變成了對(duì)角面.因此對(duì)角面的個(gè)數(shù)為f(k)＋(k－2)＋1＝12k(k－3)＋k－1＝12(k－2)(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝12(由（1）和（2），可知原結(jié)論成立.【變式4-1】平面內(nèi)有n(n≥2)條直線，其中任何2條不平行，任何3條不過(guò)同一點(diǎn)，求證：它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)=n(n?1)【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，即可證明結(jié)論．【解答過(guò)程】證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，兩條直線的交點(diǎn)只有一個(gè)，又f(2)=1∴當(dāng)n=2時(shí)，命題成立．（2）假設(shè)n=k∈N?，且(k>2)時(shí)，命題成立，即平面內(nèi)滿(mǎn)足題設(shè)的任何k條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，任取一條直線l，除l以外其他k條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)=12k(k?1)，l與其他k條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為k，從而k+1即f(k+1)=f(k)+k=1這表明，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．由（1）、（2）可知，對(duì)n∈N【變式4-2】平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，任何三個(gè)圓都沒(méi)有共同的交點(diǎn)，試證明這n個(gè)圓把平面分成了n2【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.【解答過(guò)程】當(dāng)n=1時(shí)，1個(gè)圓將平面分為2個(gè)區(qū)域，12假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，k個(gè)圓將平面分為k2當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)圓Ck+1與前k個(gè)圓交于2k個(gè)點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓分為2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成兩部分，因此，這時(shí)平面被分割的總數(shù)在原來(lái)的基礎(chǔ)上又增加了2k即k2?k+2+2k=k根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可得：平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，任何三個(gè)圓都沒(méi)有共同的交點(diǎn)，這n個(gè)圓把平面分成了n2【變式4-3】在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）＝1﹣x2在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，試做如下操作：把x軸上的區(qū)間[0，1]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每一個(gè)小區(qū)間上作一個(gè)小矩形，使矩形的右端點(diǎn)落在函數(shù)f（x）＝1﹣x2的圖象上．若用ak（1≤k≤n，k∈N）表示第k個(gè)矩形的面積，Sn表示這n個(gè)矩形的面積總和．（1）求ak的表達(dá)式；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22【解題思路】（1）第k個(gè)矩形的高為1?(k（2）先用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+?+n【解答過(guò)程】解：（1）由題意第k個(gè)矩形的高是1?(kn（2）（i）當(dāng)n＝1時(shí)，13（ii）設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即12則n＝k+1時(shí)，1=1=16(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]，∴n綜上，n∈N*時(shí)，命題為真，即12∴Sn【題型5用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題的關(guān)鍵是把n=k+1時(shí)的被除數(shù)分解成n=k時(shí)的式子及含有除數(shù)的式子的形式.【例5】證明：當(dāng)n∈N?時(shí)，【解題思路】運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.【解答過(guò)程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，f1（2）假設(shè)當(dāng)n=kk≥1,k∈N?則當(dāng)n=k+1時(shí)，fk+1=3綜合（1）（2）可知當(dāng)n∈N?時(shí)，【變式5-1】先猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想：n3【解題思路】先分別用n取1,2,3,4時(shí)驗(yàn)證，則可猜想：n3【解答過(guò)程】n=1時(shí)，原式=6，n=2時(shí)，原式=18，n=3時(shí)，原式=42，n=4時(shí)，原式=84，這些數(shù)都可以被6整除，所以猜想：n3證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，13（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N?)當(dāng)n=k+1(k∈N?)