第13章

三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明13.2第3課時(shí)三角形的內(nèi)角和課堂小結(jié)隨堂演練獲取新知新課導(dǎo)入例題精講新課導(dǎo)入在證明命題時(shí)，要分清命題的條件和結(jié)論，如果問題與圖形有關(guān)，首先根據(jù)條件畫出圖形，并在圖形上標(biāo)出有關(guān)字母與符號(hào)；再結(jié)合圖形，寫出已知、求證；然后，分析因果關(guān)系，找出證明途徑；最后有條理地寫出證明過程.你能證明這個(gè)文字命題嗎？命題：三角形的內(nèi)角和等于180°.獲取新知分析：以前我們通過剪拼將三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成了一個(gè)平角，這不是證明，但它卻給我們以啟發(fā).現(xiàn)在我們通過作圖來實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，給出證明.

已知：△ABC，

如圖所示.

求證：∠A+∠B+∠C=180°.ABC命題：三角形的內(nèi)角和等于180°.證明：延長(zhǎng)BC到D，過C作CE//BA，∴∠A=∠1，(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.(等量代換)21EDCBA想一想，還有沒有其他的證明方法呢？證法2：過點(diǎn)A作EF∥BC，∴∠B=∠2，(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∠C=∠1.(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)又∵∠2+∠1+∠BAC=180°，(平角的定義)∴∠B+∠C+∠BAC=180°.（等量代換）F21EBAC證法3：過A作AE//BC，∴∠B=∠BAE，(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∠EAC+∠C=180°，(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))∴∠B+∠C+∠BAC=180°.(等量代換)CBEACBAEDF證法4：過點(diǎn)D作DE∥AC,

DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC，(兩直線平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補(bǔ))∴∠A=∠EDF.(等量代換)∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.(等量代換)在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。為了證明三個(gè)角的和為180?,轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ),這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.思路總結(jié)定理：三角形的內(nèi)角和等于180°符號(hào)語言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.A

CB變形二：在△ABC的中，∠B+∠C=180°-∠A變形一：在△ABC的中，∠A=180°

-（∠B+∠C）知識(shí)要點(diǎn)問題1：在△ABC中，∠C=90°，求:∠A+∠B的度數(shù)？由此你能得到什么結(jié)論？在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C＝90°，

∴∠A＋∠B＝90°.推論1直角三角形的兩銳角互余.像這樣，由基本事實(shí)、定理直接得出的真命題叫做推論.ABC直角三角形的兩個(gè)銳角互余．應(yīng)用格式：在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．總結(jié)歸納問題2：在△ABC中，∠A+∠B=90°，則∠C度數(shù)為多少？由此你能得到什么結(jié)論？在△ABC中,∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A＋∠B＝90°,

∴∠C＝90°.推論2有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.ABC應(yīng)用格式：在△ABC

中，∵∠A+∠B

=90°，∴△ABC是直角三角形．有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

總結(jié)歸納解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠C.

練一練：如圖，∠B=∠D=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A與∠C有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由.例題精講例1如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ACD=∠B,判斷△ADC的形狀.解:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∵∠ACD=∠B,∴∠ACD+∠A=90°,∴△ADC是直角三角形.例2

如圖，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度數(shù)．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分線，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠EDC=80°.1.具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠CB．∠A-∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠CD隨堂演練2．如圖，AB，CD相交于點(diǎn)O，AC⊥CD于點(diǎn)C.若∠BOD＝38°，則∠A＝________°.523．如圖13－2－13，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD＝∠B.求證：△BCD是直角三角形．證明：∵∠AC