3.2雙曲線第1課時(shí)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解雙曲線的定義以及雙曲線的幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程．2．理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，并能運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題．新知初探基礎(chǔ)落實(shí)一、概念表述1．把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)2a(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．若|MF1|＞|MF2|，則點(diǎn)M的軌跡是靠近焦點(diǎn)F2的那一支；若|MF1|＜|MF2|，則點(diǎn)M的軌跡是靠近焦點(diǎn)F1的那一支．注意：以焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上為例，且點(diǎn)F1是左焦點(diǎn)，點(diǎn)F2是右焦點(diǎn)．設(shè)||PF1|－|PF2||＝2a．(1)若2a＝|F1F2|，當(dāng)|PF1|－|PF2|＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F2為端點(diǎn)向右延伸的一條射線；當(dāng)|PF2|－|PF1|＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F1為端點(diǎn)向左延伸的一條射線．(2)若2a＞|F1F2|，則與“三角形兩邊之差小于第三邊”相矛盾，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在．(3)特別地，當(dāng)2a＝0時(shí)，|PF1|＝|PF2|，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2的垂直平分線(y軸)．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2ca，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2二、概念辨析：判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(×)(2)在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的大小關(guān)系是a＞b．(×)(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的a，b，c之間的關(guān)系與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的a，b，c之間的關(guān)系相同．(×)(4)方程mx2＋ny2＝1(mn＜0)表示雙曲線．(√)典例精講能力初成探究1雙曲線的定義及應(yīng)用例1(1)已知P是雙曲線eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且|PF1|＝17，那么|PF2|＝33．【解析】由雙曲線的方程eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1，可得a＝8，b＝6，c＝10．由雙曲線的圖形可得點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F2的距離|PF2|≥c－a＝2．因?yàn)閨|PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33．(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(－5，0)，B(5，0)，若點(diǎn)P(x，y)滿足|PA|＋|PB|＝14，且滿足eq\r((x＋5)2＋y2)－eq\r((x－5)2＋y2)＝2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，±\f(24,5)))．【解析】由A(－5，0)，B(5，0)，點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝14＞|AB|，及橢圓的定義可得點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且2a＝14，c＝5，所以b2＝a2－c2＝24，從而點(diǎn)P在橢圓eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上．因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y)滿足eq\r((x＋5)2＋y2)－eq\r((x－5)2＋y2)＝2，所以|PA|－|PB|＝2＜|AB|．由雙曲線的定義可得點(diǎn)P在雙曲線x2－eq\f(y2,24)＝1(x≥1)上．聯(lián)立橢圓方程與雙曲線方程可得y＝±eq\f(24,5)，x＝eq\f(7,5)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，±\f(24,5)))．探究2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(教材P120例1補(bǔ)充)根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))，且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；【解答】設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)．因?yàn)镻，Q兩點(diǎn)在雙曲線上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＋\f(225,16n)＝1，,\f(256,9m)＋\f(25,n)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－16，,n＝9，))從而所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1．(2)c＝eq\r(6)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－5，2)，且焦點(diǎn)在x軸上；【解答】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，c＝eq\r(6)，所以設(shè)所求雙曲線的方程為eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,6－λ)＝1(0＜λ＜6)．因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－5，2)，所以eq\f(25,λ)－eq\f(4,6－λ)＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)，從而所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,5)－y2＝1．(3)與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3eq\r(2)，2)．【解答】設(shè)所求雙曲線的方程為eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4＜λ＜16)．因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(3eq\r(2)，2)，所以eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，從而所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)定位：確定雙曲線的焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式．(2)定量：確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解．特別地，若已知雙曲線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可直接設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，解方程組可求出m，n的值，這樣可以避免分類討論．