專題10四邊形考點(diǎn)01多邊形的內(nèi)角與外角定理1．（2025?湖南）如圖，左圖為傳統(tǒng)建筑中的一種窗格，右圖為其窗框的示意圖，多邊形為正八邊形，連接，，與交于點(diǎn)，．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等邊對(duì)等角、正多邊形的內(nèi)角問題【分析】本題主要考查了正多邊形內(nèi)角問題，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)正多邊形內(nèi)角計(jì)算公式求出，再根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：∵八邊形是正八邊形，∴，∴，同理可得，∴，故答案為：．2．（2023?永州）下列多邊形中，內(nèi)角和等于360°的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和與多邊形內(nèi)角和將各圖形的內(nèi)角和計(jì)算后進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．三角形的內(nèi)角和為180°，則A不符合題意；B．四邊形的內(nèi)角和為360°，則B符合題意；C．五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，則C不符合題意；D．六邊形的內(nèi)角和為（6﹣2）×180°＝720°，則D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和公式，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．3．（2023?湘西州）一個(gè)七邊形的內(nèi)角和是（）A．1080° B．900° C．720° D．540°【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，把多邊形的邊數(shù)代入公式，就得到多邊形的內(nèi)角和．【解答】解：（7﹣2）×180°＝900°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和定理，解決本題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式，是需要熟記的內(nèi)容．4．（2025?長沙）如圖，五邊形中，，，，則°．【答案】205【知識(shí)點(diǎn)】多邊形內(nèi)角和問題【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和求法，根據(jù)其公式解題即可．【詳解】解：多邊形的內(nèi)角和為，∴五邊形的內(nèi)角和為，，故答案為：205．5．（2023?益陽）如圖，正六邊形ABCDEF中，∠FAB＝120°．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和及正多邊形的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠FAB＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，故答案為：120．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角和及正多邊形的性質(zhì)，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．考點(diǎn)02平行四邊形的判定與性質(zhì)1．（2023?益陽）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列結(jié)論一定成立的是（）A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC【分析】由平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分是解題的關(guān)鍵．2．（2023?邵陽）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，若添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD為平行四邊形，則下列正確的是（）A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C【分析】由平行四邊形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∴不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023?衡陽）如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C【分析】由平行四邊形的判定方法，即可判斷．【解答】解：A、因?yàn)锳D∥BC，AD＝BC，因此由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故A不符合題意；B、因?yàn)锳D∥BC，AB∥DC，因此由兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故B不符合題意；C、AB＝DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故C符合題意；D、因?yàn)锳D∥BC得到∠ADB＝∠CBD，又∠A＝∠C，BD＝DB，因此△ABD≌△CDB（AAS），得到AD＝CB，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定方法．4.（2023?株洲）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB的平分線AE交線段CD于點(diǎn)E，則EC＝2．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，則∠DEA＝∠EAB，再由角平分線的定義可得∠EAB＝∠DAE，從而求得∠AED＝∠DAE，則AD＝DE，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形；∴AD∥BC，DC＝AB．∴∠DEA＝∠EAB，∵∠DAB的平分線AE交DC于點(diǎn)E，∴∠EAB＝∠DAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴AD＝DE，∵AD＝3，AB＝5，∴EC＝DC﹣DE＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定，其中掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2025?