2022年中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）題型一：平行四邊形綜合1.（2022嘉定一模25題）在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與邊CD垂直，，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是16，點(diǎn)E是在AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是在射線AB上的一點(diǎn)，∠CED＝∠CDF．（1）如圖1，如果點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，求∠AFD的余切值；（2）如圖2，點(diǎn)F在邊AB上的一點(diǎn)．設(shè)AE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出它的定義域；（3）如果BF：FA＝1：2，求△CDE的面積．題型二：菱形綜合1.（2022閔行一模25題）已知四邊形是菱形，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，且．（1）如圖，如果，求證：；

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如果，設(shè)，試建立與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍

（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．2.（2020黃浦二模）在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G、H分別在邊AB、BC、CD上，且FG⊥EF，EH⊥EF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形EFGH是矩形；（2）如圖2，當(dāng)＝時(shí)，求值；（3）當(dāng)cos∠D＝，且四邊形EFGH是矩形時(shí)（點(diǎn)F不與AB中點(diǎn)重合），求AF的長(zhǎng)．3.【2021松江二?！咳鐖D，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交邊AC于點(diǎn)D，E是BC邊上一點(diǎn)，且BE＝BA，過點(diǎn)A作AG∥DE，分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，聯(lián)結(jié)FE．（1）求證：四邊形AFED是菱形；（2）求證：AB2＝BG?BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，聯(lián)結(jié)AE，求的值．4.（2020浦東二模）已知：如圖，在菱形中，，．點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），，與邊相交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交對(duì)角線于點(diǎn)．設(shè)，．（1）求證：是等邊三角形；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；（3）點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求的值．題型三：正方形綜合1.（2022崇明一模25題）已知：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，在射線AB上取一點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)DE，將ADE繞點(diǎn)D針旋轉(zhuǎn)90°，E點(diǎn)落在點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)EF，與對(duì)角線BD所在的直線交于點(diǎn)M，與射線DC交于點(diǎn)N．求證：（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，如果，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）聯(lián)結(jié)AM，直線AM與直線BC交于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求AE的值．2.（2022寶山一模25）如圖，已知正方形ABCD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到AP的位置，分別過點(diǎn)作，垂足分別為點(diǎn)、．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，如果，求的正切值；（3）聯(lián)結(jié)，如果，求的值．3.【2021年崇明二?！浚?4分）如圖，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作射線AM⊥AC，點(diǎn)E是射線AM上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OE交AB邊于點(diǎn)F．以O(shè)E為一邊，作正方形OEGH，且點(diǎn)A在正方形OEGH的內(nèi)部，聯(lián)結(jié)DH．（1）求證：△HDO≌△EAO；（2）設(shè)BF＝x，正方形OEGH的邊長(zhǎng)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）聯(lián)結(jié)AG，當(dāng)△AEG是等腰三角形時(shí)，求BF的長(zhǎng)．題型四：矩形綜合1．（2022松江區(qū)一模）如圖，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，E是邊DC上一點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AD′E′，使得點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'落在AE上，如果D′E′的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過點(diǎn)B，那么DE的長(zhǎng)度等于．2.【2021閔行二?！浚?4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P在邊BC上（點(diǎn)P與端點(diǎn)B、C不重合），以P為圓心，PB為半徑作圓，圓P與射線BD的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E，直線CE與射線AD交于點(diǎn)G．點(diǎn)M為線段BE的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PM．