探究3與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題例3(教材P120例2)已知A，B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程．【解答】根據(jù)題意可判斷爆炸點(diǎn)在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上．因?yàn)楸c(diǎn)離A處比B處遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的雙曲線的一支上．以線段AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|－|PB|＝340×2＝680，即2a＝680，a＝340．又|AB|＝800，所以2c＝800，c＝400，所以b2＝c2－a2＝44400．因?yàn)閨PA|－|PB|＝680＞0，所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支，因此x≥340．所以炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為eq\f(x2,115600)－eq\f(y2,44400)＝1(x≥340)．變式(教材P120例2補(bǔ)充)如圖，在△ABC中，已知|AB|＝4eq\r(2)，且內(nèi)角A，B，C滿足2sinA＋sinC＝2sinB，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．(變式)【解答】如圖，以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－2eq\r(2)，0)，B(2eq\r(2)，0)．由正弦定理及2sinA＋sinC＝2sinB，得2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝eq\f(|AB|,2)＝2eq\r(2)＜|AB|．由雙曲線的定義知點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點(diǎn))．由題意設(shè)頂點(diǎn)C的軌跡方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(x＞a)，因?yàn)閍＝eq\r(2)，c＝2eq\r(2)，所以b2＝c2－a2＝6，故頂點(diǎn)C的軌跡方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1(x＞eq\r(2))．(變式答)求解與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，常見的方法有兩種：(1)列出等量關(guān)系，化簡(jiǎn)得到方程；(2)尋找?guī)缀侮P(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義，得到對(duì)應(yīng)的方程．隨堂內(nèi)化及時(shí)評(píng)價(jià)1．已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為F1(0，3)，F(xiàn)2(0，－3)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且||PF1|－|PF2||＝4，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(C)A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1 B．eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1 D．eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1【解析】因?yàn)殡p曲線的上、下焦點(diǎn)分別為F1(0，3)，F(xiàn)2(0，－3)，所以設(shè)雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，半焦距c＝3．又因?yàn)镻是雙曲線上一點(diǎn)，且||PF1|－|PF2||＝4，所以2a＝4，即a＝2，從而b2＝c2－a2＝9－4＝5．所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1．2．已知雙曲線C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．若點(diǎn)P在雙曲線C上，且|PF1|＝20，則|PF2|等于(B)A．12或28 B．14或26C．16或24 D．17或23【解析】在雙曲線C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1中，a＝eq\r(9)＝3．由點(diǎn)P在雙曲線C上，知||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|PF1|－|PF2|＝±6．因?yàn)閨PF1|＝20，所以|PF2|＝14或26．3．(多選)已知方程eq\f(x2,2－k)＋eq\f(y2,k－1)＝1表示雙曲線，那么實(shí)數(shù)k的取值可能為(AD)A．0 B．1C．2 D．3【解析】因?yàn)榉匠蘣q\f(x2,2－k)＋eq\f(y2,k－1)＝1表示雙曲線，所以(2－k)(k－1)＜0，解得k＜1或k＞2，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－∞，1)∪(2，＋∞)．4．(多選)已知定點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，那么在平面內(nèi)滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的是(AC)A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4C．|PF1|－|PF2|＝±2 D．|PF1|2－|PF2|2＝±45．已知雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的上、下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))在雙曲線上，且滿足|PF1|＋|PF2|＝12，|PF1|·|PF2|＝32，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1．【解析】因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝12，|PF1|·|PF2|＝32，所以(|PF1|－|PF2|)2＝(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1|·|PF2|＝16，即||PF1|－|PF2||＝4，故a＝2．又點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))在雙曲線上，所以eq\f(9,4)－eq\f(25,4b2)＝1，可得b2＝5，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1．請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套新練案》中的練習(xí)！配套新練案練習(xí)1一、單項(xiàng)選擇題1．若方程eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,k－4)＝1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(C)A．(－∞，1) B．(4，＋∞)C．(1，4) D．(－∞，1)∪(4，＋∞)2．已知點(diǎn)M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(C)A．雙曲線 B．雙曲線的左支C．一條射線 D．雙曲線的右支【解析】因?yàn)辄c(diǎn)M(－2，0)，N(2，0)，所以|PM|－|PN|＝4＝|MN|，從而動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線．3．以橢圓eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程是(B)A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B．