二元一次方程與二元一次方程組一、課題名稱二元一次方程與二元一次方程組二、授課年級(jí)高中一年級(jí)上學(xué)期三、課時(shí)安排2課時(shí)(每課時(shí)45分鐘)四、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：*使學(xué)生理解二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念，并能判斷一組數(shù)是否為某個(gè)二元一次方程組的解。*使學(xué)生掌握用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組，并能根據(jù)方程組的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)慕夥ā?初步體會(huì)“消元”思想，即把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解的化歸思想。*能運(yùn)用二元一次方程組解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題（后續(xù)專題可深化，本專題側(cè)重解法）。2.過程與方法：*通過類比一元一次方程的概念，引導(dǎo)學(xué)生自主探索二元一次方程及方程組的概念，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、歸納能力。*在探究解二元一次方程組的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解—檢驗(yàn)”的過程，體會(huì)“消元”策略的必要性和多樣性。*通過例題和練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力和解決問題的能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：*通過對(duì)二元一次方程組解法的探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性。*在解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生積極思考、勇于探索的精神，以及合作交流的意識(shí)。*體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，并應(yīng)用于生活，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。五、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：*二元一次方程（組）及其解的概念。*運(yùn)用代入消元法和加減消元法解二元一次方程組。2.教學(xué)難點(diǎn)：*理解“消元”思想，將二元轉(zhuǎn)化為一元。*靈活選擇合適的消元方法解二元一次方程組。*理解二元一次方程組解的三種情況（唯一解、無解、無窮多解）及其幾何意義。六、教學(xué)方法講授法、討論法、啟發(fā)式教學(xué)法、練習(xí)法。結(jié)合多媒體課件輔助教學(xué)，增強(qiáng)直觀性和互動(dòng)性。七、教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件（PPT）、板書、直尺、練習(xí)本。八、教學(xué)過程第一課時(shí)：二元一次方程（組）的概念與代入消元法(一)創(chuàng)設(shè)情境，引入新課(約5分鐘)教師活動(dòng)：*提出問題：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程，比如“某數(shù)的兩倍加上三等于七，求這個(gè)數(shù)”，我們可以設(shè)這個(gè)數(shù)為x，列出方程2x+3=7來求解。但如果問題稍微復(fù)雜一點(diǎn)，比如“現(xiàn)有面值為拾元和伍元的人民幣共若干張，總金額為若干元，問拾元和伍元的人民幣各有多少張？”這樣的問題，我們還能用一個(gè)未知數(shù)來表示嗎？*引導(dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)問題中涉及到幾個(gè)未知量？（兩個(gè)：拾元人民幣的張數(shù)和伍元人民幣的張數(shù)）。如果設(shè)拾元的有x張，伍元的有y張，那么根據(jù)總金額，我們可以列出一個(gè)什么樣的關(guān)系式呢？（10x+5y=總金額）。*點(diǎn)明課題：像這樣含有兩個(gè)未知數(shù)的方程，就是我們今天要學(xué)習(xí)的新知識(shí)——二元一次方程。（板書課題：二元一次方程與二元一次方程組）學(xué)生活動(dòng)：思考教師提出的問題，嘗試用字母表示未知量，感受引入新方程的必要性。(二)新課講授：二元一次方程的概念(約10分鐘)教師活動(dòng)：*引導(dǎo)學(xué)生觀察上述問題中得到的方程10x+5y=總金額（假設(shè)總金額為一個(gè)具體數(shù)值，如100元，則方程為10x+5y=100）。*提問：這個(gè)方程與我們學(xué)過的一元一次方程有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？*相同點(diǎn)：都是整式方程，未知數(shù)的次數(shù)都是1。*不同點(diǎn)：這個(gè)方程含有兩個(gè)未知數(shù)。*給出二元一次方程的定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程，叫做二元一次方程。*強(qiáng)調(diào)：“含有兩個(gè)未知數(shù)”、“未知項(xiàng)的次數(shù)是1”、“整式方程”。*概念辨析：判斷下列方程是否為二元一次方程，并說明理由。