其中兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積是偶數(shù)，它的3倍能被6整除，由假設(shè)知k3+5k能被6整除,故k3所以當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立．據(jù)（1）（2），可知n3+5n可以被6整除．故【變式5-2】證明：n3【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.【解答過(guò)程】解：⑴當(dāng)n=1時(shí)，n3⑵假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即n3當(dāng)n=k+1時(shí)，n3由假設(shè)知：k3而kk+1為偶數(shù)，故3k故k+13即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立，由⑴⑵可知，命題對(duì)一切正整數(shù)成立，即n3【變式5-3】用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3+n+13+【解題思路】先驗(yàn)證n=1時(shí)，n3+n+13+n+23能被9整除；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，k【解答過(guò)程】證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，13+2（2）假設(shè)當(dāng)n=kk∈N?時(shí)結(jié)論成立，即k則當(dāng)n=k+1時(shí)，k+1=k因?yàn)閗3+k+13+k+23所以，k+13+k+23+由（1）（2）知命題對(duì)一切n∈N【題型6用歸納法解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】在給出了已知數(shù)列的遞推關(guān)系的情況下，可根據(jù)已知寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，利用不完全歸納法得出結(jié)論，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論.正確計(jì)算是歸納的前提，常見(jiàn)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)結(jié)論是歸納的橋梁，而運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明才是歸納的最終歸宿.【例6】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中(1)試求：a2，a3的值，并猜想數(shù)列{a(2)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【解題思路】（1）根據(jù)遞推關(guān)系寫(xiě)出a2，a（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，首先判斷n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否成立，再假設(shè)n=k時(shí)通項(xiàng)公式成立，進(jìn)而利用an,S【解答過(guò)程】(1)因?yàn)閍n=Snn(2n?1)且a因?yàn)閍3=a1+由a1=1(2)①當(dāng)n=1時(shí)，a1②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即a那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，由題設(shè)an=Snn(2n?1)所以Sk=k(2k?1)a則ak+1=S所以ak+1=1由①②可知：命題對(duì)任何n∈N【變式6-1】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a2（1）求S12、S2（2）由（1）猜想數(shù)列Sn【解題思路】（1）由an=12+1n（2）由（1）猜想，數(shù)列Sn2n的通項(xiàng)公式為Sn2n=n2【解答過(guò)程】（1）∵a當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=當(dāng)n=2時(shí)，a2=S2?當(dāng)n=3時(shí)，a3=S3?（2）由（1）猜想可得數(shù)列Sn2n下面運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)n=1時(shí)，由（1）可得S1②假設(shè)n=kk∈N?當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1即有12則k?12當(dāng)k=1時(shí)，上式顯然成立；當(dāng)k>1時(shí)，Sk+1=2k+1則當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.由①②可得對(duì)一切n∈N?，【變式6-2】已知數(shù)列{an}中，a1＝1且an+1=a（Ⅰ）求數(shù)列{an}的第2，3，4項(xiàng)；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．【解題思路】（I）利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算，即可求a2、a3、a4；（Ⅱ）猜想數(shù)列{an}通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明．