y2－eq\f(x2,3)＝1C．eq\f(x2,6)－eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(y2,2)－eq\f(x2,6)＝1【解析】由題意得雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上．設(shè)雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1，易知a2＝4－3＝1，c2＝4，則b2＝c2－a2＝3，所以雙曲線的方程為y2－eq\f(x2,3)＝1．4．如圖，橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1和雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的公共焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|AF1|·|AF2|等于(A)(第4題)A．3 B．4C．5 D．6【解析】因?yàn)锳是橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1和雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的一個(gè)公共點(diǎn)，所以由橢圓的定義可得|AF1|＋|AF2|＝2eq\r(6)，由雙曲線的定義可得|AF2|－|AF1|＝2eq\r(3)，解得|AF1|＝eq\r(6)－eq\r(3)，|AF2|＝eq\r(6)＋eq\r(3)，從而|AF1|·|AF2|＝3．二、多項(xiàng)選擇題5．已知關(guān)于x，y的方程mx2＋ny2＝1(其中m，n為參數(shù))表示曲線C，下列說(shuō)法正確的是(AC)A．若m＝n＞0，則曲線C表示圓B．若mn＞0，則曲線C表示橢圓C．若mn＜0，則曲線C表示雙曲線D．若mn＝0，m＋n＞0，則曲線C表示四條直線【解析】若m＝n＞0，則x2＋y2＝eq\f(1,m)，曲線C表示圓，故A正確；若m＜0，n＜0，滿足mn＞0，方程mx2＋ny2＝1無(wú)解，故B錯(cuò)誤；若mn＜0，則曲線C表示雙曲線，故C正確；若mn＝0，m＋n＞0，則m＞0，n＝0或m＝0，n＞0，從而x＝±eq\r(\f(1,m))或y＝±eq\r(\f(1,n))，曲線C表示兩條直線，故D錯(cuò)誤．6．已知雙曲線x2－y2＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)．若PF1⊥PF2，則下列結(jié)論正確的是(BC)A．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1，0) B．|PF1|·|PF2|＝2C．|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(3) D．S△PF1F2＝2【解析】雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±eq\r(2)，0)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，令|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x＞0)，因?yàn)镻F1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，解得x＝eq\r(3)－1，x＋2＝eq\r(3)＋1，從而|PF2|＋|PF1|＝eq\r(3)－1＋eq\r(3)＋1＝2eq\r(3)，|PF2|·|PF1|＝2，故B，C正確；對(duì)于D，S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝1，故D錯(cuò)誤．三、填空題7．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5，0)，且2a＝6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1．【解析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5，0)，可得c＝5．由2a＝6，可得a＝3，所以b＝eq\r(c2－a2)＝4，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1．8．如圖，已知雙曲線以長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)A，B為左、右焦點(diǎn)，且雙曲線過(guò)C，D兩點(diǎn)．若|AB|＝4，|BC|＝3，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1．(第8題)【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由題意得B(2，0)，C(2，3)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝a2＋b2，,\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,b2＝3，))從而雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1．四、解答題9．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)a＝2eq\r(5)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，－5)，焦點(diǎn)在y軸上；【解答】由雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由a＝2eq\r(5)，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，－5)，可得eq\f((－5)2,(2\r(5))2)－eq\f(22,b2)＝1，解得b＝4，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,20)－eq\f(x2,16)＝1．(2)過(guò)點(diǎn)A(3，2)和B(17，12)．【解答】設(shè)雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(m≠0，n≠0)．由雙曲線過(guò)點(diǎn)A(3，2)和B(17，12)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m－4n＝1，,289m－144n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝2，))故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,\f(1,2))＝1．10．問(wèn)題：已知雙曲線C：eq\f(x2,m)－eq\f(y2,2m)＝1，________，求雙曲線C的方程．在①m＞0，且雙曲線C的左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為3＋eq\r(3)，②雙曲線C的焦距為6，③雙曲線C上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為4這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并解答．【解答】若選①，因?yàn)閙＞0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，從而a＝eq\r(m)，c＝eq\r(3m)．因?yàn)殡p曲線C的左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為a＋c，所以eq\r(m)＋eq\r(3m)＝(1＋eq\r(3))·eq\r(m)＝3＋eq\r(3)，解得m＝3，故雙曲線C的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1．若選②，則c＝3．若m＞0，則a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，所以c＝eq\r(3m)＝3，解得m＝3，從而雙曲線C的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1；若m＜0，則a2＝－2m，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝－3m，所以c＝eq\r(－3m)＝3，解得m＝－3，從而雙曲線C的方程為eq\f(y2,6)－eq\f(x2,3)＝1．