專題05圓及計算綜合考點01圓相關(guān)小題1．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點，的半徑為2．若，則的長為（

）

A．2 B． C． D．【答案】D【分析】連接，圓周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位線定理，即可求出的長．【詳解】解：連接，

∵的半徑為2．，∴，∴，∵D，G分別為的中點，∴為的中位線，∴．故選D．【點睛】本題考查圓周角定理和三角形的中位線定理．熟練掌握相關(guān)定理，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，A，B，C是上的三點，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用圓周角定理求出，然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，點A，B，C在上，，連接，．若的半徑為3，則扇形（陰影部分）的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用圓周角定理求出的度數(shù)，然后利用扇形面積公式求解即可．【詳解】解：∵，∴，又的半徑為3，∴扇形（陰影部分）的面積為．故選：D．【點睛】本題考查的是圓周角定理，扇形面積公式等，掌握“同弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半”是解題的關(guān)鍵．4．（2023·遼寧沈陽·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，的半徑為，，則的長是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，由圓周角定理得到，根據(jù)弧長的公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：四邊形內(nèi)接于，，，，的長．故選：．【點睛】本題考查的是弧長的計算，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．5．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖所示，是的直徑，弦交于點E，連接，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，連接，先由同弧所對的圓周角相等得到，再由直徑所對的圓周角是直角得到，則．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，故選D．

【點睛】本題主要考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，正確求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．考點02圓的綜合--求弧長6．（2025·遼寧·中考真題）如圖，在中，，以為直徑作，與相交于點．連接，與相交于點．(1)如圖1，連接，求的度數(shù)；(2)如圖2，若點為的中點，且，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，弧長公式等知識點，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．（1）連接，先證明，得到，由等腰三角形性質(zhì)得到，設(shè)，在四邊形中，由四邊形內(nèi)角和等于計算即可；（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)先證明為等邊三角形，則可求度數(shù)，再由弧長公式即可求解．【詳解】（1）解：連接，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，設(shè)，在四邊形中，∵∴，∴；（2）解：連接，∵，為中點，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴的長為：．7．（2024·遼寧·中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，點在上，，在的延長線上，．(1)如圖1，求證：是的切線；(2)如圖2，若，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）連接，則，故，由，得到，而，則，由，得，因此，故，則是的切線；（2）連接，可得，則，故，由，得，那么長為．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∴，∵，∴，∵為直徑，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴是的切線；（2）解：連接，由（1）得，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴長為：．【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，弧長公式等，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．8．（2023·遼寧·中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，平分交于點E，過點E作，交的延長線于點F．

(1)求證：與相切；(2)若，，過點E作于點M，交于點G，交于點N，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由是的直徑可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)圓周角定理可得，進(jìn)而可證，，即可證明與相切；（2）連接，，先證是等邊三角形，推出，再根據(jù)圓周角定理證明，進(jìn)而可得，再根據(jù)弧長公式即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

是的直徑，，平分交于點E，，，，，，是的半徑，與相切；（2）解：如圖，連接，，

，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，是的直徑，，．即的長為．【點睛】本題考查切線的判定，圓周角定理，弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)等，熟練應(yīng)用圓周角定理是解題的關(guān)鍵．考點03圓的綜合--求陰影面積9．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，是的直徑，點C，D是上異側(cè)的兩點，，交的延長線于點E，且平分．

(1)求證：是的切線．(2)若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)，得出．根據(jù)平分，得出，則．根據(jù)得出，進(jìn)而得出，即可求證；（3）連接，過點O作于點F，通過證明為等邊三角形，得出，．求出．最后根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：連接，∵，∴．∵平分，∴，∴．∵，∴，∴，即，∴是的切線．（2）解：連接，過點O作于點F，∵，∴．∵，，∴為等邊三角形，∴，．∵，，，∴．∴．