長沙）如圖，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明、用勾股定理解三角形、證明四邊形是平行四邊形【分析】該題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．（1）根據(jù)四邊形是正方形，得出且．結(jié)合，得出．結(jié)合，即可證明四邊形是平行四邊形．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)．根據(jù)四邊形是正方形，，得出．結(jié)合，證出四邊形是矩形．得出．結(jié)合，得出．在中，由勾股定理求出．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴且．又，．．又．∴四邊形是平行四邊形．（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)．∵四邊形是正方形，，．又，∴四邊形是矩形．．又，．在中，由勾股定理得．6．（2024?湖南）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E在邊AB上，①或②．請(qǐng)從“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號(hào)），再解決下列問題：（1）求證：四邊形BCDE為平行四邊形；（2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求線段AE的長．【分析】（1）證明BC∥DE或BE＝CD，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得DE＝BC＝10，再由勾股定理求出AE的長即可．【解答】解：（1）選擇①或②，證明如下：選擇①，∵∠B＝∠AED，∴BC∥DE，∵AB∥CD，∴四邊形BCDE為平行四邊形；選擇②，∵AE＝BE，AE＝CD，∴BE＝CD，∵AB∥CD，∴四邊形BCDE為平行四邊形；故答案為：①或②；（2）由（1）可知，四邊形BCDE為平行四邊形，∴DE＝BC＝10，∵AD⊥AB，∴∠A＝90°，∴AE=D即線段AE的長為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理得知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2024?長沙）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝90°．（1）求證：AC＝BD；（2）點(diǎn)E在BC邊上，滿足∠CEO＝∠COE．若AB＝6，BC＝8，求CE的長及tan∠CEO的值．【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝90°，證明四邊形ABCD是矩形，則AC＝BD；（2）作OH⊥BC于點(diǎn)H，由AB＝6，BC＝8，求得AC＝10，則CE＝OC＝OA＝5，再證明OC＝OB，則HC＝HB＝4，求得EH＝1，由OHHC=ABBC=tan∠ACB，求得OH=AB【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD．（2）作OH⊥BC于點(diǎn)H，則∠OHE＝∠OHC＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=A∴OC＝OA=12∵∠CEO＝∠COE，∴CE＝OC＝5，∵OC＝OA=12AC，OB＝OD=12BD，且∴OC＝OB，∴HC＝HB=12∴EH＝CE﹣HC＝5﹣4＝1，∵OHHC=AB∴OH=ABBC?HC∴tan∠CEO=OH∴CE的長為5，tan∠CEO的值為3．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2023?長沙）如圖，在?ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：AD＝AF；（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的長和△ADF的面積．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CDE＝∠F，根據(jù)角平分線的定義得到∠ADE＝∠CDE，求得∠F＝∠ADF，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到AD＝AF，（2）根據(jù)線段的和差得到BF＝AF﹣AB＝3；過D作DH⊥AF交FA的延長線于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AH=12AD=3，DH=AD2?A【解答】（1）證明：在?ABCD中，∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠F，∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF，（2）解：∵AD＝AF＝6，AB＝3，∴BF＝AF﹣AB＝3；過D作DH⊥AF交FA的延長線于H，∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°，∴∠ADH＝30°，∴AH=1∴DH=AD2∴△ADF的面積=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2023?株洲）如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段CE上，連接BH，點(diǎn)G、F分別為BH、CH的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求線段BG的長度．【分析】（1）由三角形中位線定理得DE∥BC，DE=12BC，GF∥BC，GF=12BC，則DE∥GF，（2）由平行四邊形的性質(zhì)得DG＝EF＝2，再由勾股定理求出BG的長即可．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F分別為BH、CH的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，GF是△HBC的中位線，∴DE∥BC，DE=12BC，GF∥BC，GF=∴DE∥GF，DE＝GF，∴四邊形DEFG為平行四邊形；（2）解：∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG＝EF＝2，∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°，∴BG=B即線段BG的長度為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)03矩形的判定與性質(zhì)1．