若選③，因?yàn)殡p曲線C上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為4，所以2a＝4，即a＝2．若m＞0，則a2＝m，所以a＝eq\r(m)＝2，解得m＝4，從而雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1；若m＜0，則a2＝－2m，所以a＝eq\r(－2m)＝2，解得m＝－2，從而雙曲線C的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,2)＝1．11．已知定圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圓F2：(x－5)2＋y2＝42，動(dòng)圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,\f(91,4))＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2)))．【解析】如圖，由題意知圓F1：(x＋5)2＋y2＝1的圓心坐標(biāo)為(－5，0)，半徑r1＝1，圓F2：(x－5)2＋y2＝42的圓心坐標(biāo)為(5，0)，半徑r2＝4．設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R，則|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，所以|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|，從而點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且a＝eq\f(3,2)，c＝5，于是b2＝c2－a2＝eq\f(91,4)，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,\f(91,4))＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2)))．(第11題答)12．(多選)已知M(－5，0)，N(5，0)是平面上兩點(diǎn)，若曲線C上至少存在一點(diǎn)P，使得|PM|＝|PN|＋6，則稱曲線C為“黃金曲線”．下列曲線中為“黃金曲線”的是(AD)A．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1 D．x2＋y2＝9【解析】因?yàn)镸(－5，0)，N(5，0)是平面上兩點(diǎn)，點(diǎn)P使|PM|＝|PN|＋6，即|PM|－|PN|＝6＜|MN|，所以點(diǎn)P的軌跡是以M(－5，0)，N(5，0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，其方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，x∈[3，＋∞)．顯然A表示的曲線是“黃金曲線”；在eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1中，x∈[－2，2]，不存在橫坐標(biāo)x≥3的點(diǎn)P(x，y)滿足方程eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，故B表示的曲線不是“黃金曲線”；在eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1中，不存在橫坐標(biāo)x≥3的點(diǎn)P(x，y)滿足方程eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，故C表示的曲線不是“黃金曲線”；x2＋y2＝9表示圓心坐標(biāo)為(0，0)、半徑為3的圓，與曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)有交點(diǎn)(3，0)，滿足題意，故D表示的曲線是“黃金曲線”．13．如圖，已知橢圓C1和雙曲線C2交于P1，P2，P3，P4四點(diǎn)，F(xiàn)1和F2分別是橢圓C1和雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)，且六邊形P1P2F1P3P4F2是正六邊形．若橢圓C1的方程為eq\f(x2,4＋2\r(3))＋eq\f(y2,2\r(3))＝1，則雙曲線C2的方程為eq\f(x2,4－2\r(3))－eq\f(y2,2\r(3))＝1．【解析】設(shè)雙曲線C2的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1．根據(jù)橢圓C1的方程eq\f(x2,4＋2\r(3))＋eq\f(y2,2\r(3))＝1可得F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)．又六邊形P1P2F1P3P4F2為正六邊形，所以點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1，eq\r(3))．由點(diǎn)P1在雙曲線上，可得eq\f(1,a2)－eq\f(3,b2)＝1．又a2＋b2＝4，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4－2\r(3)，,b2＝2\r(3)．))故雙曲線C2的方程為eq\f(x2,4－2\r(3))－eq\f(y2,2\r(3))＝1．(第13題答)練習(xí)2一、單項(xiàng)選擇題1．已知兩定點(diǎn)F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當(dāng)a＝3和5時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為(C)A．雙曲線和一條直線B．雙曲線和一條射線C．雙曲線的一支和一條射線D．雙曲線的一支和一條直線【解析】當(dāng)a＝3時(shí)，點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|，依照雙曲線的定義，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支；當(dāng)a＝5時(shí)，點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，點(diǎn)P的軌跡是一條射線．綜上，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支和一條射線．2．已知雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線C上有一點(diǎn)P，若|PF1|＝5，則|PF2|等于(A)A．9 B．1C．1或9 D．11或9【解析】由題意知||PF1|－|PF2||＝2a＝4．又|PF1|＝5，所以|PF2|＝1或|PF2|＝9．因?yàn)閏2＝a2＋b2＝4＋12＝16，所以c＝4．而|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝9．3．已知點(diǎn)A(0，4)，雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，則△PAF1周長(zhǎng)的最小值為(C)A．10 B．12C．14 D．16【解析】由雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，可得a2＝4，b2＝5，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝3，從而F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)．如圖，根據(jù)雙曲線的定義得|PA|＋|PF1|＝|PA|＋2a＋|PF2|≥|AF2|＋2a＝eq\r(32＋42)＋4＝9，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以△PAF1周長(zhǎng)的最小值為9＋|AF1|＝9＋5＝14．(第3題答)4．已知雙曲線C的焦點(diǎn)為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，點(diǎn)A在雙曲線C上，且關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B，|AB|＝|F1F2|，四邊形AF1BF2的面積為6，則雙曲線C的方程為(B)A．