第5節(jié)事件的相互獨(dú)立性與條件概率、全概率公式高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標(biāo)解讀1.了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義,能利用獨(dú)立性計(jì)算概率.2.了解條件概率,能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的條件概率.3.了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系,會(huì)利用乘法公式計(jì)算概率.4.會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破目錄索引

1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分知識(shí)梳理1.事件的相互獨(dú)立性

事件A與事件B相互獨(dú)立對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱為獨(dú)立性質(zhì)若事件A與事件B相互獨(dú)立,則

也都相互獨(dú)立P(AB)=P(A)P(B)是事件A與B相互獨(dú)立的充要條件

2.條件概率

條件概率的定義設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=

為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率,簡(jiǎn)稱條件概率

條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0,則(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件,則P(B∪C|A)=

;

(3)當(dāng)P(A)=0時(shí),我們不定義條件概率

P(B|A)+P(C|A)微思考P(B|A)與P(A|B)表示的意思相同嗎?提示

不同.P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率;而P(A|B)表示在事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的概率.另外從計(jì)算公式上看,3.全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對(duì)任意事件B?Ω,有

.我們稱這個(gè)公式為全概率公式.指的是對(duì)目標(biāo)事件B有貢獻(xiàn)的全部原因

常用結(jié)論1.若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).2.當(dāng)P(A)>0時(shí),事件A與B相互獨(dú)立?P(B|A)=P(B).3.貝葉斯公式:設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.相互獨(dú)立事件是互斥事件.(

)2.對(duì)于任意兩個(gè)事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(

)3.P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,P(AB)表示事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率.(

)4.若事件A1與A2是對(duì)立事件,則對(duì)任意的事件B?Ω,有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).(

)××√√題組二回源教材5.(人教A版選擇性必修第三冊(cè)7.1.2節(jié)例4改編)某社區(qū)有智能餐廳A、人工餐廳B,居民甲第1天隨機(jī)地選擇一餐廳用餐,如果第1天去A餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.7;如果第1天去B餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.8.居民甲第2天去A餐廳用餐的概率為(

)A.0.75 B.0.7

C.0.56

D.0.38A解析

設(shè)A1=“第1天去A餐廳用餐”,B1=“第1天去B餐廳用餐”,A2=“第2天去A餐廳用餐”,則Ω=A1∪B1,且A1與B1互斥,根據(jù)題意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.7,P(A2|B1)=0.8,則P(A2)=P(A1)·P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.7+0.5×0.8=0.75.6.(人教B版選擇性必修第二冊(cè)4.1.3節(jié)練習(xí)A第5題改編)加工某一零件需經(jīng)過三道工序,設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為,且各道工序互不影響,則加工出來的零件的次品率為

.

7.(人教B版選擇性必修第二冊(cè)4.1.1節(jié)練習(xí)A第4題改編)已知一種節(jié)能燈使用壽命超過10000h的概率為0.95,而使用壽命超過12000h的概率為0.9.則已經(jīng)使用了10000h的這種節(jié)能燈,使用壽命能超過12000h的概率為

.

解析

由題意,設(shè)該節(jié)能燈使用壽命超過10

000

h為事件A,則事件A的概率為P(A)=0.95,設(shè)該節(jié)能燈使用壽命超過12

000

h為事件B,則事件B的概率為P(B)=0.9,則P(AB)=0.9.又由條件概率的計(jì)算公式可得題組三連線高考8.(2023·全國(guó)甲,理6)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰,50%的同學(xué)愛好滑雪,70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué),若該同學(xué)愛好滑雪,則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為(

)A.0.8 B.0.6

C.0.5

D.0.4A解析

由題意可知,既愛好滑冰又愛好滑雪的同學(xué)占60%+50%-70%=40%.設(shè)事件A為“該同學(xué)愛好滑雪”,事件B為“該同學(xué)愛好滑冰”,則所求概率為9.(2020·天津,13)已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為.假定兩球是否落入盒子互不影響,則甲、乙兩球都落入盒子的概率為

;甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為

.

2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一相互獨(dú)立事件的概率例1(2024·廣東梅州模擬)甲、乙、丙、丁四支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)小組賽(每?jī)芍ш?duì)比賽一場(chǎng)),比賽分三輪,每輪兩場(chǎng)比賽,第一輪第一場(chǎng)甲乙比賽,第二場(chǎng)丙丁比賽;第二輪第一場(chǎng)甲丙比賽,第二場(chǎng)乙丁比賽;第三輪甲對(duì)丁和乙對(duì)丙兩場(chǎng)比賽同一時(shí)間開賽,規(guī)定:比賽無平局,獲勝的球隊(duì)記3分,輸?shù)那蜿?duì)記0分.三輪比賽結(jié)束后以積分多少進(jìn)行排名,積分相同的隊(duì)伍由抽簽決定排名,排名前兩位的隊(duì)伍小組出線.假設(shè)四支球隊(duì)每場(chǎng)比賽獲勝概率以近10場(chǎng)球隊(duì)相互之間的勝場(chǎng)比為參考.隊(duì)伍近10場(chǎng)勝場(chǎng)比隊(duì)伍甲7∶3乙甲5∶5丙甲4∶6丁乙4∶6丙乙5∶5丁丙3∶7丁(1)三輪比賽結(jié)束后甲的積分記為X,求P(X=3);(2)若前兩輪比賽結(jié)束后,甲、乙、丙、丁四支球隊(duì)積分分別為3,3,0,6,求甲隊(duì)小組能出線的概率.解