【點睛】本題主要考查了切線的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，求扇形面積，解題的關(guān)鍵是掌握經(jīng)過半徑外端切垂直于半徑的直線是圓的切線；扇形面積公式．考點04圓的綜合--切線證明與三角函數(shù)值10．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，已知是的直徑，是的弦，點P是外的一點，，垂足為點C，與相交于點E，連接，且，延長交的延長線于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，得出，進(jìn)而得出，易得，根據(jù)，得出，則，即可求證是的切線；（2）易得，則，根據(jù)，求出，，則，根據(jù)勾股定理求出，，進(jìn)而求出，最后根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，則，∴，即，∴是的切線；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵是的切線，∴，則，∴，∴，根據(jù)勾股定理可得：，，∴，∴，∴根據(jù)勾股定理可得：．【點睛】本題主要考查了切線的判定，解題直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及解直角三角形的方法和步驟．11．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，延長到點G，使得，連接，過點C作，交于點F，交點于點D，過點D作．交的延長線于點E．

(1)求證：與相切．(2)若，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）連接，結(jié)合圓周角定理，根據(jù)，可得，再根據(jù)平行的性質(zhì)，即有，進(jìn)而可得，問題隨之得證；（2）過C點作于點K，先證明四邊形是平行四邊形，即有，求出，即有，利用三角形函數(shù)有，同理，即可得，，進(jìn)而有，再證明，可得，即可得，在中，有，問題隨之得解．【詳解】（1）連接，如圖，

∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴半徑，∴與相切；（2）過C點作于點K，如圖，

∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴在，，同理，∵在中，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴．【點睛】本題是一道綜合題，主要考查了圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)以及勾股定理等知識，掌握切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．12．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過點D作，交的延長線于點F，交的延長線于點E，連接．若．

(1)求證：為的切線．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為【分析】（1）連接，根據(jù)同角的補角相等，得到，等角的余角相等，得到，等邊對等角，得到，推出，得到，即可得證；（2）連接，推出，利用銳角三角函數(shù)求出的長，設(shè)的半徑為，證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵，，∴，∵為的直徑，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即：，又為的半徑，∴為的切線；（2）連接，則：，

∵為的直徑，∴，∴，∴，在中，，，∴，設(shè)的半徑為，則：，∵，∴，∴，即：，∴；∴的半徑為．【點睛】本題考查圓與三角形的綜合應(yīng)用，重點考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)．題目的綜合性較強，熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．13．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，為的直徑，點C在上，與相切于點A，與延長線交于點B，過點B作，交的延長線于點D．

(1)求證：；(2)點F為上一點，連接，，與交于點G．若，，，求的半徑及的長．【答案】(1)見解析(2)的半徑為；【分析】（1）根據(jù)與相切于點A得到，再根據(jù)得到，再根據(jù)得到即可根據(jù)角的關(guān)系解答；（2）連接，過點D作，交延長線于點M，在等多個直角三角形中運用三角函數(shù)的定義求出半徑，再根據(jù)勾股定理求出，即可解答．【詳解】（1）證明：如圖，

∵為的直徑，與相切于點A，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）連接，過點D作，交延長線于點M，如圖，

在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)的半徑為r，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴設(shè)，，在中，，∵，，∴，解得，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查了圓與三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓、三角形的線段、角度關(guān)系并運用數(shù)學(xué)結(jié)合思想．14．（2023·遼寧沈陽·中考真題）如圖，是的直徑，點是上的一點（點不與點，重合），連接、，點是上的一點，，交的延長線于點，且．