設(shè)BP＝x，BM＝y(tǒng)．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域；（2）聯(lián)結(jié)AP，當(dāng)AP∥CE時(shí)，求x的值；（3）如果射線EC與圓P的另一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)F，當(dāng)△CPF為直角三角形時(shí)，求△CPF的面積．題型五：梯形綜合1.（2022青浦一模25題）在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝，AD＝2，DC＝，tan∠ABC＝2（如圖）．點(diǎn)E是射線AD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE、EF，且∠BEF＝∠DCB．（1）求線段BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)FB＝FE時(shí)，求線段BF的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)DE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．2.（2020松江二模）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD<BC，AB=BC=1，E是邊AB上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE.（1）如果CE=CD，求證：AD=AE；（2）聯(lián)結(jié)DE，如果存在點(diǎn)E，使得△ADE、△BCE和△CDE兩兩相似，求AD的長(zhǎng)；（3）設(shè)點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為M，點(diǎn)D關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)為N，如果AD=，且M在直線AD上時(shí)，求的值.（第25題圖）（第25題圖）ABCDE（備用圖1）ABCDABCD（備用圖2）3.（2020徐匯二模）.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5，，點(diǎn)O是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)B為半徑的與射線BA和邊BC分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)AM，作∠CMN=∠BAM，射線MN與邊AD、射線CD分別交于點(diǎn)F、N．（1）當(dāng)點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求DF的長(zhǎng)；（2）分別聯(lián)結(jié)AN、MD，當(dāng)AN//MD時(shí)，求MN的長(zhǎng)；（3）將繞著點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到，如果以點(diǎn)N為圓心的與都內(nèi)切，求的半徑長(zhǎng)．4.（2020虹口二模）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝，DC＝5，BC＝6，以點(diǎn)B為圓心，BD為半徑作圓弧，分別交邊CD、BC于點(diǎn)E、F．（1）求sin∠BDC的值；（2）聯(lián)結(jié)BE，設(shè)點(diǎn)G為射線DB上一動(dòng)點(diǎn)，如果△ADG相似于△BEC，求DG的長(zhǎng)；（3）如圖2，點(diǎn)P、Q分別為邊AD、BC上動(dòng)點(diǎn)，將扇形DBF沿著直線PQ折疊，折疊后的弧D'F'經(jīng)過點(diǎn)B與AB上的一點(diǎn)H（點(diǎn)D、F分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'，F(xiàn)'），設(shè)BH＝x，BQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫定義域）．5.【2021普陀二模】（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，CD＝5，cosC＝（如圖）．M是邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以點(diǎn)M為圓心，CM為半徑作圓，⊙M與射線CD、射線MA分別相交于點(diǎn)E、F．（1）設(shè)CE＝，求證：四邊形AMCD是平行四邊形；（2）聯(lián)結(jié)EM，設(shè)∠FMB＝∠EMC，求CE的長(zhǎng)；（3）以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑作圓，⊙D與⊙M的公共弦恰好經(jīng)過梯形的一個(gè)頂點(diǎn)，求此時(shí)⊙M的半徑長(zhǎng)．【真題訓(xùn)練】1.（2021年上海中考真題25）.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=CD，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BO并延長(zhǎng)交邊CD或邊AD于點(diǎn)E.(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上，①求證：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值;(2)若DE=2，OE=3，求CD的長(zhǎng).2.（2020上海中考真題23）．已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，BE＝DF，CE的延長(zhǎng)線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB?AE，求證：AG＝DF．3.(2018上海中考真題23)．（12.00分）已知：如圖，正方形ABCD中，P是邊BC上一點(diǎn)，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分別是點(diǎn)E、F．（1）求證：EF=AE﹣BE；（2）聯(lián)結(jié)BF，如課=．求證：EF=EP．4.（2017年上海中考真題）23．已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且EA=EC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．2022年中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）題型一：平行四邊形綜合1.