*(1)x+y=5*(2)x2+y=3(未知項(xiàng)次數(shù)為2，不是)*(3)x+=1(不是整式方程，不是)*(4)2x+3y-z=0(含有三個(gè)未知數(shù)，不是)*(5)xy=6(未知項(xiàng)次數(shù)為2，不是)*二元一次方程的解：使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個(gè)解。*例如，對(duì)于方程x+y=5，當(dāng)x=2時(shí)，y=3，所以(x=2,y=3)是這個(gè)方程的一個(gè)解，記作。*提問：一個(gè)二元一次方程只有一個(gè)解嗎？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，給x一個(gè)值，就能求出對(duì)應(yīng)的y值，所以二元一次方程有無數(shù)個(gè)解。）*強(qiáng)調(diào)：二元一次方程的解通常寫成的形式。學(xué)生活動(dòng)：觀察方程，對(duì)比一元一次方程，總結(jié)二元一次方程的特征；通過辨析題加深對(duì)概念的理解；思考并理解二元一次方程解的含義及個(gè)數(shù)。(三)新課講授：二元一次方程組的概念(約10分鐘)教師活動(dòng)：*回到課前的問題：如果我們只知道“拾元和伍元的人民幣共若干張，總金額為若干元”，能唯一確定拾元和伍元的張數(shù)嗎？（不能，因?yàn)橛袩o數(shù)組解）。*追問：如果再增加一個(gè)條件，比如“拾元和伍元的人民幣共15張”，現(xiàn)在能確定了嗎？*引導(dǎo)學(xué)生列出兩個(gè)方程：設(shè)拾元x張，伍元y張。*根據(jù)總張數(shù)：x+y=15*根據(jù)總金額：10x+5y=100(假設(shè)總金額100元)*給出二元一次方程組的定義：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。*強(qiáng)調(diào)：“相同未知數(shù)”、“兩個(gè)二元一次方程”（特殊情況下，也可能是多個(gè)，但高中階段主要學(xué)習(xí)兩個(gè)）。*二元一次方程組的解：二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。*也就是說，方程組的解必須同時(shí)滿足方程組中的每一個(gè)方程。*引導(dǎo)學(xué)生嘗試找出上述方程組的解。（可以通過列表嘗試，或觀察得出x=5,y=10是方程組的解）。*概念辨析：判斷下列方程組是否為二元一次方程組。*(1)*(2)(第二個(gè)方程是一元一次方程，但整個(gè)方程組仍稱為二元一次方程組)*(3)(含有三個(gè)未知數(shù)，不是)學(xué)生活動(dòng)：思考問題，理解引入方程組的必要性；學(xué)習(xí)二元一次方程組及其解的概念；判斷方程組類型。(四)新課講授：代入消元法解二元一次方程組(約15分鐘)教師活動(dòng)：*提出問題：如何求解二元一次方程組呢？剛才我們是通過嘗試得到了一組解，但對(duì)于復(fù)雜的方程組，嘗試法就不方便了。我們能不能想辦法把它轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程呢？*引導(dǎo)學(xué)生思考：方程組中的兩個(gè)方程都含有x和y，如果我們能從一個(gè)方程中用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示出另一個(gè)未知數(shù)，然后代入另一個(gè)方程，不就可以消去一個(gè)未知數(shù)了嗎？*介紹代入消元法：這種將方程組中的一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，最后求得方程組的解的方法，叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。*例題講解：解方程組*分析：這個(gè)方程組比較簡(jiǎn)單，我們可以選擇其中一個(gè)方程，用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)。觀察方程①，x的系數(shù)是1，比較容易用y表示x，或者用x表示y。*解：由①，得y=15-x③(把y用含x的式子表示出來)把③代入②，得10x+5(15-x)=100(將y的表達(dá)式代入另一個(gè)方程，消去y)解這個(gè)一元一次方程：10x+75-5x=1005x=25x=5把x=5代入③，得y=15-5=10(將求得的x值代入③，求出y)所以，這個(gè)方程組的解是*檢驗(yàn)：將x=5,y=10代入原方程組的兩個(gè)方程，看左右兩邊是否相等。（口算檢驗(yàn)）*解題步驟總結(jié)（板書）：1.變：選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，用含有一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)。2.代：將變形后的方程代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程。3.解：解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值。4.回：將求得的未知數(shù)的值代入變形后的方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值。5.寫：用“”的形式寫出方程組的解。6.驗(yàn)：檢驗(yàn)（口算或筆算，確保解的正確性）。*練習(xí)：解方程組*引導(dǎo)學(xué)生思考：選擇哪個(gè)方程變形？如何變形？*學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視指導(dǎo)，選取學(xué)生板演，點(diǎn)評(píng)。