（2023?湘西州）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，AB＝8，AD＝DE＝10，則BF的長為25．【分析】由矩形的性質(zhì)得∠ABC＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝10，而DE＝10，所以CE=DE2?CD2=6，則BE＝BC﹣CE＝4，所以AE=AB【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝DE＝10，∴∠ABC＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝10，∴CE=D∴BE＝BC﹣CE＝10﹣6＝4，∴AE=AB2∵點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，∴BF=12AE=12×故答案為：25．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識(shí)，正確地求出CE的長是解題的關(guān)鍵．2．（2023?懷化）如圖，矩形ABCD中，過對(duì)角線BD的中點(diǎn)O作BD的垂線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）證明：△BOF≌△DOE；（2）連接BE、DF，證明：四邊形EBFD是菱形．【分析】（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊平行得到AD∥BC，于是有∠EDO＝∠FBO，根據(jù)點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)得出DO＝BO，結(jié)合對(duì)頂角相等利用ASA可證得△BOF和△DOE全等；（2）由（1）△BOF≌△DOE可得BF＝DE，結(jié)合DE∥BF，可得四邊形EBFD是平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可得證．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，∴DO＝BO，又∵∠EOD＝∠FOB，∴△BOF≌△DOE（ASA）；（2）證明：由（1）已證△BOF≌△DOE，∴BF＝DE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即DE∥BF，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∵EF⊥BD，∴四邊形EBFD是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023?岳陽）如圖，點(diǎn)M在?ABCD的邊AD上，BM＝CM，請(qǐng)從以下三個(gè)選項(xiàng)中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件，使?ABCD為矩形．（1）你添加的條件是①（或②）（填序號(hào)）；（2）添加條件后，請(qǐng)證明?ABCD為矩形．【分析】（1）根據(jù)矩形的判定定理選擇條件即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥DC，AB＝DC，求得∠A+∠D＝180°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠D，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）解：①當(dāng)∠1＝∠2時(shí)，?ABCD為矩形；②當(dāng)AM＝DM時(shí)，?ABCD為矩形，故答案為：①（或②）；（2）選擇①∠1＝∠2，證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠A+∠D＝180°，在△ABM和DCM中，AB=DC∠1=∠2∴△ABM≌DCM（SAS），∴∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝90°，∴?ABCD為矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，由矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定證得△ABM≌DCM，并熟練掌握矩形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)04菱形的判定與性質(zhì)1．（2025?湖南）如圖，在四邊形中，對(duì)角線與互相垂直平分，，則四邊形的周長為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得四邊形的四條邊長相等，代入已知邊長，計(jì)算周長即可．【詳解】解：∵在四邊形中，對(duì)角線與互相垂直平分，∴，，，∴，∵，∴四邊形的周長為，解法二：∵在四邊形中，對(duì)角線與互相垂直平分，∴四邊形為菱形，∴菱形的周長為，故選：．2．（2024?長沙）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，DE，過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F．設(shè)DE＝x，AF＝y(tǒng)，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（）A．y=9x B．y=12x C．y=【分析】過D作DH⊥BC交BC的延長線于H，在菱形ABCD中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCH＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH，根據(jù)直角三角形到現(xiàn)在得到DH=1【解答】解：過D作DH⊥BC交BC的延長線于H，在菱形ABCD中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∴∠DCH＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH，∴DH=1∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠EHD＝90°，∴△ADF∽△DEH，∴ADDE∴6x∴y=18故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023?湘潭）如圖，菱形ABCD中，連接AC，BD，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．