（2022嘉定一模25題）在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與邊CD垂直，，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是16，點(diǎn)E是在AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是在射線AB上的一點(diǎn)，∠CED＝∠CDF．（1）如圖1，如果點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，求∠AFD的余切值；（2）如圖2，點(diǎn)F在邊AB上的一點(diǎn)．設(shè)AE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出它的定義域；（3）如果BF：FA＝1：2，求△CDE的面積．【解答】解：（1）如果點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，設(shè)DF與AC交于點(diǎn)M，∵AC⊥CD，∴∠DCA＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCA＝90°，在Rt△CAB中，設(shè)AB＝3k，∵，∴AC＝4k，∴BC＝＝5k，∵四邊形ABCD的周長(zhǎng)是16，∴2（AB+BC）＝16，即2（3k+5k）＝16，∴k＝1，∴AB＝3，BC＝5，AC＝4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AM＝CM＝AC＝2，∴cot∠AFD＝；（2）解：∵CD∥AB，∴∠EDC＝∠FAD，∠CDF＝∠AFD，∵∠CED＝∠CDF，∴∠CED＝∠AFD，∴△CDE∽△DAF，∴，由題意，得AD＝BC＝5，DE＝x﹣5，DC＝AB＝3，AF＝3﹣y，∴，∴y＝﹣，定義域是：5＜x≤．（3）解：點(diǎn)F在射線AB上都能得到：△CDE∽△DAF，∴，①當(dāng)點(diǎn)F在邊AB上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝2，由題意，得S△DAF＝AF?AC，∵AC＝4，∴S△DAF＝×2×4＝4，∴，∴S△CDE＝，②當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝6，由題意，得S△DAF＝AF?AC，∴S△DAF＝AF?AC＝12，∴，∴S△CDE＝．綜上所述，△CDE的面積是或．題型二：菱形綜合1.（2022閔行一模25題）已知四邊形是菱形，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，且．（1）如圖，如果，求證：；

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如果，設(shè)，試建立與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍

（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【小問1詳解】解：證明：四邊形是菱形，，菱形是正方形，，，，，；【小問2詳解】解：如圖1，在上截取，四邊形是菱形，，，是正三角形，，，，，∵∠BAE=∠DAF，，，；【小問3詳解】如圖2，當(dāng)時(shí)，作于，以為圓心，為半徑畫弧交于，作于，，，，，，四邊形是菱形，，，，，①，，，，②，由①②得，，，如圖3，當(dāng)時(shí)，作于，以為圓心，為半徑畫弧交于，作于，作于，，，由得，，，，由第一種情形知：，，，，①，②，由①②得，，，，，即，綜上所述：或．2.（2020黃浦二模）在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G、H分別在邊AB、BC、CD上，且FG⊥EF，EH⊥EF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形EFGH是矩形；（2）如圖2，當(dāng)＝時(shí)，求值；（3）當(dāng)cos∠D＝，且四邊形EFGH是矩形時(shí)（點(diǎn)F不與AB中點(diǎn)重合），求AF的長(zhǎng)．【整體分析】（1）連接AC、BD，由菱形的性質(zhì)及三角形的中位線定理證得GF∥EH，GF＝EH，從而可知四邊形EFGH是平行四邊形，再由有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形得出結(jié)論；（2）連接EG，由菱形的性質(zhì)及FG∥EH可得∠BGF＝∠DEH，及∠B＝∠D，從而判定△BGF∽△DEH，結(jié)合＝及菱形的性質(zhì)可得答案；（3）如圖，過點(diǎn)G作GM⊥AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，根據(jù)cos∠D＝及菱形的邊長(zhǎng)可求得BM＝AN＝，MG＝NE＝．設(shè)AF＝x，則MF＝﹣x，當(dāng)四邊形EFGH是矩形時(shí)，∠GFE＝90°，則△GMF與△FNE相似（三垂直模型），分兩種情況列式計(jì)算即可：①△GMF∽△FNE，②△GMF∽△ENF．滿分解答：（1）連接AC、BD，∵菱形ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)，∴AF＝AE＝AB，EF∥BD，∵FG⊥EF，EH⊥EF．∴GF∥EH∥AC，∴GF＝HE＝AC，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵FG⊥EF，∴∠EFG＝90°，∴四邊形EFGH是矩形；（2）連接EG，∵菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠BGE＝∠DEG，∵FG∥EH，∴∠FGE＝∠HEG，∴∠BGF＝∠DEH，又∵菱形ABCD中，∠B＝∠D，∴△BGF∽△DEH，∴＝∵＝，∴BG＝BC，DE＝AD＝BC，∴＝＝；（3）如圖，過點(diǎn)G作GM⊥AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵四邊形EFGH是矩形，∴GF＝EH，∵由（2）可知，△BGF∽△DEH，∴此時(shí)△BGF≌△DEH，又∵菱形ABCD邊長(zhǎng)為2，∴BG＝DE＝1，∴BG＝CG＝1，∴cos∠B＝cos∠EAN＝cos∠D＝，∴BM＝AN＝，∴MG＝NE＝．設(shè)AF＝x，則MF＝2﹣﹣x＝﹣x，當(dāng)四邊形EFGH是矩形時(shí)，∠GFE＝90°，則△GMF與△FNE相似（三垂直模型）．①若△GMF∽△FNE，則＝，∴＝，解得x1＝，x2＝1（點(diǎn)F不與AB中點(diǎn)重合，舍去）；②若△GMF∽△ENF，則＝，∴＝1，解得x＝．綜上，AF的長(zhǎng)為或．3.【2021松江二?！咳鐖D，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交邊AC于點(diǎn)D，E是BC邊上一點(diǎn)，且BE＝BA，過點(diǎn)A作AG∥DE，分別交BD、BC于點(diǎn)F、G，聯(lián)結(jié)FE．