學(xué)生活動(dòng)：積極思考轉(zhuǎn)化方法；認(rèn)真聽講例題，學(xué)習(xí)代入法的步驟；通過練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，掌握代入消元法。(五)課堂小結(jié)與作業(yè)布置(約5分鐘)教師活動(dòng)：*課堂小結(jié)：*今天我們學(xué)習(xí)了哪些主要概念？（二元一次方程、二元一次方程組、它們的解）*我們學(xué)習(xí)了用什么方法來解二元一次方程組？（代入消元法）其基本思想是什么？（消元，化二元為一元）*作業(yè)布置：*教材練習(xí)題：解下列方程組*(1)*(2)*思考：除了代入消元法，還有沒有其他方法可以消元呢？學(xué)生活動(dòng)：回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，明確作業(yè)要求，帶著問題結(jié)束本節(jié)課。第二課時(shí)：加減消元法及方程組解的情況(一)復(fù)習(xí)回顧，引入新課(約5分鐘)教師活動(dòng)：*提問：什么是二元一次方程組？我們已經(jīng)學(xué)過哪種方法來解二元一次方程組？（代入消元法）*快速口答：用代入法解方程組*（預(yù)計(jì)學(xué)生能較快說出思路：由②得x=3+y，代入①）*提出新問題：如果方程組是，用代入法可以解嗎？（可以）但觀察這個(gè)方程組，兩個(gè)方程中y的系數(shù)有什么關(guān)系？（互為相反數(shù)）如果把這兩個(gè)方程的左邊和右邊分別相加，會(huì)出現(xiàn)什么情況？（y被消去了）*引出新課：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的另一種解二元一次方程組的方法——加減消元法。學(xué)生活動(dòng)：回顧舊知，思考教師提出的新問題，初步感知加減消元的思路。(二)新課講授：加減消元法解二元一次方程組(約15分鐘)教師活動(dòng)：*介紹加減消元法：當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。*例題講解1（直接加減）：解方程組*分析：方程組中y的系數(shù)分別是-1和1，互為相反數(shù)。將兩個(gè)方程相加，可以消去y。*解：①+②，得(3x-y)+(x+y)=7+14x=8x=2把x=2代入②，得2+y=1y=-1所以，這個(gè)方程組的解是*提問：如果兩個(gè)方程中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等，應(yīng)該怎么辦？（相減）*例題講解2（需要先變形）：解方程組*分析：這個(gè)方程組中，x和y的系數(shù)既不相等也不互為相反數(shù)。我們需要想辦法把它們變成相等或相反。觀察x的系數(shù)：2和3，它們的最小公倍數(shù)是6。可以把方程①兩邊都乘以3，方程②兩邊都乘以2，使x的系數(shù)都變成6，然后相減消去x；或者觀察y的系數(shù)：3和-2，最小公倍數(shù)是6，可以把方程①兩邊都乘以2，方程②兩邊都乘以3，使y的系數(shù)分別變成6和-6，然后相加消去y。這里我們選擇消去y。*解：①×2，得4x+6y=24③②×3，得9x-6y=3④③+④，得13x=27x=把x=代入①，得2×()+3y=12+3y=123y=12-3y=y=所以，這個(gè)方程組的解是*強(qiáng)調(diào)：如果系數(shù)不具備直接加減消元的條件，需要先利用等式的性質(zhì)，將方程兩邊都乘以同一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等，然后再進(jìn)行加減消元。*解題步驟總結(jié)（板書）：1.化：將方程組中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)化為相等或互為相反數(shù)（找最小公倍數(shù)）。2.加/減：把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程。3.解：解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值。4.回：將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值。5.寫：寫出方程組的解。6.驗(yàn)：檢驗(yàn)。*方法比較與選擇：*代入法：當(dāng)方程組中一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是1或-1時(shí)，用代入法比較簡(jiǎn)便。*加減法：當(dāng)方程組中兩個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，或者成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，用加減法比較簡(jiǎn)便。*引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)方程組的特點(diǎn)靈活選擇合適的解法。*練習(xí)：解方程組*讓學(xué)生自主選擇方法求解，可以用代入法，也可以用加減法。*展示不同解法，比較優(yōu)劣。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)習(xí)加減消元法的概念和步驟；通過例題學(xué)習(xí)如何直接加減和變形后加減；比較兩種消元方法的特點(diǎn)，嘗試選擇合適方法解題。(三)探究：二元一次方程組解的情況(約10分鐘)教師活動(dòng)：*我們知道，一個(gè)一元一次方程ax+b=0(a≠0)有且只有一個(gè)解。那么，一個(gè)二元一次方程組的解是不是也只有一種情況呢？*引導(dǎo)學(xué)生解下列三個(gè)方程組，并觀察結(jié)果：*方程組1：(唯一解)*方程組2：(無解)*解：①×2，得4x+6y=10③②-③，得0x+0y=-1，即0=