【解答過(guò)程】解：（Ⅰ）a1＝1且an+1=a∴a2=12+1=13，a3=（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，可猜想數(shù)an=1證明如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，等式成立，假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即ak=1那么當(dāng)n＝k+1時(shí)，ak+1=a所以當(dāng)n＝k+1時(shí)，等式成立，由①②，對(duì)于任何n∈N*，an=1【變式6-3】請(qǐng)你從下列兩個(gè)遞推公式中，任意選擇一個(gè)填入題中橫線上，并解答題后的兩個(gè)問(wèn)題：①Sn?1②a已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求a2(2)猜想數(shù)列an【解題思路】（1）選擇條件①，分別令n=2，3，4，能夠求出a1，a2，選擇條件②，分別令n=1，2，3，能夠求出a1，a2，（2）由（1）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：an=2n?1，檢驗(yàn)n=1【解答過(guò)程】(1)解：選擇條件①，∵∴當(dāng)n=2時(shí)，S1+a當(dāng)n=3時(shí)，S2+a3=9當(dāng)n=4時(shí)，S3+a故a2選擇條件②，a∴當(dāng)n=1時(shí)，a2當(dāng)n=2時(shí)，a3當(dāng)n=3時(shí)，a故a2(2)解：猜想an選擇條件①∵n=1時(shí)，由題知，a1假設(shè)n=k(k∈N,k≥2則Sk?1+兩式相減得：S即a所以，n=k+1時(shí)an綜上所述，任意n∈N，有a選擇條件②an=1時(shí)，由題知，a1假設(shè)n=k(k∈N,k≥則a所以，n=k+1時(shí)an=2n?1成立，綜上所述，任意n∈N專(zhuān)題4.6數(shù)學(xué)歸納法（重難點(diǎn)題型檢測(cè)）一．選擇題1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+12+13+?+1A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．2k?1項(xiàng) D．2【解題思路】分別分析當(dāng)n=k與n=k+1時(shí)等號(hào)左邊的項(xiàng)，再分析增加項(xiàng)即可【解答過(guò)程】由題意知當(dāng)n=k時(shí)，左邊為1+12+13+?+12k2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：12+22+???+n2A．k2+12 B．k2+1 【解題思路】根據(jù)等式左邊的特點(diǎn)，各數(shù)是先遞增再遞減，分別寫(xiě)出n=k與n=k+1時(shí)的結(jié)論，即可得到答案．【解答過(guò)程】根據(jù)等式左邊的特點(diǎn)，各數(shù)是先遞增再遞減，由于n=k，左邊=1n=k+1時(shí)，左邊=1比較兩式，從而等式左邊應(yīng)添加的式子是(k+1)2+k3．平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都無(wú)公共點(diǎn)，用f(n)表示這n個(gè)圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系為（

）A．f(n+1)=f(n)+n B．f(n+1)=f(n)+2nC．f(n+1)=f(n)+n+1 D．f(n+1)=f(n)+n?1【解題思路】第n+1個(gè)圓與前n個(gè)圓相交有2n個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)把第n+1個(gè)圓分成2n段圓弧，每段圓弧把它所在區(qū)域分成兩部分，由此可得增加的區(qū)域數(shù)，得出結(jié)論．【解答過(guò)程】依題意得，由n個(gè)圓增加到n+1個(gè)圓，增加了2n個(gè)交點(diǎn)，這2n個(gè)交點(diǎn)將新增的圓分成2n段弧，而每一段弧都將原來(lái)的一塊區(qū)域分成了2塊，故增加了2n塊區(qū)域，因此f(n+1)=f(n)+2n．故選：B．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n?2n能被3整除”的第二步中，n=k+1時(shí)，為了使用假設(shè)，應(yīng)將A．55k?C．5?25k?【解題思路】假設(shè)n=k時(shí)命題成立，分解5k+1?2k+1的過(guò)程中要【解答過(guò)程】解：假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即：5k當(dāng)n=k+1時(shí)，5k+1故選：A．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1n+1+1n+2+1n+3+?+12n>1324A．增加了一項(xiàng)1B．增加了兩項(xiàng)12k+1，C．增加了兩項(xiàng)12k+1，12(k+1)D．增加了一項(xiàng)12(k+1)，又減少了一項(xiàng)【解題思路】將n＝k、n＝k＋1代入不等式左邊，比較兩式即可求解.【解答過(guò)程】n＝k時(shí)，左邊為1k+1＋1k+2＋…＋1n＝k＋1時(shí)，左邊為1k+2＋1k+3＋…＋12k＋12k+1＋12(k+1)6．用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn＝na1＋n(n?1)2d時(shí)，假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，公式成立，則Sk＝（

A．a(chǎn)1＋(k－1)d B．k(C．ka1＋k(k?1)2d D．(k＋1)a1＋k(k+1)【解題思路】只需把公式中的n換成k即可．【解答過(guò)程】假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，公式成立，只需把公式中的n換成k即可，即Sk＝ka1＋k(k?1)2d7．對(duì)于不等式n2+n＜n＋1(n∈N（1）當(dāng)n＝1時(shí)，12（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即k2+k＜k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k+1)2+(k+1)＝k2+3k+2＜∴n＝k＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法（