（1）求證：四邊形AFED是菱形；（2）求證：AB2＝BG?BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，聯(lián)結(jié)AE，求的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）由題目條件可證得△ABF≌△EBF（SAS）及△ABD≌△EBD（SAS），進(jìn)而可推出AF＝FE＝ED＝DA，可得出四邊形AFED是菱形．（2）根據(jù)條件可證得△ABG∽△CBA，即可證明結(jié)論．（3）由條件可得△DAE∽△ABC，由相似比可得，由BE2＝EC?BC，得到點(diǎn)E是BC的黃金分割點(diǎn)，可得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵BA＝BE，BF＝BF，∴△ABF≌△EBF（SAS），∴AF＝EF，同理可得△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB，∵AG∥DE，∴∠AFD＝∠EDF，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∴AF＝FE＝ED＝DA，∴四邊形AFED菱形．（2）證明：由（1）得：△ABF≌△EBF，∴∠BAG＝∠BEF，∵四邊形AFED是菱形，∴AD∥FE，∴∠BEF＝∠C，∴∠BAG＝∠C，∵∠ABG＝∠CBA，∴△ABG∽△CBA，∴，即AB2＝BG?BC．（3）解：如圖，∵AB＝AC，∴∠ABG＝∠C，∵∠BAG＝∠C，∴∠ABG＝∠BAG，∵∠AGC＝∠ABG＋∠BAG，∴∠AGC＝2∠BAG，∵BG＝CE，∴BE＝CG，∴CG＝CA，∴∠CAG＝∠CGA，∵∠CAG＝2∠DAE，∴∠DAE＝∠ABC，∴∠DEA＝∠ACB，∴△DAE∽△ABC，∴，∵AB2＝BG?BC，AB＝BE，∴BE2＝EC?BC，∴點(diǎn)E是BC黃金分割點(diǎn)，∴，∴，∵∠EAC＝∠C，∴CE＝AE，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定及黃金分割點(diǎn)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解題的關(guān)鍵．4.（2020浦東二模）已知：如圖，在菱形中，，．點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），，與邊相交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交對(duì)角線于點(diǎn)．設(shè)，．（1）求證：是等邊三角形；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；（3）點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求的值．【整體分析】（1）首先由△ABC是等邊三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°，然后利由∠BAC=∠EAF=60°，可證明∠BAE=∠CAF，從而可證得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，證得△AEF是等邊三角形；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，先用含x的代數(shù)式表示出HM，然后證明△EGH∽△FGM，得出，從而可用含x的代數(shù)式表示出HG，最后在Rt△EHG中，利用勾股定理可得出x，y之間的關(guān)系；（3）先用含x的代數(shù)式表示出CG的長(zhǎng)，然后證明△COE∽△CGF，得出，從而可得出關(guān)于x的方程，解出x的值即可．【滿分解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，

∴AB=AC，∠B=∠ACF=60°，

∵∠BAC=∠EAF=60°，

∴∠BAE=∠CAF，

∴△BAE≌△CAF（ASA），

∴AE=AF，又∠EAF=60°，∴△AEF為等邊三角形．（2）解：過點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，∵∠ECH=60°，∴CH=，EH=x，∵∠FCM=60°，由（1）知，CF=BE=2-x，∴CM=（2-x），F(xiàn)M=（2-x），∴HM=CH-CM=-（2-x）=x-1．∵∠EHG=∠FMG=90°，∠EGH=∠FGM，∴△EGH∽△FGM，∴，∴，∴，∴HG=．在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，∴y2=（x）2+[]2，∴y2=，∴y=（舍去負(fù)值），故y關(guān)于x的解析式為y=（0＜x＜2）．（3）解：如圖，∵O為AC的中點(diǎn)，∴CO=AC=1．∵EO=EG，EH⊥OC，∴OH=GH，∠EOG=∠EGO，∴∠CGF=∠EOG．∵∠ECG=60°，EC=x，∴CH=，∴OH=GH=OC-CH=1-，∴OG=2OH=2-x，∴CG=OC-OG=x-1．∵∠CGF=∠EOC，∠ECO=∠GCF=60°，∴△COE∽△CGF，∴，∴，整理得x2=2，∴x=（舍去負(fù)值），經(jīng)檢驗(yàn)x是原方程的解．故x的值為．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．準(zhǔn)確作出輔助線，綜合運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型三：正方形綜合1.（2022崇明一模25題）已知：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，在射線AB上取一點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)DE，將ADE繞點(diǎn)D針旋轉(zhuǎn)90°，E點(diǎn)落在點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)EF，與對(duì)角線BD所在的直線交于點(diǎn)M，與射線DC交于點(diǎn)N．求證：（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，如果，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）聯(lián)結(jié)AM，直線AM與直線BC交于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求AE的值．