專題6.5《平面向量》單元測試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2021·泉州鯉城北大培文學(xué)校高一期末）下列命題正確的是（）A．單位向量都相等 B．若與都是單位向量，則C． D．若，則【答案】C【解析】利用向量的定義和性質(zhì)判斷即可.【詳解】對于A，向量是既有大小又有方向的量，單位向量只是模相等，故A錯(cuò)誤；對于B，，與的夾角不確定，故B錯(cuò)誤；對于C，由向量數(shù)乘的定義可知正確；對于D，，說明與垂直，故D錯(cuò)誤；故選：C.2．（2021·河北高一期末）在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由向量的線性運(yùn)算直接轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】，.故選：B.3．（2021·湖北高一期末）已知向量，，若，則（）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，求出的值，從而可求出的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出【詳解】因?yàn)椋?，解得，所以，所以，故選：C.4．（2021·湖南高二期末）在中，，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，，，則的值為（）A． B． C．14 D．【答案】A【解析】充分利用直角三角形的特點(diǎn)，向量的加減法運(yùn)算，以及來求解，將轉(zhuǎn)化為已知長度的來計(jì)算.【詳解】，，則．故選：A5．（2021·泉州鯉城北大培文學(xué)校高一期末）設(shè)，，且，則銳角的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由向量共線的坐標(biāo)表示列出關(guān)于的三角函數(shù)式，由三角運(yùn)算求出角.【詳解】解：∵，，且，∴，∴．∵為銳角，．故選：6．（2021·天津高一期中）在中，若，且，則為（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【解析】由，可得，得，由可得,從而可判斷出三角形的形狀【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以為等腰直角三角形，故選：C7．（2021·湖北高一期末）已知，是不共線的向量，，，，若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．10 C． D．5【答案】A【解析】由向量的線性運(yùn)算，求得，根據(jù)三點(diǎn)共線，得到，列出方程組，即可求解.【詳解】由，，可得，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，所以存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，即，所以，解得，.故選：A.8．（2021·湖北高一月考）G是的重心，分別是角的對邊，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由G是的重心，得，可令，可求得，再運(yùn)用余弦定理計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)镚是的重心，所以，又，可令，解得，所以，故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．（2021·遼寧高一期中）設(shè)向量，，則（）A． B．與的夾角是C． D．與同向的單位向量是【答案】BC【解析】由條件算出，，即可判斷A，算出的值可判斷B，算出的值可判斷C，與同向的單位向量是，可判斷D.【詳解】因?yàn)?，，所以，，故A錯(cuò)誤因?yàn)?，所以與的夾角是，故B正確因?yàn)?，所以，故C正確與同向的單位向量是，故D錯(cuò)誤故選：BC10．（2021·福建漳州市·高一期末）設(shè)向量、滿足，且，則以下結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】將等式兩邊平方，求出，可判斷AD選項(xiàng)的正誤，利用平面向量數(shù)量積可判斷BC選項(xiàng)的正誤.【詳解】，在等式兩邊平方可得，可得，故A選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，C選項(xiàng)正確.故選：AC.11．（2021·湖南高一期中）已知向量，滿足，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．與的夾角為【答案】BC【解析】由，，，求得，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】，∴，∴，∴，，，∴與的夾角不是，故選：BC.12．（2021·湖北高一期中）下列關(guān)于平面向量的說法中錯(cuò)誤的是（）A．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得B．已知向量，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是C．若且，則D．若點(diǎn)為的垂心，則【答案】ABC【解析】直接利用向量的共線，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的率要條件，向量的數(shù)量積的應(yīng)用判斷A，B，C，D的結(jié)論即可【詳解】解：對于A，當(dāng)時(shí)，滿足，但不滿足存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，所以A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，解得，而當(dāng)時(shí)，與共線，所以且，所以B錯(cuò)誤；對于C，由于，，所以當(dāng)時(shí)，等號成立，所以C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)辄c(diǎn)為的垂心，所以，所以,所以,同理可得所以，所以D正確，故選：ABC第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（2021·河北高一期末）已知單位向量與向量共線，則向量的坐標(biāo)是___________．