第三章圓錐曲線的方程微專題5拋物線的弦的問題典例剖析·素養(yǎng)初現(xiàn)拓展1焦點弦如圖，AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的一條弦．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線的準(zhǔn)線為l，則過拋物線C：y2＝4x的焦點F作傾斜角為60°的直線l交拋物線C于A，B兩點，求弦AB的長．1－1【解答】已知拋物線C：x2＝4y，O為坐標(biāo)原點，直線l：y＝x＋1交拋物線C于A，B兩點，求△AOB的面積．1－2【解答】過拋物線y2＝4x的焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，且|AF|＝2|BF|，則點A到y(tǒng)軸的距離為_____．1－3【解析】【答案】2

拓展2阿基米德三角形如圖，AB為拋物線x2＝2py(p＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別過點A，B作拋物線的切線，且兩切線交于點P，稱△PAB為阿基米德三角形，不妨假設(shè)弦AB為阿基米德三角形的底邊．(1)若阿基米德三角形的底邊，即弦AB過拋物線內(nèi)的定點C(x0，y0)，則頂點P的軌跡為一條直線．(2)若直線l與拋物線沒有公共點，以l上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點．(3)若阿基米德三角形的底邊，即弦AB過焦點，則頂點P的軌跡為拋物線的準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積的最小值為p2．(4)若弦AB過拋物線的焦點F，則PA⊥PB，PF⊥AB．設(shè)M是拋物線y2＝4x準(zhǔn)線上一點，過點M作拋物線的切線，切點分別為A，B，則直線AB所過的定點的坐標(biāo)為____________．【解析】

設(shè)M(－1，y0)，過點M所作的拋物線的切線的斜率為k(k≠0)，直線AM的斜率為k1，直線BM的斜率為k2，則過點M的切線的方程為y－y0＝k(x＋1)．2－1【答案】(1，0)

已知拋物線E：x2＝y(tǒng)，過點T(1，2)的直線與拋物線E交于A，B兩點，設(shè)拋物線E在點A，B處的切線分別為l1和l2，設(shè)l1與l2的交點為P，證明：點P在定直線上．【解答】2－2隨堂內(nèi)化·及時評價1．已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，其中點A在第一象限，點M(p，0)．若|AF|＝|AM|，則直線AB的斜率為______．【解析】2．(多選)如圖，拋物線C：y2＝8x的焦點為F，過點F的直線交拋物線C于A，B兩點，過點A，B分別作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P，Q，則下列說法正確的是 (

)A．若|AB|＝10，則直線AB的方程為x－2y－2＝0或x＋2y－2＝0B．PF⊥QFC．以線段AF為直徑的圓與y軸相切D．|PQ|2＝4|AF|·|BF|【解析】對于D，因為|AF|·|BF|＝(x1＋2)(x2＋2)＝(my1＋4)(my2＋4)＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝－16m2＋4m·8m＋16＝16m2＋16，|PQ|2＝|y1－y2|2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝64m2＋64，所以|PQ|2＝4|AF|·|BF|，故D正確．【答案】BCD3．已知A，B是拋物線x2＝y(tǒng)上兩動點，過點A，B分別作拋物線的切線，若兩切線交于點P，當(dāng)∠APB＝90°時，點P的縱坐標(biāo)為__________，△APB面積的最小值為______．【解析】配套新練案一、選擇題1．過拋物線C：y2＝4x的焦點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，其中點A在第一象限，且|AF|＝4，則|AB|等于 (

)【解析】【答案】A2．已知過拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點F的直線交拋物線C于A，B兩點(點A在y軸左側(cè))，若4|AF|＝|BF|，則直線AB的斜率為 (

)【解析】

設(shè)直線AB與拋物線的準(zhǔn)線交于點P，過點A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點M，N．由4|AF|＝|BF|及拋物線的定義可知4|AM|＝|BN|．【答案】B3．已知A(0，2)，拋物線Γ：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，B(4，y0)為Γ上一點，若AB⊥AF，則|BF|＝ (

)A．2 B．4C．5 D．6【解析】C4．(多選)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過焦點F的傾斜角為θ的直線交拋物線于A，B兩點，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列結(jié)論正確的是 (

)A．x1x2＝2 B．y1y2＝－4【解析】【答案】BCD

5．(多選)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線y＝k(x－1)與拋物線C交于M，N兩點(M在第一象限)，l為拋物線C的準(zhǔn)線，若點M到l的距離為4，Q(5，0)，則 (

)【解析】