）A．過(guò)程全部正確B．n＝1驗(yàn)得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的定義即可判斷答案.【解答過(guò)程】在n＝k＋1時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用n＝k時(shí)的歸納假設(shè).故選:D.8．用數(shù)學(xué)歸納法證明“(3n+1)?7n?1(n∈N?)能被9整除”，在假設(shè)A．3×7k+6 B．3×7k+1+6【解題思路】假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即(3k+1)?7k?1能被9整除，計(jì)算當(dāng)n=k+1時(shí)，3【解答過(guò)程】解：假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即(3k+1)?7當(dāng)n=k+1時(shí)，3==6?3k+1∵(3k+1)?7k?1能被9整除,要證上式能被9整除，還需證明故選：B.二．多選題9．對(duì)于不等式n2+n≤n+1n∈N?，某同學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下：①當(dāng)n=1時(shí)，12+1≤1+1，不等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=kk≥1,k∈NA．過(guò)程全部正確 B．n=1時(shí)證明正確C．過(guò)程全部不正確 D．從n=k到n=k+1的推理不正確【解題思路】直接利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行判斷即可.【解答過(guò)程】易知當(dāng)n=1時(shí)，該同學(xué)的證法正確.從n=k到n=k+1的推理過(guò)程中，該同學(xué)沒(méi)有使用歸納假設(shè)，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求，故推理不正確.故選：BD.10．某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)n=kk∈N?時(shí)命題成立，則可得當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，若已知當(dāng)n=5A．當(dāng)n=4時(shí)，命題不成立B．當(dāng)n=1時(shí)，命題可能成立C．當(dāng)n=6時(shí)，命題不成立D．當(dāng)n=6時(shí)，命題可能成立也可能不成立，但若當(dāng)n=6時(shí)命題成立，則對(duì)任意n≥6，命題都成立【解題思路】利用給定信息結(jié)合反證法的思想，逐一對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析、推導(dǎo)即可判斷作答.【解答過(guò)程】如果當(dāng)n=4時(shí)命題成立，則當(dāng)n=5時(shí)命題也成立，與題設(shè)矛盾，即當(dāng)n=4時(shí)，命題不成立，A正確；如果當(dāng)n=1時(shí)命題成立，則當(dāng)n=2時(shí)命題成立，繼續(xù)推導(dǎo)可得當(dāng)n=5時(shí)命題成立，與題設(shè)矛盾，B不正確；當(dāng)n=6時(shí)，該命題可能成立也可能不成立，如果當(dāng)n=6時(shí)命題成立，則當(dāng)n=7時(shí)命題也成立，繼續(xù)推導(dǎo)可得對(duì)任意n≥6，命題都成立，C不正確，D正確.故選：AD.11．用數(shù)學(xué)歸納法證明2n?12n+1>nA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】先驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)中符合要求的k的值，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行充分性證明.【解答過(guò)程】當(dāng)k=1時(shí)，2?12+1=13<當(dāng)k=3時(shí)，23?123+1下證：當(dāng)n≥3時(shí)，2n?12n+1假設(shè)當(dāng)n=kk≥3時(shí)，均有2k當(dāng)n=k+1時(shí)，有2k+1因?yàn)?k+14k+3?k+1由數(shù)學(xué)歸納法可知：2n?1212．?dāng)?shù)列an滿(mǎn)足an+1=?anA．0<B．a(chǎn)C．對(duì)任意正數(shù)b，都存在正整數(shù)m使得11?D．a(chǎn)【解題思路】對(duì)于A，結(jié)合二次函數(shù)的特點(diǎn)可確定正誤；對(duì)于B，將原式化簡(jiǎn)為a1?a對(duì)于C，結(jié)合a1范圍和A中結(jié)論可確定1對(duì)于D，利用數(shù)學(xué)歸納法可證得結(jié)論.【解答過(guò)程】對(duì)于A，an+1=?an2又a1∈0,12，可知an>0對(duì)于B，由已知得：an∴a對(duì)于C，由a1∈0,12∴11?a1+11?a2對(duì)于D，（i）當(dāng)n=1時(shí)，由已知知：a1<12成立，（ii）假設(shè)當(dāng)則an+1又?1n+12+1綜上所述：當(dāng)n∈N?時(shí)，故選：ABCD.三．填空題13．用數(shù)學(xué)歸納法證明n3＋5n能被6整除的過(guò)程中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，式子(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.【解題思路】將n＝k＋1代入，分解因式可得(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6即可.【解答過(guò)程】(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k2＋3k＋6＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.∵k(k＋1)為偶數(shù)，∴3k(k＋1)能被6整除，∴(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.故答案為：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.14．