(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為，，則的長為______．【答案】(1)證明見解析(2)8【分析】(1)利用圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)定理，對頂角相等，三角形的內(nèi)角和定理和圓的切線的判定定理解答即可得出結(jié)論；(2)利用直角三角形的邊角關(guān)系定理得到設(shè),則,利用x的代數(shù)式表示出線段，再利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：是的直徑，，，，，，，，，，，即．為的直徑，是的切線；（2）解：，，，設(shè)，則，，，，，是的直徑，，，，解得：不合題意，舍去或．．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，圓的切線的判定定理，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.15．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，在中，，以為直徑作與交于點D，過點D作，交延長線于點F，垂足為點E．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）連接，，根據(jù)圓周角定理證明，再根據(jù)“三線合一”證明平分，即有，進(jìn)而可得，根據(jù)，可得，問題得證；（2）先證明，，即有，在中結(jié)合勾股定理，可求出，即同理在中，可得，進(jìn)而有，，即，證明，即有，即，問題即可得解．【詳解】（1）連接，，∵為的直徑，∴，∴，∵在中，，∴平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴半徑，∴為的切線；（2）∵在中，，∴，在（1）中，，，∴，∵，∴，∵在中，，，∴，∴，解得：（負(fù)值舍去），即同理在中，可得，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，即，∴，解得：（經(jīng)檢驗，符合題意），即．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握切線的判定以及三角函數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．16．（2023·遼寧·中考真題）如圖，是的直徑，點在上，，點在線段的延長線上，且．

(1)求證：EF與相切；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）利用圓周角定理得到，結(jié)合已知推出，再證明，推出，即可證明結(jié)論成立；（2）設(shè)半徑為x，則，在中，利用正弦函數(shù)求得半徑的長，再在中，解直角三角形即可求解．【詳解】（1）證明：連接，

∵，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵為半徑，∴EF與相切；（2）解：設(shè)半徑為x，則，∵，，∴，在中，，，∴，即，解得，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，∴半徑為4，則，在中，，，，∴，∴．【點睛】本題考查了圓的切線的判定、圓周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握圓的相關(guān)知識和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點05計算綜合17．（2025·遼寧·中考真題）計算：(1)；(2)．【答案】(1)4(2)【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）分別進(jìn)行乘方、乘法運算，以及求立方根和絕對值，再進(jìn)行加減計算；（2）先將除法化為乘法，再進(jìn)行分式的減法計算．【詳解】（1）解：；（2）解：．18．（2024·遼寧·中考真題）（1）計算：；（2）計算：．【答案】（1）；（2）1【分析】本題考查了實數(shù)的運算，分式的化簡，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）先化簡二次根式，去絕對值，再進(jìn)行加減運算；（2）先計算乘法，再計算加法即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．19．（2023·遼寧丹東·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】，1【分析】先將分子分母因式分解，除法改寫為乘法，括號里面通分計算，再根據(jù)分式混合運算的運算法則和運算順序進(jìn)行化簡，根據(jù)負(fù)整數(shù)冪和0次冪的運算法則，求出x的值，最后將x的值代入計算即可．【詳解】解：，∵，∴原式．【點睛】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合運算法則，以及負(fù)整數(shù)冪和0次冪的運算法則是解題的關(guān)鍵．20．（2023·遼寧盤錦·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】【分析】先將括號內(nèi)的部分通分，再將分式分子、分母因式分解并化簡，再計算出x的值后，將代入即可求解．【詳解】解：原式，，，，當(dāng)時，原式，．【點睛】本題考查了分式的化簡求值及實數(shù)的混合計算，熟悉通分、約分和分母有理化是解題的關(guān)鍵．21．（2023·遼寧鞍山·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后將字母的值代入求解．【詳解】解：當(dāng)時，原式【點睛】本題考查了分式化簡求值，解題關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則進(jìn)行求解．22．（2023·遼寧阜新·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先將分子分母因式分解，除法改寫為乘法，括號里面通分計算，再根據(jù)分式混合運算的運算法則和運算順序進(jìn)行化簡，最后將a的值代入計算即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握因式分解的方法，以及分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．23．（2023·遼寧錦州·中考真題）化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先把括號里的式子通分相減，然后把除數(shù)的分子、分母分解因式，再把除數(shù)分子分母