【小問1詳解】解：過點(diǎn)E作EH⊥BD與H，∵正方形的邊長(zhǎng)為1，，∴EB=1-，∵BD為正方形對(duì)角線，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°，∵EH⊥BD，∴∠BEH=180°-∠EBH-∠EHB=180°-45°-90°=45°，∴EH=BH，∴EH=BH=BEsin45=，AB=BDcos45°，∴，∴DH=DB-BH=，；【小問2詳解】解：如上圖，∵AE=x，∴BE=1-x，∵將△ADE繞點(diǎn)D針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCF，∴CF=AE=x，ED=FD=,∴BF=BC+CF=1+x，在Rt△EBF中EF=，∵∠EDF=90°，ED=FD，∴△DEF為等腰直角三角形，∴∠DFE=∠DEF=45°，∴∠EBM=∠MFD=45°，∵∠EMB=∠DMF，∴△BEM∽△FDM，∴，即，∵∠DEM=∠FBM=45°，∠EMD=∠BMF，∴△EMD∽△BMF，∴，即，∴，∴，∴即，∴，0≤x≤1；【小問3詳解】解：當(dāng)點(diǎn)GBC上，，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BG，∴∠DAM=∠BGM，∠ADM=∠GBM，∴△BGM∽△DAM，∴，∵由（2）知△BEM∽△FDM，∴，∵DB=，∴，∴，∴，∵，∴即，解，舍去；當(dāng)點(diǎn)G在CB延長(zhǎng)線上，，過M作ML⊥BC，交直線BC于L，∵GB∥AD，∴∴∠DAM=∠BGM，∠ADM=∠GBM，∴△BGM∽△DAM，∴，∴，∴，∵∠LBM=∠CBD=45°，ML⊥BC，∴△MLB為等腰直角三角形，∵M(jìn)L∥CD，∴∠LMB=∠CDB，∠L=∠DCB，∴△MLB∽△DCB，∴，CD=1，∴ML=∵M(jìn)L∥BE，∴∠L=∠FBE，∠LMF=∠BEF，∴△LMF∽△BEF，∴，∵BE=AE-AB=x-1，LF=LB+BC+CF=，BF=BC+CF=1+x，∴，整理得：，解得，舍去，∴AE的值為或．2.（2022寶山一模25）如圖，已知正方形ABCD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到AP的位置，分別過點(diǎn)作，垂足分別為點(diǎn)、．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，如果，求的正切值；（3）聯(lián)結(jié)，如果，求的值．【小問1詳解】：如圖所示，作CG⊥CE，交FD延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，∵CE⊥BP，DF⊥BP，CG⊥CE，∴∠EFG=∠FEC=∠ECG=∠BEC=90°，∴四邊形FECG為矩形，∠G=90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD=90°，BC=DC，∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECG=∠ECD+∠DCG，∴∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCG，即：∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，∴△BCE≌△DCG(AAS)，∴CE=CG，∴四邊形FECG為正方形，∴CE=EF；

【小問2詳解】解：如圖所示，連接CF，由（1）知，CE=EF，CE⊥EF，則△CEF為等腰直角三角形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠PAD=n°，AP=AD，∴∠PAB=90°+n°，∠APD=（180°-∠PAD）=90°-n°，∵AP=AB，∴∠APB=（180°-∠PAB）=45°-n°，∴∠FPD=∠APD-∠APB=45°，∵DF⊥AB，∴∠DFP=90°，∴△DFP也為等腰直角三角形，PF=DF，∴△DFP∽△CEF，∵，∴，設(shè)PF=DF=x，則FE=CE=3x，由（1）知四邊形CEFG為正方形，∴FG=FE=3x，∴DG=FG-DF=2x，∵△BCE≌△DCG，∴BE=DG=2x，∴在Rt△BEC中，，∵∠ABP+∠EBC=90°，∠EBC+∠BCE=90°，∴∠ABP=∠BCE，∴；【小問3詳解】解：∵，∴如圖所示，連接AF和對(duì)角線AC，由（2）可知，∠EFC=45°，∠EFD=90°，∴∠CFD=45°，∵AC為正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠CAD=45°，AC=AB，∴∠CAD=∠CFD，∴點(diǎn)A、C、D、F四點(diǎn)共圓，∴∠AFC=∠ADC=90°，∵AF=AB，∴AF=AC，則在Rt△AFC中，，∵∠ACF為銳角，∴∠ACF=30°，∠FAC=90°-30°=60°，∵∠CAD=45°，∴∠FAD=60°-45°=15°，∵AP=AD，AF=AF，PF=DF，∴△AFP≌△AFD，∴∠FAD=∠FAP=15°，∴∠PAD=30°，∴n=30．3.【2021年崇明二?！浚?4分）如圖，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作射線AM⊥AC，點(diǎn)E是射線AM上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OE交AB邊于點(diǎn)F．以O(shè)E為一邊，作正方形OEGH，且點(diǎn)A在正方形OEGH的內(nèi)部，聯(lián)結(jié)DH．（1）求證：△HDO≌△EAO；（2）設(shè)BF＝x，正方形OEGH的邊長(zhǎng)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）聯(lián)結(jié)AG，當(dāng)△AEG是等腰三角形時(shí)，求BF的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，AO＝OD，∵四邊形OEGH是正方形，∴∠EOH＝90°，OE＝OH，∴∠AOE＝∠DOH，∴△HDO≌△EAO（SAS）；（2）如圖1，過O作ON⊥AB于N，則AN＝BN＝ON＝AB＝2，∵BF＝x，∴AF＝4﹣x，∴FN＝2﹣x，∴OF＝＝＝，∴EF＝y(tǒng)﹣，∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴，∴＝，∴；（3）①當(dāng)AE＝EG時(shí)，△AEG是等腰三角形，則AE＝OE，∵∠EAO＝90°，∴這種情況不存在；②當(dāng)AE＝AG時(shí)，△AEG是等腰三角形，如圖2，過A作AP⊥EG于P，則AP∥OE，∴∠PAE＝∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴＝，∵AE＝AG，∴PE＝y(tǒng)＝，AE＝＝，∴＝，解得：x＝2，②當(dāng)GE＝AG時(shí)，△AEG是等腰三角形，如圖3，過G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE＝∠EAO＝90°，∴∠GEQ+∠EGQ＝∠GEQ+∠AEO＝90°，∴∠EGQ＝∠AEO，∵GE＝OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴EQ＝AO＝2，∴AE＝2EQ＝4＝，∴x＝，∴BF＝2或．題型四：矩形綜合1．