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“兩兩相交且不共點(diǎn)的n條直線把平面分為f(n)部分，則f(n)＝1＋n(n+1)2.”證明第二步歸納遞推時(shí)，用到f(k＋1)＝f(k)＋k＋1【解題思路】從目標(biāo)f(n)＝1＋n(n+1)2分析，f(k+1)?f(k)【解答過(guò)程】f(k)＝1＋k(k+1)2，f(k＋1)＝1＋(k+1)(k+2)∴f(k＋1)－f(k)＝1+(k+1)(k+2)2?1+k(k+1)2＝k＋1，∴f(k＋1)＝故答案為：k＋1.15．證明不等式1+12+13+14+?+12【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)合不等式左邊的特征判斷增加的項(xiàng)數(shù)即可.【解答過(guò)程】當(dāng)n=k時(shí)，左邊1+1當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊1+1而(2k+1?1)?(2k故答案為：2k16．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+?+2n?1=（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即1＋2＋22＋?＋2k－1＝2k－1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋2＋22＋?＋2k－1＋2k＝1?2k+11?2＝2k＋1－1.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立.由此可知對(duì)于任何n∈N*【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的方法與步驟即可得出答案.【解答過(guò)程】本題在由n＝k成立，證n＝k＋1成立時(shí)，應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式，而未用上假設(shè)條件，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符.故答案為：未用歸納假設(shè).四．解答題17．用數(shù)學(xué)歸納法證明：12【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法，先證明當(dāng)n=1時(shí)，等式成立，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立即可.【解答過(guò)程】解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=121×3=（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即121×3+22當(dāng)n=k+1時(shí)，121×3+2=k+12k+1?由（1）（2）可知：等式對(duì)任何n∈N故1218．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意正整數(shù)n,4【解題思路】按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟操作即可證明.【解答過(guò)程】證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，4n+15n?1故當(dāng)n=1時(shí)，4n（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即4k則當(dāng)n=k+1時(shí)，4k+1綜合(1)(2)可得,對(duì)任意正整數(shù)n,419．平面內(nèi)有n(n≥2)個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，記這n個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(n)，猜想f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．【解題思路】當(dāng)n＝2時(shí)，f（2）＝2＝1×2，n＝3時(shí)，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4時(shí)，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此歸納出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可【解答過(guò)程】n＝2時(shí)，f（2）＝2＝1×2，n＝3時(shí)，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4時(shí)，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，n＝5時(shí)，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：①當(dāng)n＝2時(shí)，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)，時(shí)猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，則n＝k＋1時(shí)，其中圓O與其余k個(gè)圓各有兩個(gè)交點(diǎn)，而由假設(shè)知這k個(gè)圓有f(k)個(gè)交點(diǎn)，所以這k＋1個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，即n＝k＋1時(shí)猜想也成立．由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．20．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的首項(xiàng)為4，滿(mǎn)足a(1)求a2，a(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．【解題思路】（1）由首項(xiàng)及遞推關(guān)系式逐次求得a2（2）根據(jù)已