(1)設(shè)甲的第i場(chǎng)比賽獲勝記為Ai(i=1,2,3),根據(jù)表格可知甲對(duì)乙、

(2)分以下三種情況:(i)若第三輪甲勝丁,另一場(chǎng)比賽乙勝丙,則甲、乙、丙、丁四個(gè)球隊(duì)積分變?yōu)?,6,0,6,此時(shí)甲、乙、丁三支球隊(duì)積分相同,要抽簽決定排名,甲抽中前兩[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](1)(2021·新高考Ⅰ,8)有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則(

)A.甲與丙相互獨(dú)立

B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立

D.丙與丁相互獨(dú)立BABD

考點(diǎn)二條件概率例2

某校航天科技小組決定從甲、乙等6名同學(xué)中選出4名同學(xué)參加該市舉行的“我愛火星”知識(shí)競(jìng)賽,已知甲同學(xué)被選出,則乙同學(xué)也被選出的概率為(

)A規(guī)律方法條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A)樣本點(diǎn)法借助古典概型概率公式,先求事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n(A),再求事件AB包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n(AB),得P(B|A)=縮樣法縮小樣本空間的方法,就是去掉第一次抽到的情況,只研究剩下的情況,用古典概型求解,它能化繁為簡(jiǎn)[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](2024·河北唐山模擬)假設(shè)有兩箱零件,第一箱內(nèi)裝有5件,其中有2件次品;第二箱內(nèi)裝有10件,其中有3件次品.現(xiàn)從兩箱中隨機(jī)挑選1箱,然后從該箱中隨機(jī)取1個(gè)零件,若取到的是次品,則這件次品是從第一箱中取出的概率為(

)D

解析

設(shè)A表示事件“從第一箱中取一個(gè)零件”,B表示事件“取出的零件是次

考點(diǎn)三全概率公式例3(1)(2024·廣東深圳高三期末)某批產(chǎn)品來自A,B兩條生產(chǎn)線,A生產(chǎn)線占60%,次品率為4%;B生產(chǎn)線占40%,次品率為5%,現(xiàn)隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè),若抽到的是次品,則它來自A生產(chǎn)線的概率是(

)B解析

因?yàn)槌榈降拇纹房赡軄碜訟,B兩條生產(chǎn)線,設(shè)M=“抽到的產(chǎn)品來自A生產(chǎn)線”,N=“抽到的產(chǎn)品來自B生產(chǎn)線”,C=“抽到的一件產(chǎn)品是次品”,則P(M)=0.6,P(N)=0.4,P(C|M)=0.04,P(C|N)=0.05,由全概率公式,得P(C)=P(M)P(C|M)+P(N)P(C|N)=0.6×0.04+0.4×0.05=0.044,所以它來自A(2)(2024·湖南郴州模擬)已知顏色分別是紅、綠、黃的三個(gè)大小相同的口袋,紅色口袋內(nèi)裝有兩個(gè)紅球、一個(gè)綠球和一個(gè)黃球;綠色口袋內(nèi)裝有兩個(gè)紅球、一個(gè)黃球;黃色口袋內(nèi)裝有三個(gè)紅球、兩個(gè)綠球(球的大小、質(zhì)地完全相同).若第一次先從紅色口袋內(nèi)隨機(jī)抽取一個(gè)球,然后將取出的球放入與球同顏色的口袋內(nèi),第二次從該口袋內(nèi)任取一個(gè)球,則第二次取到黃球的概率為(

)D[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2024·山東煙臺(tái)模擬)為了解高中學(xué)生的體質(zhì)健康水平,某市教育局分別從身體形態(tài)、身體機(jī)能、身體素質(zhì)等方面對(duì)該市高中學(xué)生的體質(zhì)健康水平進(jìn)行綜合測(cè)評(píng),并根據(jù)2018年版的《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》評(píng)定等級(jí),經(jīng)過統(tǒng)計(jì),甲校有30%的學(xué)生的等級(jí)為良好,乙校有60%的學(xué)生的等級(jí)為良好,丙校有50%的學(xué)生的等級(jí)為良好,且甲、乙、丙這三所學(xué)校參加測(cè)評(píng)的學(xué)生人數(shù)之比為5∶8∶7.從甲、乙、丙這三所學(xué)校參加測(cè)評(píng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生,則該學(xué)生的等級(jí)為良好的概率為(

)A.0.40 B.0.47

C.0.49

D.0.55C解析

從甲、乙、丙這三所學(xué)校參加測(cè)評(píng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生,記“該學(xué)生來自