（2022松江區(qū)一模）如圖，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，E是邊DC上一點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AD′E′，使得點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'落在AE上，如果D′E′的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過點(diǎn)B，那么DE的長(zhǎng)度等于．【分析】如圖，連接BE、BE′，根據(jù)矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得：AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，利用勾股定理可得BD′＝4，再運(yùn)用面積法可得：AB?AD＝AE?BD′，求出AE＝，再運(yùn)用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如圖，連接BE、BE′，∵矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，∴∠D＝90°，由旋轉(zhuǎn)知，△AD′E′≌△ADE，∴AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，∵D′E′的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過點(diǎn)B，∴∠AD′B＝90°，在Rt△ABD′中，BD′＝＝＝4，∵AB?AD＝AE?BD′，∴AE＝＝＝，在Rt△ADE中，DE＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等，解題關(guān)鍵是運(yùn)用面積法求得AE．2.【2021閔行二?！浚?4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P在邊BC上（點(diǎn)P與端點(diǎn)B、C不重合），以P為圓心，PB為半徑作圓，圓P與射線BD的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E，直線CE與射線AD交于點(diǎn)G．點(diǎn)M為線段BE的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PM．設(shè)BP＝x，BM＝y(tǒng)．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域；（2）聯(lián)結(jié)AP，當(dāng)AP∥CE時(shí)，求x的值；（3）如果射線EC與圓P的另一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)F，當(dāng)△CPF為直角三角形時(shí)，求△CPF的面積．【分析】（1）先由垂徑定理證明PM⊥BE，得出△BMP與△BCD相似，利用△BCD三邊之間的特殊比值求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)AP∥CE時(shí)，則DG＝BP＝x，再用△DGE與△BCE相似，列出方程，求得結(jié)果；（3）△CPF為直角三角形分兩種情況，第一種是點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，第二種是PF⊥BC，利用∠EPC的正切值為這一隱含條件，即可求解．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，∴BD＝＝6，∵M(jìn)為弦BE的中點(diǎn)，P為圓心，∴PM⊥BE，∠BMP＝90°，∵AD∥BC，∴∠PBM＝∠DBC，∴＝＝cos∠DBC，∴＝，∴y＝x，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)A重合時(shí)，則點(diǎn)E為BD中點(diǎn)BD＝，由x＝，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式y(tǒng)＝x（；（2）如圖1，當(dāng)AP∥CE時(shí)，AG＝PC，∴DG＝BP＝x．由BM＝x，得BE＝x﹣x∵DG∥BC∴△DGE∽△BCE，∴＝＝＝；∴＝，整理，得x2+4x﹣40＝0，解得x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2（不符合題意∴x＝﹣4+3．（3）如圖2，若∠PFC＝90°，不符合題意；如圖3，當(dāng)∠PCF＝90°時(shí)，此時(shí)y＝＝5，由x＝2，∴PC＝8﹣5＝5，CF＝CD＝4，∴S△CPF＝×3×4＝2；如圖4，當(dāng)∠CPF＝90°時(shí)，在BC邊上取一點(diǎn)H，連接DH，由圖3得，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，此時(shí)，DH＝5，∴CH：CD：DH＝3：4：2，∵∠EPQ＝∠DHC＝2∠DBC，∠Q＝∠DCH＝90°，∴△EPQ∽△DHC，∴PQ：EQ：PE＝3：5：5，∵PE＝BP＝PF＝x，∴EQ＝x，PQ＝x∵PF∥EQ，∴△CPF∽△CQE，∴＝＝＝，∴PC＝PQ＝×x，∴4﹣x＝x，解得x＝5，∴PC＝8﹣6＝2，PF＝6，∴S△CPF＝×2×6＝2．綜上所述，△CPF的面積為6．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查垂徑定理與相似三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，涉及點(diǎn)和圖形的運(yùn)動(dòng)，要求在不同的位置上畫出相應(yīng)的圖形，進(jìn)行分類討論，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線并利用相似比找出數(shù)量之間的關(guān)系．此題綜合性強(qiáng)，難度較大．題型五：梯形綜合1.（2022青浦一模25題）在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝，AD＝2，DC＝，tan∠ABC＝2（如圖）．點(diǎn)E是射線AD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE、EF，且∠BEF＝∠DCB．（1）求線段BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)FB＝FE時(shí)，求線段BF的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)DE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)A、D分別作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分別為點(diǎn)H、點(diǎn)G．