第12章

整式的乘除12.3等腰三角形1.

等腰三角形的性質(zhì)

知識(shí)關(guān)聯(lián)探究與應(yīng)用 課堂小結(jié)與檢測(cè)知識(shí)關(guān)聯(lián)等腰三角形三條邊都相等的三角形

(稱(chēng)為等邊三角形或正三角形）三邊互不相等三角形只有兩條邊相等的三角形

【探究1】等腰三角形的概念探究與應(yīng)用

1.定義:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2.等腰三角形的基本要素:相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，

兩腰的夾角叫做頂角，

腰和底邊的夾角叫做底角.

ABC腰腰底邊頂角底角底角幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形.

【探究2】等邊對(duì)等角探究與應(yīng)用

【做一做】

剪一張等腰三角形的半透明紙片，每人所剪的等腰三角形的大小和形狀可以不一樣，如圖，把紙片對(duì)折，讓兩腰AB、AC重疊在一起，折痕為AD.你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象嗎？BA重合的線段：AB=AC，BD=CD.重合的角：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC.

【探究2】等邊對(duì)等角

【歸納】探究與應(yīng)用1.等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形.我們可以得出結(jié)論：ACBD折痕AD所在直線就是它的對(duì)稱(chēng)軸.你還有新的發(fā)現(xiàn)嗎？∠B，∠C

是等腰三角形的

.底角∠B

＝∠C所以我們可以描述為:等腰三角形的兩個(gè)底角相等.2.

【探究2】等邊對(duì)等角探究與應(yīng)用性質(zhì)1：等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形.等腰三角形的性質(zhì)作用：證明角相等常用的方法,它的應(yīng)用可省去三角形全等的證明，因而更簡(jiǎn)便．應(yīng)用格式：在△ABC中，∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C.性質(zhì)2：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”)．你能用推理的方式說(shuō)明等腰三角形的兩個(gè)底角相等嗎？

【探究2】等邊對(duì)等角探究與應(yīng)用【驗(yàn)證】已知：在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=C.分析：1.如何證明兩個(gè)角相等？

2.如何構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形？ABCD構(gòu)造三角形全等方法有三種：（1）作頂角的平分線；（2）作底邊上的中線；（3）作底邊上的高.

【探究2】等邊對(duì)等角探究與應(yīng)用ABCD12在△ABD和△ACD中,證明:

作頂角的平分線AD，AB＝AC,∠1＝∠2,AD＝AD

,

∴△ABD≌△ACD.

（SAS）∴∠B＝∠C.（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）方法一

【探究2】等邊對(duì)等角探究與應(yīng)用ABC則有

BD＝CD.D在△ABD和△ACD中,證明:作△ABC

的中線AD,AB＝AC,BD＝CD,AD＝AD

∴△ABD≌△ACD.（SSS）∴∠B＝∠C.（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）方法二

【探究2】等邊對(duì)等角探究與應(yīng)用ABC則有∠ADB＝∠ADC

＝90o.D在Rt△ABD和Rt△ACD中,證明:作△ABC

的高線AD,AB＝AC,AD＝AD,∴Rt△ABD≌Rt△ACD.

（HL）∴∠B＝∠C

.（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）方法三

【探究2】等邊對(duì)等角探究與應(yīng)用

【探究2】等邊對(duì)等角探究與應(yīng)用【應(yīng)用】例1在△ABC中，已知AB＝AC，∠B=80°．求∠C和∠A的度數(shù).解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝80°（等邊對(duì)等角）.又∵∠A+∠B+∠C＝180°(三角形的內(nèi)角和等于180°），∴∠A＝180°－∠B－∠C

＝180°－80°－80°＝20°.

【探究3】等腰三角形的三線合一探究與應(yīng)用【探索】

；

；頂角的平分線也是底邊上的中線頂角的平分線還是底邊上的高由前面的“做一做”，你還可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)寫(xiě)出你的發(fā)現(xiàn)：等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，頂角的平分線(或底邊上的高、底邊上的中線)所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸．

【探究3】等腰三角形的三線合一探究與應(yīng)用【歸納】性質(zhì)3：等腰三角形底邊上的高、中線及頂角的平分線重合(簡(jiǎn)寫(xiě)成“等腰三角形的三線合一”)．作用：是證明線段相等、角相等、垂直等關(guān)系的重要方法，應(yīng)用廣泛．應(yīng)用格式：如圖，在△ABC中，①∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BD＝CD；②∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC；

【探究3】等腰三角形的三線合一探究與應(yīng)用【性質(zhì)辨析】·→畫(huà)出任意一個(gè)等腰三角形的底角平分線、腰上的中線和高，看看它們是否重合？不重合！三線合一“三線合一”應(yīng)該對(duì)應(yīng)等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線和底邊上的高為什么不一樣?