【答案】或.【解析】根據(jù)與向量共線的單位向量的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，單位向量與向量共線，則向量，即向量的坐標(biāo)是或.14．（2021·陜西商洛市·高二期末（理））已知向量與垂直，則___________.【答案】【解析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù)，再由即可求值.【詳解】由題意，，則，.故答案為：15．（2021·北京八中高二期末）已知向量，且，那么與的夾角大小是___________.【答案】【解析】根據(jù)題意求出，，然后根據(jù)平面向量的夾角公式求解即可.【詳解】，，，所以，故答案為：16．（2021·湖南長沙市·長郡中學(xué)高一期末）已知，，分別為的三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，且，點(diǎn)在邊上，且，，則的面積最大值為___________.【答案】【解析】利用余弦定理求得，從而求得角，然后利用平面向量數(shù)量積結(jié)合基本不等式求得的最大值，然后利用三角形面積公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)?，解?因?yàn)?，故，所以，由基本不等式可得，，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號成立，即的最大值為，所以.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2021·湖北高一期中）已知向量，.（1）若向量，且，求的坐標(biāo)；（2）若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）設(shè)，利用兩個(gè)向量平行的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出向量的坐標(biāo)．（2）由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，代入模即可求出的值．【詳解】解：（1）設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，解得或，所以?（2）因?yàn)橄蛄颗c互相垂直所以，即，而，，所以，，因此，解得.18．（2021·湖南高一期中）在中，是的中點(diǎn)，，，.（1）求的面積；（2）若為上一點(diǎn)，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)為中線可得，兩邊平方后可求，求出后可求三角形的面積.（2）根據(jù)三點(diǎn)共線可求的值.【詳解】（1）∵是中點(diǎn)，且，，，∴，∴，∴，∴，而為三角形內(nèi)角，故，∴.（2）∵，且，，三點(diǎn)共線，∴，解得.19．（2021·安徽高二期末（文））已知在中，角的對邊分別為，且，．（1）求；（2）若，且，求的長．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用余弦定理角化邊可化簡已知等式得到關(guān)于的方程，解方程求得；（2）根據(jù)平面向量基本定理可確定，利用可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而求得，開平方得到結(jié)果.【詳解】（1），，，解得：（舍）或，.（2）由可知：是上靠近的三等分點(diǎn)，，，解得：，，.20．（2021·湖南高一期中）在條件①；②；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充以下問題并解答：如圖所示，中內(nèi)角A?B?C的對邊分別為a?b?c，___________，且，D在AC上，.（1）若，求；（2）若，求AC的長.【答案】條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】若選①，由正弦定理可得，化簡后再利用余弦定理可求出，；若選②，由結(jié)合，可得，化簡后可得，從而可求出；若選③，對利用二倍角公式化簡可得，再由正弦定理得，從而由余弦定理可求出，（1）由題意可得為等邊三角形，所以，然后在中，利用正弦定理可求出的值；（2）設(shè)，則，，在中利用余弦定理可求出，從而可求出AC的長【詳解】解：選①，，由正弦定理得，，整理得，，由余弦定理得：，由A為三角形內(nèi)角得，；選②，，由得，因?yàn)?，所以，即，由于，所以，即，故；選③，，所以，整理得，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，由A為三角形內(nèi)角得，；（1）因?yàn)?，，且，所以為等邊三角形，所以，，，中，由正弦定理得，，即，所以，?）設(shè)，則，，中，由余弦定理得，，故，.21．（2021·湖北高一期中）在中，角，，所對的邊分別為，，且.（1）求；（2）已知，若為的中點(diǎn)，且，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理把轉(zhuǎn)化為可求得；（2）由，兩邊平方可求得長，從而求得的面積．【詳解】解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，即，所以，因?yàn)樵谥校?，所以，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則兩邊平方得，因