∴AH∥DG，∵AD∥BC，∴四邊形AHGD是矩形，∴AD＝HG＝2，AH＝DG，在Rt△ABH中，tan∠ABC＝2，AB＝，∴＝2，∴AH＝2BH，∵AH2+BH2＝AB2，∴（2BH）2+BH2＝（）2，∴BH＝1，∴AH＝2，∴DG＝2，在Rt△DGC中，DC＝，∴CG＝＝＝4，∴BC＝BH+HG+GC＝1+2+4＝7；（2）如圖1，過點(diǎn)E作EM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，∴AH∥EM，∵AD∥BC，∴四邊形AHME是矩形，∴EM＝AH＝2，在Rt△DGC中，DG＝2，CG＝4，∴tan∠DCB＝＝，∵FB＝FE，∴∠FEB＝∠FBE．∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FBE＝∠DCB，∴tan∠FBE＝．∴＝，∴BM＝4，在Rt△EFM中，F(xiàn)M2+EM2＝FE2，∴（4﹣FB）2+22＝FB2，∴BF＝；（3）如圖2，過點(diǎn)E作EN∥DC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．∵DE∥CN，∴四邊形DCNE是平行四邊形，∴DE＝CN，∠DCB＝∠ENB，∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FEB＝∠ENB，又∵∠EBF＝∠NBE，∴△BEF∽△BNE，∴＝，∴BE2＝BF?BN，過點(diǎn)E作EQ⊥BC，垂足為點(diǎn)Q，則四邊形DGQE是矩形，∴EQ＝DG＝2，∴BQ＝x+3．∴BE2＝QE2+BQ2＝（x+3）2+22＝x2+6x+13，∴y（7+x）＝x2+6x+13．∴．2.（2020松江二模）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD<BC，AB=BC=1，E是邊AB上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE.（1）如果CE=CD，求證：AD=AE；（2）聯(lián)結(jié)DE，如果存在點(diǎn)E，使得△ADE、△BCE和△CDE兩兩相似，求AD的長(zhǎng)；（3）設(shè)點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為M，點(diǎn)D關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)為N，如果AD=，且M在直線AD上時(shí)，求的值.（第25題圖）（第25題圖）ABCDE（備用圖1）ABCDABCD（備用圖2）解（1）過C點(diǎn)作AD垂線,垂足為F………………1分∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC∴四邊形ABCF是正方形,∴AB=BC=CF=FA又∵CE=CD,∴△CBE≌△CFD…………1分∴BE=FD…………………1分∴AD=AE…………………1分（2）∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6如圖所示，①若∠EDC=90°時(shí)，若△ADE、△BCE和△CDE兩兩相似那么∠4=∠5=∠6=60°,∠1=∠2=∠3=30°…1分在△CBE中，∵BC=1,∴,AABCDE564213∵AB=1,∴……………1分此時(shí)△CDE與△ADE、△BCE不相似②若∠5=90°時(shí),116ABCDE5243∵∠1+∠A=∠4+∠5,∠5=∠A=90°∴∠1=∠4,∴△ADE∽△BEC∴∠6=∠3若△CDE與△ADE相似∵AB與CD不平行,∴∠6與∠EDC不相等∴∠6=∠2=∠3………………………1分∴若△CDE與△ADE、△BCE相似那么,∴AE=BE,∵AB=1，∴AE=BE=……………1分∴AD=………………1分（3）令EM交CD于Q,DN交CE于P,∵E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為M，點(diǎn)D關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)為N，在△CDP與△CEQ中,∵∠CPD=∠CQE=90°,∠PCD=∠QCENNMABCDEFQP∴△CDP∽△CEQ……………1分∴…………………1分∵AD∥BC，AB⊥BC,AB=BC=1，∴………………1分∵CD垂直平分EM,∴DE=DM,CE=CM又∵CB=CF,∠CBE=∠CFM=90°,∴△CBE≌△CFM∴BE=FM,設(shè)BE=x，則FM=x，∵ED=DM,∴解得，∴……1分∴∵DN=2DP,EM=2EQ∴…1分3.（2020徐匯二模）.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5，，點(diǎn)O是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)B為半徑的與射線BA和邊BC分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)AM，作∠CMN=∠BAM，射線MN與邊AD、射線CD分別交于點(diǎn)F、N．（1）當(dāng)點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求DF的長(zhǎng)；（2）分別聯(lián)結(jié)AN、MD，當(dāng)AN//MD時(shí)，求MN的長(zhǎng)；（3）將繞著點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到，如果以點(diǎn)N為圓心的與都內(nèi)切，求的半徑長(zhǎng)．【整體分析】（1）作于，根據(jù)中位線定理得出四邊形是平行四邊形，從而利用解直角三角形即可求算半徑，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求即可；（2）先證，再證，從而證明，得到，再通過平行證明，從而得到，通過兩式相乘得出再根據(jù)平行得出，從而得出答案．（3）通過圖形得出垂直平分,從而得出，再利用解三角函數(shù)即可得出答案．【滿分解答】（1）如圖，作于：∵為中點(diǎn)，∴∴∴∴設(shè)半徑為，在中：解得：∵分別為中點(diǎn)∴又∵∴∴∴四邊形是平行四邊形∴∴（2）如圖：連接∵∴又∵∴又∵∴∴①又∵∴∴②由①②得;∴∴故MN的長(zhǎng)為5；（3）作如圖：∵圓與圓外切且均與圓內(nèi)切設(shè)圓半徑為，圓半徑為∴∴在的中垂線上∴垂直平分∴∵∴點(diǎn)在圓上∴解得：⊙O的半徑長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題是一道圓的綜合題目，難度較大，掌握相似之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化以及相關(guān)線段角度的關(guān)系轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．4.（2020虹口二模）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝，DC＝5，BC＝6，以點(diǎn)B為圓心，BD為半徑作圓弧，分別交邊CD、BC于點(diǎn)E、F．