【探究3】等腰三角形的三線合一探究與應(yīng)用【強(qiáng)化訓(xùn)練】

根據(jù)等腰三角形性質(zhì)完成下列填空.在△ABC中，AB=AC時(shí)，（1）∵AD是底邊上的高，∴∠___=∠___，____=____.(2)∵AD是中線，∴____⊥____，∠___=∠__.(3)∵AD是角平分線，∴____⊥____，_____=_____.122BDCDADBCBD1BCADCDABCD((12

【探究3】等腰三角形的三線合一探究與應(yīng)用例2

如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是邊BC上的中點(diǎn)，∠B=30°．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）∠1的度數(shù).解：（1）∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥BC(等腰三角形的三線合一）.

∴∠ADC＝∠ADB＝90°.（2）∵∠1+∠B+∠ADB＝180°(三角形的內(nèi)角和等于180°），∠B=30°，∴∠1=180°－∠B－∠ADB

=180°－30°－90°=60°.AD12BC

【探究3】等腰三角形的三線合一探究與應(yīng)用

【探究3】等腰三角形的三線合一探究與應(yīng)用

【探究3】等腰三角形的三線合一探究與應(yīng)用

【探究4】等邊三角形的概念及性質(zhì)探究與應(yīng)用

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，它也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，那么等邊三角形的每個(gè)角的度數(shù)是多少呢？它有幾條對(duì)稱(chēng)軸？因?yàn)榈冗吶切问翘厥獾牡妊切?，由等腰三角形等邊?duì)等角的性質(zhì)得到，∠B＝∠C，同理可得：∠A＝∠B，所以∠A＝∠B＝∠C.又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，從而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°.ACB三條對(duì)稱(chēng)軸

【探究4】等邊三角形的概念及性質(zhì)探究與應(yīng)用【歸納】性質(zhì)2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)角都相等，也稱(chēng)為正三角形.ACB性質(zhì)1：等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有三條對(duì)稱(chēng)軸.

【探究4】等邊三角形的概念及性質(zhì)探究與應(yīng)用【應(yīng)用】例4

如圖，已知△ABC，△BDE都是等邊三角形．求證：AE＝CD.∴△ABE≌△CBD.∴AE＝CD.證明：∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°.在△ABE與△CBD中，

AB＝CB，∵∠ABE＝∠CBD，

BE＝BD，

課堂小結(jié)課堂小結(jié)與檢測(cè)等腰三角形的性質(zhì)等邊對(duì)等角等邊三角形注意是指同一個(gè)三角形中注意是指頂角的平分線、底邊上的高和中線才有這一性質(zhì).三線合一有三條對(duì)稱(chēng)軸，每個(gè)內(nèi)角等于60°.

達(dá)標(biāo)檢測(cè)課堂小結(jié)與檢測(cè)1.如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，則∠A的度數(shù)是()A．70°B．55°C．50°D．40°D

達(dá)標(biāo)檢測(cè)課堂小結(jié)與檢測(cè)2.△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠B＝∠C；②AD⊥BC；③∠BAC＝2∠BAD；④AB，AC邊上的中線的長(zhǎng)相等．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

) A．1 B．2 C．3 D．4D【解析】①根據(jù)等邊對(duì)等角可得到該結(jié)論，故正確；

②根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到，故正確；

③根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到，故正確；

④根據(jù)三角形全等可得到，故正確．

達(dá)標(biāo)檢測(cè)課堂小結(jié)與檢測(cè)3.如圖，一張等邊三角形紙片，剪去一個(gè)角后得到一個(gè)四邊形，則圖中∠α＋∠β的度數(shù)是()A．180°B．220°C．240°D．300°C

達(dá)標(biāo)檢測(cè)課堂小結(jié)與檢測(cè)4.(1)等腰三角形一個(gè)底角為75°,它的另外兩個(gè)角為

；(2)等腰三角形一個(gè)角為36°,它的另外兩個(gè)角為_(kāi)___________________；(3)等腰三角形一個(gè)角為120°,它的另外兩個(gè)角為

.75°,30°72°,72°或36°,108°30°，30°

達(dá)標(biāo)檢測(cè)課堂小結(jié)與檢測(cè)5.如圖,△ABC和△ADE都是等邊三角形,AD是BC邊上的