eq\f(x2,3)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,3)＝1C．x2－y2＝2 D．eq\f(y2,3)－x2＝1【解析】因?yàn)樵c(diǎn)O分別為AB和F1F2的中點(diǎn)，所以四邊形AF1BF2為平行四邊形．又因?yàn)閨AB|＝|F1F2|，所以四邊形AF1BF2為矩形．因?yàn)樗倪呅蜛F1BF2的面積為6，所以|AF1|·|AF2|＝6．又因?yàn)閨AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝16，||AF1|－|AF2||＝2a，所以4a2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝16－12＝4，解得a2＝1，從而b2＝c2－a2＝3，故雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1．二、多項(xiàng)選擇題5．已知方程eq\f(x2,m＋2)－eq\f(y2,m＋1)＝1，則下列說(shuō)法正確的是(BCD)A．當(dāng)－2＜m＜－1時(shí)，方程表示橢圓B．當(dāng)m＞－1時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C．當(dāng)m＝－eq\f(3,2)時(shí)，方程表示圓D．當(dāng)m＜－2或m＞－1時(shí)，方程表示雙曲線【解析】當(dāng)－2＜m＜－1時(shí)，m＋2＞0，－(m＋1)＞0，若m＋2＝－(m＋1)，即m＝－eq\f(3,2)，則此方程表示圓，故A不正確，C正確．當(dāng)m＞－1時(shí)，m＋2＞0，m＋1＞0，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)m＜－2時(shí)，m＋2＜0，－(m＋1)＞0，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，故B正確，D正確．6．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A1(－a，0)，A2(a，0)，P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，－b)，四邊形A1PA2Q的面積為2eq\r(2)，四邊形A1PA2Q的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為eq\f(2\r(6),3)π，則雙曲線C的方程可以為(AB)A．eq\f(x2,2)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1【解析】由四邊形A1PA2Q的面積為2eq\r(2)，可得4×eq\f(1,2)×a×b＝2eq\r(2)，得ab＝eq\r(2)．記四邊形A1PA2Q的內(nèi)切圓的半徑為r，則2πr＝eq\f(2\r(6),3)π，解得r＝eq\f(\r(6),3)．又因?yàn)閞＝eq\f(ab,c)，所以c＝eq\r(3)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,a2＋b2＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,b＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(2)，))故雙曲線C的方程為eq\f(x2,2)－y2＝1或x2－eq\f(y2,2)＝1．三、填空題7．若方程mx2＋(1－m)y2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，0)．【解析】因?yàn)榉匠蘭x2＋(1－m)y2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＞0，,m＜0，))解得m＜0，從而實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，0)．8．已知雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，存在過(guò)點(diǎn)F2的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF1為正三角形．試寫出一個(gè)滿足上述條件的雙曲線C的方程：x2－eq\f(y2,2)＝1．【解析】設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1．如圖，若F1F2⊥AB，△ABF1為正三角形，則|AF2|＝eq\f(b2,a)，|F1F2|＝2c，|AF1|＝eq\f(2b2,a)，由|AF1|－|AF2|＝2a，得eq\f(b2,a)＝2a，即b2＝2a2．取a2＝1，則b2＝2，此時(shí)雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,2)＝1．(第8題答)四、解答題9．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點(diǎn)為F1(－eq\r(6)，0)，F(xiàn)2(eq\r(6)，0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，2)；【解答】由焦點(diǎn)為F1(－eq\r(6)，0)，F(xiàn)2(eq\r(6)，0)，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1．因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，2)，所以eq\f(25,a2)－eq\f(4,b2)＝1．又c2＝6＝a2＋b2，所以a4－35a2＋150＝0，解得a2＝5或a2＝30．當(dāng)a2＝5時(shí)，b2＝1，故雙曲線的方程為eq\f(x2,5)－y2＝1；當(dāng)a2＝30時(shí)，b2＝－24(舍去)．綜上，雙曲線的方程為eq\f(x2,5)－y2＝1．(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2eq\r(2)，eq\r(2))，(－2eq\r(3)，2)．【解答】設(shè)雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(m≠0，n≠0)．因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2eq\r(2)，eq\r(2))，(－2eq\r(3)，2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8m－2n＝1，,12m－4n＝1，))解得m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(1,2)，故雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1．10．已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)，\f(1,2)))為雙曲線C上的一點(diǎn)，雙曲線C的焦點(diǎn)為F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)2(eq\r(5)，0)．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；【解答】設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，則2a＝||AF1|－|AF2||＝eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\r((\r(5)＋\r(5))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－0))\s\up12(2))))－eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r((\r(5)－\r(5))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－0))\s\up12(2))))＝eq\f(9,2)－eq\f(1,2)＝4，所以a＝2．又c＝eq\r(5)，所以b＝1，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－y2＝1．(2)若雙曲線C上存在一點(diǎn)P，使得PF1