（1）求sin∠BDC的值；（2）聯(lián)結(jié)BE，設(shè)點(diǎn)G為射線DB上一動(dòng)點(diǎn)，如果△ADG相似于△BEC，求DG的長(zhǎng)；（3）如圖2，點(diǎn)P、Q分別為邊AD、BC上動(dòng)點(diǎn)，將扇形DBF沿著直線PQ折疊，折疊后的弧D'F'經(jīng)過點(diǎn)B與AB上的一點(diǎn)H（點(diǎn)D、F分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'，F(xiàn)'），設(shè)BH＝x，BQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫定義域）．【分析】（1）如圖1中，連接BE，過點(diǎn)D作DK⊥BC于K，過點(diǎn)B作BJ⊥CD于J．想辦法求出BJ，BD即可解決問題．（2）分兩種情形分別求解：①當(dāng)△ADG∽△BCE時(shí)．②當(dāng)△ADG∽△ECB時(shí)，分別利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．（3）如圖3中，過點(diǎn)B作BJ⊥PQ交于J，連接BJ，JH，JQ，過點(diǎn)J作JG⊥BH于G，過點(diǎn)Q作QK⊥JH于K．由題意BQ＝QJ＝y(tǒng)，求出QK，KJ，在Rt△QKJ中，利用勾股定理即可解決問題．解：（1）如圖1中，連接BE，過點(diǎn)D作DK⊥BC于K，過點(diǎn)B作BJ⊥CD于J．在Rt△CDK中，∵∠DKC＝90°，CD＝5，cos∠C＝＝，∴CK＝3，∵BC＝6，∴BK＝CK＝3，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝90°∵DK⊥BC，∴∠A＝∠ABC＝∠DKB＝90°，∴四邊形ABKD是矩形，∴AD＝BK＝3，∴DB＝DC＝5，DK＝＝＝4，∵S△DCB＝?BC?DK＝?CD?BJ，∴BJ＝，∴DJ＝＝＝，∵BD＝BE，BJ⊥DE，∴DJ＝JE＝，∴EC＝CD﹣DJ＝JE＝5﹣＝，∴sin∠BDC＝＝＝．（2）如圖2中，∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠DBC，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADG＝∠C，∵△ADG相似△BEC，∴有兩種情形：當(dāng)△ADG∽△BCE時(shí)，∴＝，∴＝，∴DG＝，當(dāng)△ADG∽△ECB時(shí)，＝，＝，∴DG＝．（3）如圖3中，過點(diǎn)B作BJ⊥PQ交于J，連接BJ，JH，JQ，過點(diǎn)J作JG⊥BH于G，過點(diǎn)Q作QK⊥JH于K．由題意：QB＝QJ＝y(tǒng)，BJ＝BD＝5，∵JB＝JH，JG⊥BH，∴BG＝GH＝x，∴JG＝＝，∵∠GBQ＝∠BGK＝∠QKG＝90°，∴四邊形BGKQ是矩形，∴BQ＝GK＝y(tǒng)，QK＝GB＝x，在Rt△QKJ中，∵JQ2＝QK2+KJ2，∴y2＝x2+（﹣y）2，∴y＝．5.【2021普陀二?！浚?4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，CD＝5，cosC＝（如圖）．M是邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以點(diǎn)M為圓心，CM為半徑作圓，⊙M與射線CD、射線MA分別相交于點(diǎn)E、F．（1）設(shè)CE＝，求證：四邊形AMCD是平行四邊形；（2）聯(lián)結(jié)EM，設(shè)∠FMB＝∠EMC，求CE的長(zhǎng)；（3）以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑作圓，⊙D與⊙M的公共弦恰好經(jīng)過梯形的一個(gè)頂點(diǎn)，求此時(shí)⊙M的半徑長(zhǎng)．【分析】（1）如圖1中，連接EM，過點(diǎn)M作MG⊥CD于G，則EG＝CG＝，通過計(jì)算證明AD＝CM，可得結(jié)論．（2）如圖2中，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，過點(diǎn)M作MT⊥EC于T．由cosC＝＝，設(shè)EC＝6k，則CT＝ET＝3k，MC＝ME＝5k，在Rt△CEH中，EH＝CE＝k，CH＝EC＝k，想辦法構(gòu)建方程，求解即可．（3）分兩種情形：如圖3﹣1中，當(dāng)公共弦經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)D作DP⊥BC于P，則四邊形ABPD是矩形．如圖3﹣2中，當(dāng)公共弦經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，連接MD，MP，過點(diǎn)M作MN⊥AD于N．分別求解即可．【解答】（1）證明：如圖1中，連接EM，過點(diǎn)M作MG⊥CD于G，則EG＝CG＝，在Rt△CGM中，CM＝＝＝3，∴AD＝CM，∵AD∥CM，∴四邊形AMCD是平行四邊形．（2）解：如圖2中，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，過點(diǎn)M作MT⊥EC于T．∵M(jìn)E＝MC，MT⊥EC，∴CT＝ET，∴cosC＝＝，設(shè)EC＝6k，則CT＝ET＝3k，MC＝ME＝5k，在Rt△CEH中，EH＝CE＝k，CH＝EC＝k，∴MH＝CM﹣CH＝k，∴tan∠EMH＝，∵∠FMB＝∠EMC，∴tan∠FMB＝＝＝，∴BM＝，∴CM＝BC﹣BM＝＝5k，∴CE＝6k＝．（3）如圖3﹣1中，當(dāng)公共弦經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)D作DP⊥BC于P，則四邊形ABPD是矩形．∴AD＝BP＝3，在Rt△CDP中，cosC＝＝，∵CD＝5，∴PC＝3，AB＝PD＝4，∴BC＝3+3＝6，設(shè)CM＝AM＝x，在Rt△ABM中，則有x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝，∴⊙M的半徑為．如圖3﹣2中，當(dāng)公共弦經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，連接MD，MP，過點(diǎn)M作MN⊥AD于N．設(shè)CM＝ME＝MP＝x，則DN＝x﹣3，∵DM2＝MN2+DN2＝MP2﹣DP2，∴42+（x﹣3）2＝x2﹣32，∴x＝，綜上所述，滿足條件的⊙M的半徑為或．【真題訓(xùn)練】1.（2021年上海中考真題25）.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=CD，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BO并延長(zhǎng)交邊CD或邊AD于點(diǎn)E.(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上，①求證：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值;(2)若DE=2，OE=3，求CD的長(zhǎng).【考點(diǎn)】相似形綜合題【解答】解：①如圖2，∵AC=CD∴∠1=∠2∵AC∥BC∴∠1=∠