60° C．70° D．80°【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠DCA＝∠1＝20°，∴∠2＝90°﹣∠DCA＝70°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023?湘西州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BM∥DN，且分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)M，N，連接MD，BN．（1）求證：∠DMN＝∠BNM；（2）若∠BAC＝∠DAC．求證：四邊形BMDN是菱形．【分析】（1）連接BD，交AC于點(diǎn)O，證明△BOM≌△DON，推出四邊形BMDN為平行四邊形，得到BN∥DM，即可得證；（2）先證明四邊形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，進(jìn)而得到MN⊥BD，即可得證．【解答】證明：（1）連接BD，交AC于點(diǎn)O，如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，∵BM∥DN，∴∠MBO＝∠NDO，又∠BOM＝∠DON，∴△BOM≌△DON（ASA），∴BM＝DN，∴四邊形BMDN為平行四邊形，∴BN∥DM，∴∠DMN＝∠BNM；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠BCA＝∠DAC，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴MN⊥BD，∴平行四邊形BMDN是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．5．（2023?永州）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，其對(duì)角線相交于點(diǎn)O，OA＝3，BD＝8，AB＝5．（1）△AOB是直角三角形嗎？請(qǐng)說明理由；（2）求證：四邊形ABCD是菱形．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得OB＝4，再證OA2+OB2＝AB2，然后由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；（2）由∠AOB＝90°得AC⊥BD，再由菱形的判定定理即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：△AOB是直角三角形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，BD＝8，∴OB＝OD=12∵OA＝3，OB＝4，AB＝5，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°；（2）證明：由（1）可知，∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定，由勾股定理的逆定理證出△AOB為直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2023?張家界）如圖，已知點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．（1）求證：AE∥BF；（2）若DF＝FC時(shí)，求證：四邊形DECF是菱形．【分析】（1）由SSS證明△AEC≌△BFD（SSS），得到∠A＝∠B，即可證明AE∥BF；（2）由△AEC≌△BFD，得到∠ECA＝∠FDB，推出EC∥DF，又EC＝DF，得到四邊形DECF是平行四邊形，而DF＝FC，推出四邊形DECF是菱形．【解答】證明：（1）∵AD＝BC，∴AD+CD＝BC+CD，∴AC＝BD，∵AE＝BF，CE＝DF，∴△AEC≌△BFD（SSS），∴∠A＝∠B，∴AE∥BF；（2）∵△AEC≌△BFD（SSS），∴∠ECA＝∠FDB，∴EC∥DF，∵EC＝DF，∴四邊形DECF是平行四邊形，∵DF＝FC，∴四邊形DECF是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是證明△AEC≌△BFD（SSS）．考點(diǎn)05正方形的判定與性質(zhì)1．（2023?常德）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為AO，DO上的一點(diǎn)，且EF∥AD，連接AF，DE．若∠FAC＝15°，則∠AED的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．105° D．115°【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)及EF∥BC得∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，進(jìn)而得∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，然后證△AEF和△DFE全等得∠CAE＝∠FDE＝15°，從而得∠ADE＝30°，最后利用三角形的內(nèi)角和定理可求出∠AED的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°，∵EF∥BC，∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，∵OA＝OD，∴AE＝DF，在△AEF和△DFE中，AE＝DF，∠AEF＝∠DFE＝135°，EF＝FE，∴△AEF≌△DFE（SAS），∴∠CAF＝∠FDE＝15°，∴∠ADE＝∠ODA﹣∠FDE＝45°﹣15°＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠OAD﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，解答此題的關(guān)鍵是依據(jù)正方形的性質(zhì)得出判定△AEF和△DFE全等的條件．2．（2023?懷化）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，PE⊥AD于點(diǎn)E，PE＝3．則點(diǎn)P到直線AB的距離為3．【分析】解法一：利用正方形的性質(zhì)得到AC為∠BAD的平分線，直接利用角平分線的性質(zhì)即可求解．解法二：過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)正方形的性質(zhì)易得△AEP為等腰直角三角形，AE＝PE＝3，再根據(jù)有三個(gè)角為直角，且鄰邊相等的四邊形為正方形證明四邊形AFPE為正方形，以此即可求解．【解答】解：解法一：過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD為正方形，∴AC平分∠BAD，又∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴PE＝PF＝3，∴點(diǎn)P到直線AB的距離為3．解法二：過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，∴∠PAE＝45°，∴△AEP為等腰直角三角形，AE＝PE＝3，∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴∠FAE＝∠AEP＝∠AFP＝90°，又∵AE＝PE，∴四邊形AFPE為正方形，∴AE＝PF＝3，∴點(diǎn)P到直線AB的距離為3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2023?湘潭）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具．某同學(xué)用邊長為4dm的正方形紙板制作了一副七巧板（見圖），由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為2dm2．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及七巧板的特點(diǎn)，求得OE的長，即可求解．【解答】解：如圖所示，依題意，OD=22AD＝22，OE=1∴圖中陰影部分的面積為OE2＝（2）2＝2（dm2），故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)06四邊形的綜合問題1．（2025?湖南）【問題背景】如圖1，在平行四邊形紙片中，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，沿直線將紙片剪開，得到和四邊形，如圖2所示．【動(dòng)手操作】現(xiàn)將三角形紙片和四邊形紙片進(jìn)行如下操作（以下操作均能實(shí)現(xiàn)）①將三角形紙片置于四邊形紙片內(nèi)部，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在線段上，延長交線段于點(diǎn)，如圖3所示；②連接，過點(diǎn)作直線交射線于點(diǎn)，如圖4所示；③在邊上取一點(diǎn)，分別連接，，，如圖5所示．【問題解決】請(qǐng)解決下列問題：(1)如圖3，填空：______；(2)如圖4，求證：；(3)如圖5．若，，求證：．【答案】(1)(2)證明過程見詳解(3)證明過程見詳解【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)和判定、利用平行四邊形的性質(zhì)證明【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)題意得到，，，由此即可求解；（2）根據(jù)題意得到，，是等腰直角三角形，則，，，再證明，則，且，由此即可求解；（3）根據(jù)題意，設(shè)，則，在中，，，，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，，，，，，可證，得到，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵直線，∴，∴，∵將三角形紙片置于四邊形紙片內(nèi)部，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在線段上，延長交線段于點(diǎn)，∴，∴，故答案為：；（2）證明：根據(jù)題意，，∴，∵將三角形紙片置于四邊形紙片內(nèi)部，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在線段上，延長交線段于點(diǎn)，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵直線，即，∴，∴，∴，∵，點(diǎn)在線段上，∴，∵，∴，∴，且，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴設(shè)，則，在中，，，∴，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，，即，解得，，∵，∴，∴，即，解得，，∵，∴，即，解得，，，∵，∴，∴，∴，∴，即，且，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．2．（2023?衡陽）[問題探究]（1）如圖1，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．在線段AO上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接PD、PB．①求證：PD＝PB；②將線段DP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA的延長線上的點(diǎn)Q處．當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上的位置發(fā)生變化時(shí)，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；③探究AQ與OP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．[遷移探究]（2）如圖2，將正方形ABCD換成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他條件不變．試探究AQ與CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△DCP≌△BCP，即可得到結(jié)論；②作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分別為點(diǎn)M、N，如圖，可得PM＝PN，證明四邊形AMPN是矩形，推出∠MPN＝90°，證明Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），得出∠DPN＝∠QPM，進(jìn)而可得結(jié)論；③作PE⊥AO交AB于點(diǎn)E，作EF⊥OB于點(diǎn)F，如圖，證明AQ＝BE，BE=2EF（2）先證明PQ＝PB，作PE∥BC交AB于點(diǎn)E，EG∥AC交BC于點(diǎn)G，如圖，則四邊形PEGC是平行四邊形，可得EG＝PC，△APE，△BEG都是等邊三角形，進(jìn)一步即可證得結(jié)論．【解答】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°．∵CP＝CP，∴△DCP≌△BCP，∴PD＝PB；②解：∠DPQ的大小不發(fā)生變化，∠DPQ＝90°；理由：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分別為點(diǎn)M、N，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°，∴四邊形AMPN是矩形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°．.∵PD＝PQ，PM＝PN，∴Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），∴∠DPN＝∠QPM，∴∠QPN+∠QPM＝90°．∴∠QPN+∠DPN＝90°，即∠DPQ＝90°；③解：AQ=2OP理由：作PE⊥AO交AB于點(diǎn)E，作EF⊥OB于點(diǎn)F，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠AOB＝90°，∴∠AEP＝45°，四邊形OPEF是矩形，∴∠PAE＝∠PEA＝45°，EF＝OP，∴PA＝PE，∵PD＝PB，PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PM⊥AE于點(diǎn)M，則QM＝BM，AM＝EM，∴AQ＝BE，∵∠EFB＝90°，∠EBF＝45°，∴BE=EFsin45°∴AQ=2OP（2）解：AQ＝CP；理由：四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，∴△ABC是等邊三角形，AC垂直平分BD，∴∠BAC＝60°，PD＝PB，∵PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PE∥BC交AB于點(diǎn)E，EG∥AC交BC于點(diǎn)G，如圖，則四邊形PEGC是平行四邊形，∠GEB＝∠BAC＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，∴EG＝PC，△APE，△BEG都是等邊三角形，∴BE＝EG＝PC，作PM⊥AB于點(diǎn)M，則QM＝MB，AM＝EM，∴QA＝BE，∴AQ＝CP．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形、菱形的性質(zhì)，矩形、平行四邊形、等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023?郴州）已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)E，使CE＝AD，連接DE交射線AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，猜測(cè)線段CF與BD的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長線上時(shí)，①線段CF與BD的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；②如圖3，連接AE．設(shè)AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四邊形BDFC的面積．【分析】（1）由“AAS”可證△DGF≌△ECF，得到CF＝GF=12CG=（2）①由“AAS”可證△DGF≌△ECF，得到CF＝FG=12CG=②根據(jù)已知條件推出tan∠AEH＝tan∠MDN，得到AHEH=MNDN，證明△ABC∽△ADG，得到【解答】解：（1）CF=1如圖，過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG為等邊三角形，∴AD＝AG＝DG，∵AD＝CE，AB﹣AD＝AC﹣AG，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝GF=12CG=（2）①成立，理由如下：如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC的延長線于點(diǎn)G，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG是等邊三角形，∴AD＝AG＝DG，∵AD＝CE，AD﹣AB＝AG﹣AC，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝FG=12CG=②如圖，過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AN⊥DG，交BC于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)N，則：AN⊥BC，由①知：△ADG為等邊三角形，△DGF≌△ECF（AAS），∴CF=FG=1∵△ABC為等邊三角形，AB=AC=BC=4，BH=CH=12BC=2∵∠AEB＝∠DEB，EH＝EH，∠AHE＝∠MHE＝90°，∴△AEH≌△MEH（ASA），∴MH=AH=23，AM=2AH=4∵△DGF≌△ECF，∴∠CEF＝∠MDN，DG＝CE，∴∠AEH＝∠MDN，∴tan∠AEH＝tan∠MDN，∴AHEH設(shè)MN＝y(tǒng)，DG＝CE＝x，則：EH＝CE+CH＝2+x，DN=1∴23x+2∵DG∥BC，∴△ABC∽△ADG，∴BCDG即：4x聯(lián)立①②可得：x=42經(jīng)檢驗(yàn)x=42∴DG=CE=42+4，DN=22∴AN=26∴S△ACE=12CE?AH=12×（42+4）×2∴S△ACE∴S△CEF=22（46+43）＝4∴四邊形BDFC的面積＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△DFG＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△CEF=1方法二、在DE上截取，EM＝EA，連接BM，CD，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，∵△ABC是等邊三角形，CH⊥AB，AB＝4，∴BH＝AH＝2，∠BCH＝30°，∴CH=3BH＝23∵AE＝EM，∠AEB＝∠DEB，BE＝BE，∴△ABE≌△MBE（SAS），∴BM＝AB＝4，∠ABC＝∠MBE＝60°＝∠ACB，∴AC∥BM，∴△DBM∽△DAF，∴BMAF∴44+CF∴CF＝22，∴S△ADC=12×AD×CH＝43+46，S△∵S△ACD∴S△CDF＝26+43∴S四邊形BDFC=43【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．本題的綜合性強(qiáng)，難度大，屬于中考?jí)狠S題，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形，全等和相似